一维方势阱粒子波函数和能级的求解方法
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数一维势场是指只存在一个空间维度上的势能，并且可以用一个实函数V(x)描述。
假设一个带电粒子（例如电子）在一维势场中运动，其所受的动能为T，势能为V，则其总能量E=T+V。
由于势场只存在于一维空间中，因此可以使用Schrödinger方程来描述带电粒子的运动。
根据Schrödinger方程的解析式和边界条件，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
下面，将逐步介绍一粒子在一维势场中运动的过程，包括求粒子的能级和对应的波函数的方法。
具体如下：一、Schrödinger方程一粒子的运动可以用薛定谔方程描述，即：HΨ(x) = EΨ(x)其中，H是哈密顿算符，Ψ(x)是波函数，E是总能量。
在一维势场中，H的形式为：H = -(h²/2m) ∂²/∂x² + V(x)其中，h是普朗克常数，m是带电粒子的质量，V(x)是一维势能。
二、求粒子的能级和对应的波函数1. 首先，需要根据一维势场的特性和边界条件来确定粒子的波函数形式。
例如，如果一个实函数V(x)在无限远处趋近于零，那么可以假设粒子的波函数也在无限远处趋近于零。
2. 根据波函数的形式和Schrödinger方程，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
在求解过程中，需要注意以下几点：a. 在一维势场的不同区域，波函数的形式可能不同。
例如，在势阱中，波函数可以是正弦函数或余弦函数，在势垒中，波函数可以是指数函数或衰减函数。
b. 计算过程中需要使用边界条件，例如波函数在无限远处趋近于零，以及波函数在势场的交界处连续、导数连续。
c. 对于一些特殊的势场，例如谐振子势场，可以使用已知的解析式求解粒子的能级和对应的波函数。
三、总结对于一粒子在一维势场中的运动，粒子的能级和对应的波函数是根据Schrödinger方程和边界条件求解得出的。
在求解过程中需要注意不同势场区域波函数的形式、边界条件的使用和特殊势场解析式的应用等问题。
一维势阱中的运动粒子
量子理论证明，粒子能量尽管小于势阱势能，也有可
能到达势阱之外 —— 即粒子在势阱外不远处出现的概率
E3
不为零。
这一点也得到了实验验证。
E2
E1
-a
C
B
D
U
U(x)
0
a
abc 2a 2b 2c
4）能量量子化的问题—— 经典理论的解释遇到困难。
按经典理论的说法，把经典粒子放在势阱中，它的能量
可以连续取值。而量子理论的结果告诉我们，粒子的能量
取值只能是离散的，这一点得到了实验验证。
E
5）如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱壁
A
经典理论表明，粒子的能量小于势能时，粒子是 不可能越过势阱的。
k
n
2a
sin 2ka 0 2ka n
E
n2 22
8ma 2
En
n 1,2,3, 结论 1：粒子被束缚在势阱中，体系能量是量子化的
a Ae ika Beika 0
（1）n 为奇数：B A
B Ae i2ka (1)n1 A
x A(eika eika ) 2 A cos kx
运动波函数
a 2a
a 2a
E3 E2 E1 x
a
n 2,4,6
结论 3：根据玻恩概率波诠释，运动粒子的概率密度为
x (x)
讨论
1）粒子最低能级：n 1
E1
22
8ma 2
—— 零点能
U(x)
E4
2）从驻波条件出发，运用德布罗意关系式，可求能量 E ：
2a n
2
E
n2 22
8ma 2
h h
(x) 0
U(x)
量子力学补充2-一维势阱
由式（1）得 B = 0 波函数为： (x) Asin kx
由式（2）得 Asin ka 0 于是
ka n , k n a(n 1, 2,3)
即: k 2mE n a
由此得到粒子的能量 En
En
22
( 2ma 2
)n2 ,
n 1, 2, 3
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。
o
n 4,E E4
n 3,E E3 n 2,E E2 n 1,E E1 ax
7
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
n(x)
n
A sin( a
x)
(0 x a)
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n (x) 2dx
0a A2
sin2 (n
a
x)dx
A2
a 2
1
得到 A 2 a
最后得到薛定谔方程的解为：
n(x)
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
8
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分 立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观 世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可 取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽 为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,
量子力学§3.2一维方势阱
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
02-08 g一维无限深方势阱中粒子的波函数
将方程写成 ''( x) k2 (x ) 0
•通解
(x ) A coskx B sinkx
式中 A 和 B 是待定常数
5. 由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是 (x ) A coskx B sinkx
1)解的形式
x 0 (0) 2(0) 0 A 0
解的形式为 ( x) B sin kx
三维方势肼
U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
