向量法证明正弦定理

A
BA sin B= CA sinC
BA CA = sin C sin B
B
X C a b c 同理可得 = = sinA sin B sin C
a b c 正弦定理： = = =2R sinA sin B sin C
公式变形式： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a b c sin A= , sin B= ， sin C= 2R 2R 2R
B
b A
A
随堂练习 1、正弦定理适用的范围是 D A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形
2、在ABC中，已知a=8,B=60 ,C=75 ,那么b= C 32 A、 4 2 B、 4 3 C、 4 6 D、 3
3、在ABC中，已知a=2 3,b=2 2,B=45 ,那么A= A、 60 或120 B、 60 C、 30 或150 D、 30
6+ 2 =18 1+ 3 4


例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角， 先判断三角形是否有解？有解的作出解答。 （三维） 1 a=7,b=8,A=105 ; 2 a=2 3,b=6,A=30 解： 1 a=7,b=8,a<b,A=105 >90 , 本题无解。
B=180 - A+C =180 - 45 +30 =105
b c c sin B 10sin105 = b= = =5 sinB sinC sinC sin30

6+ 2

例2、在ABC中，已知b=12,A=30 ,B=45 , 解这个 三角形，并求出它的外接圆半径和三角形的面积。 （例1 b b 12 解： =2R R= = =6 2 变式） sinB 2sinB 2sin45
5.9正弦定理、余弦定理1
教学目标 1、了解向量知识应用。 2、掌握正弦定理推导过程。 3、会利用正弦定理证明简单三角形问题。 4、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题。
教学重点：正弦定理证明及应用 难点： 1、向量知识在证明正弦定理时的应用，与向量知识 的联系过程。 2、正弦定理在解三角形时应用思路。
为什么有两解的情况？
知识归纳 ①已知两角及一边解三角形一定只有一解。 ②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、 一解或两解。
A是锐角时 C
ba
a
B
a<bsinA时无解。 a=bsinA时一解 a>bsinA时 若b>a时两解，b≦a时一解
B A为直角或钝角时
A
C
C
a B b a
a>b时有一解，
a≦b时无解。
A、 0
B、1
7、在ABC中，若 3a=2bsinA,那么B的值是 C 2 5 A、 B、 C、 或 D、 或 3 6 3 3 6 6 a b c 8、在ABC中，若p: = = , q:ABC sinB sinC sinA 是正三角形，那么p是q的 C A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
正弦定理及其应用
1、正弦定理形式的提出 正弦定理演示
a b c = = =2R sinA sin B sin C
2、正弦定理的向量证明
想一想：如何用向量法证明正弦定理？ BA在Y轴上的投影为 |BA|cos(90o-B)=|BA|sinB
Y
CA在Y轴上的投影为 |CA|cos(90o-C)=|CA|sinC
又A=30o, B=45o,所以C=105o
2+ 6 sinC=sin105 =sin 60 +45 = 4 b sin A 12 sin30 由正弦定理a= = =6 2 sin B sin45 b sin C 12sin105 c= = =6 1+ 3 sinB sin45
பைடு நூலகம்

1 1 SABC = absinC= 6 2 12 2 2
C、充分必要条件 D、不充分也不必要条件
（三维第一课时第4题）
9、在ABC中，AC= 3， A=45 ，C=75 ，那么 2 BC=_____
10、在ABC中，a+b=12, A=60 ,B=45 , 36-12 6 12 6-24 那么a=___________,b=__________
1： 3 ： 2 11、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,那么a:b:c=_______
12、在ABC中，已知b=3,c=3 3,B=30 3或 6 那么a=_______
例1、已知△ABC中，c=10,A=45o,C=30o,求a,b和B
（三维）
a c c sin A 10sin 45 解： = a= = =10 2 sinA sin C sinC sin30
a:b:c=sinA:sinB:sinC
利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下 两类问题： 1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。 2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。 (从而进一步求出其他的边和角，包括 解的个数的讨论问题)
(1) ABC中, A B a b sin A sin B
解：由正弦定理：
a b 3 2 3 = = sin A= . sin A sin B sin A sin 45 2
A=60 或120
A=60 C=75 A=120 C=15
b c 2 c 6+ 2 = = c=2sin75 = . sin B sinC sin 45 sin 75 2 b c 2 c 6- 2 = = c=2sin15 = . sin B sinC sin 45 sin15 2
A
C___条件。 4、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的
A、充分不必要
B、必要不充分
C、充分必要 D、不充分也不必要 5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件 的三角形的个数是 A
C、 2 D、无数个 sin A cos B 6、在ABC中，若 = ,那么B的值是 B a b A、 30 B、 45 C、 60 D、 90
1 1 1 (2) S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
2 R 2 sin A sin B sin C abc ( R为 ABC外接圆的半径） 4R
1 r (a b c)(r为 ABC内切圆的半径） 2
例：在ABC中，已知a= 3, b= 2, B=45o ,解此三角形。