二次函数第一节课

求 :y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
分析:S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4×SRt△AEH
解：由题意，得
2
y 2 4
2
1 2
x(2 x)
2–X X
y 2x 4x 4
(0 x 2 )
X 2–X
2–X X X 2–X
例题讲解：
求 :y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
需要细心考 虑哦！
例2:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1） 是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1 但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2

驶向胜利 的彼岸
解：∵△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∴EH＝FE＝GF＝HG ∵∠AEH＝∠BFE ∴∠AEH＋∠BEF＝90° ∴菱形EFGH为正方形
HG HG
2 2 2
∴四边形EFGH为菱形 ∵∠BFE＋∠BEF＝90° 即∠HEF＝90°
2–X
2
X
DH
2
2
DG
X 2–X
x (2 x)
观察与交流
y=6x2① y=-x2+8x② y=240x2+120x+976③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？它 们与一次函数、反比例函数有什么不同?
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的。
6.1
二次函数
2、定义： 一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。其中x是自 变量,y是x的函数.
待定系数法
解 得 ， p 1 2, q 1 5 .
二 次 函 数 解 析 式 为 y x 12 x 15
2
试一试:
已知二次函数y=ax² +bx+3, 当x=2时,函数 值为3, 当x= －2时, 函数值为2, 求这个二次 函数的解析式.
二次函数解析式为：y 1 8 x
2
1 4
x3

作业：
课本P 8习题6.1 1、2、4
结束寄语
生活是数学的源泉.
探索是数学的生命线.
下课了
(1) y=3x2 -6x+4
解: 1、y=3x2-6x+4
二次项系数: 3 一次项系数: -6 常数项: 4 是二次函数.
(2) s=-2t2+3
(2) s=-2t² +3 是二次函数.
2
2x 4x 4
2
2–X X X 2–X
y 2 x 4 x 4 (0 x 2 )
二次函数的解析式y=ax² +bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0)
注意:当二次函数
表示某个实际问
题时,还必须根据题
意确定自变量的取 值范围.
试一试:
温馨提示：同桌 交对，互相帮助！
驶向胜利 的彼岸
例题讲解：
例3 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4 个全等 的直角三角形 (图中阴影部分 )。设AE＝BF＝ CG＝DH＝x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2) 求 :y关于 x的函数关系式和自变量x的取值范围 ;
2–X X
X
2–X
2–X X X 2–X
例题讲解：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃
（如图）， 设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式并写出自变量x的取
值范围
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少? 解 ： y x(20 2 x) (1)
2 x 2 0 x (o<x<10)
2
(2)当x=3时
y 2 3 20 3 42 m
二次项系数: -2 一次项系数: 0
常数项:
3
(3) v=10π r²
(3) v=10π r² 是二次函数.
二次项系数: 10π 一次项系数: 0 常数项: 0
(4) y=(x+3)² -x²
(4) y=(x+3)² =x2+6x+9-x2 -x²
即
y=6x+9
不bx+c
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3x2 -6x+4 (2) s=-2t2+3
函数 y a x b x c（其中a、b、c为常数），当a、 b、c满足什么条件时，
2
（1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数； 当 a 0 时，是二次函数； 当 a 0, b 0 时，是一次函数； 当 a 0, b 0, c 0 时，是正比例函数；
问题3
要给边长为xm 的正方形房间铺设地板,已 知某种地板的价格为每平方米240元,踢脚线 的价格为每米30元,其他费用为1000元,门宽 0.8m,那么总费用y为多少元? 在这个问题中,地板费用与房间地面的面 240x2 元; 积有关,为 踢脚线的费用与房间地面的周长有关, 为 30(4x-0.8) 元, 其他费用固定不变,为1000元.所以总费用 与房间的边长x(m)间的函数关系式是: y=240x2+30(4x-0.8)+1000 即y=240x2+120x+976③
2 2
x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
例题讲解： 例4:已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的关系式.
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入 函 数 y x px q, 得 ：
2
1 p q 4 4 2 p q 5
(3) v=10π r²
(5)y=ax2+bx+c
(4) y=(x+3)² -x² 1 (6) y=x+ __ x
4 5 6
1
2
3
驶向胜利的 彼岸
思考：你认为判断一个函数是二次 函数的关键是什么？ 判断一个函数是否是二次函数的关键 是：右边是关于自变量的整式,并且自 变量的最高指数是否为2次.
知识运用
(5)y=ax2+bx+c
不是二次函数.
1 (6) y=x+ __
x
1 (6) y=x+ __ x
不是二次函数.
问题:
问题1 ：正方体的六个面是全等的正方形,设正方 体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有唯一一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 y=6x2① . 系可以表示为
问题2
用16m 长的篱笆围成长方形的生 物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活 动范围较大? 设长方形的长为x,则宽为(8-x), 如果将面积记为y,那么变量y与x间 的函数关系式为: y=x(8-x) . 即: y= -x2+8x②