一元二次不等式组解法

一元二次不等式组解法

一、学习目标1、掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。

2、掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。

二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？

【解】

一元二次不等式的一般式是：

ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)

【评注】

1、一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。

2、任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。

例

2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？

【点拨】

用函数的观点来回答。

【解】

二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数

y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，

ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x 轴的公共点的横坐标。

【评注】

二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。

例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。

【解】

一元二次不等式的解集表：记忆图分类△＞0△=0△＜

0ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集（－∞，x1）∪（x2,＋∞）（－∞，x0）∪（x0，＋∞）Rax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集(x1，x2) 【评注】

1、不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。

2、二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。

例

4、写出一元二次不等式的解法步骤。

【解】

一元二次不等式的解法步骤是：1、化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。

2、计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程

ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

3、写出解集：用区间或用大括号表示解集。

例：解不等式 x+2＞3x2 解：原不等式等价于3x2－x－2＜0 解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。

∴原不等式的解集为（，1）。第二阶梯例

1、解下列不等式：

（1）2+3x－2x2＜0；（2）－x2+2x－3x＞0；（3）x2－

4x+4＞0

【解】

（1）原不等式等价于2x2-3x-2>0 由2x2－3x－2=0得，

x2=2、∴原不等式的解集是（2）原不等式等价于:x2-2x+3<0 由△=＜0，知原不等式解集为。

（3）△=，方程有等根，∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。

【评注】

1、要严格按“解法步骤”求解。

2、最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。

例

2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0

【探路】

化为一元二次不等式来解。

【解】

∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0 ∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，∴原不等式等价于 (1+x)(2-x)＞0＜0－1＜x＜2 ∴原不等式的解集为（－1，2）。

例

3、设全集为R，已知A={}，求。

【探路】

解不等式化简集合A。

【解】

，……（1）方程2x2-x-1=0的两根为∴不等式①的解集为[，1]，∴A=[，1] ∴ 例

4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。

【探路】

列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。

【解】

已知方程有两个负根的等价条件是∴m的取值范围是

（]∪[1，＋∞）

【评注】

1、方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的。又若只列成△≥0也是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立

x1x2>0,x1+x2<0的条件。

2、利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。第三阶梯例

5、已知A=，B=。

（1）若BA，求a的取值范围；（2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围。

【探路】

先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。

【解】

解不等式得A=[1，2]；而B={≤0}。

（1）若BA，如图1，得a的取值范围是1≤a＜2。

（2）若A∩B是单元素集合，如图2，A∩B只能是集合{1} ∴a的取值范围是a≤1。

【评注】

集合B的最简表示只能是B={}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间。

例

6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2＜0(a∈R)。

【探路】

先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集。

【解】

解方程2x2-5ax-3a2=0，得当a＞0时，＜3a，原不等式的解集是（，3a）；当a＜0时，＞3a，原不等式的解集是

（3a，）；当a=0时，=3a=0，原不等式的解集是。

【评注】

解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。

例7已知（且b＞0）的解集为{x|－1≤x≤2}，求实数a，b 的值。

【探路】

将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。

【解】

∴关于x的二次不等式（a2＞0)的解集为[－1，2]。