0 ax
无限深方势阱 （ potential well ）
U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
0 ax
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零 在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
二.薛定谔方程和波函数
粒子在阱内自由运动 不能到阱外
3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
a
( x) *( x)dx 1
0
得
B
a
B2sin 2kxdx 1
0
2
a
•本征函数 (x ) 2sin nπ x
n
aa
(n 1,2,3,)
6. 波函数
考虑到振动因子
e
i
Ent
谢谢
1.x
阱内 U(x) 0 ( 0 x a) 阱外 U(x) ( x 0 x a)
2. 哈密顿量
3. 定态薛定谔方程 阱外：
U(x) 0
0
ax
阱内：
4. 分区求通解 1)阱外
根据波函数有限的条件 阱外
2(x) 0 x a, x 0
2)阱内
为了方便将波函数脚标去掉
金属中的电子
一维方势阱
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)（3）Leabharlann 交归一性：再由连续性条件，即由
得
(2.108)
由
得
(2.109)
又由
得
(2.110)
由
得
(2.111)
由式（2.109）与式（2.108）之比，得
(2.112)
又由式（2.111）与式（2.110）之比得，
(2.113)
由式（2.112），得
(2.114)
利用公式
(2.115)
则式（2.114）可以改写为
(2.116)
又由 处的连续性条件，得
(2.135)
A，B，C，D具有非零解（又叫非平庸解）的条件是，其系数行列式为零，即
(2.137)
展开并整理后得
(2.138)
或用 相除得
(2.139)
（2.140）
(2.142)
为方便起见，只讨论 的极限情形，此时，有：
(2.143)
(2.144)
(2.145)
同时，此时有
此时粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为298则上面三式可改写为2101其解分别为2104由有限性条件可知在左方区间为了使有限必须令a为零同理在右方区间2107再由连续性条件即由2111由式2109与式2108之比得2112又由式2111与式2110之比得2113由式2112得2114利用公式2115则式2114可以改写为2116注意到2117则式2116可进一步改写为2118同理由式2113得2119再由式2118与式2119消去为一正整数
一维无限深势阱中的能级公式(一)
一维无限深势阱中的能级公式(一)一维无限深势阱中的能级公式一维无限深势阱简介•一维无限深势阱是指在一维空间中的一个势能函数，其势能在有限范围内为无穷大，而在这个范围外为零。
•这个模型常用于量子力学研究中，用于描述束缚电子在限定区域内的能级结构。
能级公式的推导•根据经典力学的思想，势能为零区域内的粒子应该是运动不受限制的，因此在这个区域内的能量取任意值，可以看作连续的。
•而在势能无穷大的区域外，粒子无法存在，因此能量必须是有限的。
•具体推导过程如下：一维薛定谔方程•在量子力学中，波函数满足薛定谔方程。
•对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以表示为:d2ψdx2+2mℏ2(E−V(x))ψ=0•其中，ψ为波函数，x为位置坐标，m为质量，E为能量，V(x)为势能函数。
薛定谔方程的解•由于势能函数V(x)为零，因此在势阱内，薛定谔方程可以简化为:d2ψdx2+2mEℏ2ψ=0•这是一个二阶常微分方程，其解可以表示为：ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)•其中，A和B为常数，k为波数，可以表示为：k=√2mE ℏ2波函数的边界条件•在势阱内，波函数必须满足边界条件，在势能函数为无穷大的区域外，波函数必须趋于零。
•因此，当x=0时，ψ(0)=0；当x=L时，ψ(L)=0。
边界条件的限制•根据边界条件，可以得到以下关系式：Asin(k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0Asin(kL)+Bcos(kL)=0•上述两个方程同时成立时，波函数满足边界条件。
求解能级•根据上述边界条件，可以解得k n L=nπ，其中n为正整数。
•将k n代入波数的公式中，可得能量的公式：E n=ℏ2k n22m=n2π2ℏ22mL2能级公式的解释与例子•以上推导得到的能级公式表明，在一维无限深势阱中，粒子的能量只能取离散的值，且与n的平方成正比。
–n越大，能级越高。
•这也意味着在一维无限深势阱中，粒子存在着多个能级，且能级之间的能量差是固定的。
一维方势阱中粒子的能量本征值
王雅楠
赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000
摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子，
关键词：
1一维势场中粒子的能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为
（1）
在上式中， （实数值）； 为能量本征； 为相应的能量本征态。
由此可解得：
对于第一组解， 为偶数；对于第二组解， 为奇数。由此可得体系的能量为：
3.2理论推导并计算一维有限深方势阱的能量本征值
3.3理论推导并计算一维不对称方势阱的能量本征值
3.4理论推导并计算半壁无限高势场的能量本征值
结论
参考文献：
定理四：设 ，则对应于任何一个能量本征值 ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值 的任何解，都可用它们来展开。
定理五：对于 有限的阶梯形方位势 能量本征函数 及其导数 必定是连续的（但如果 ，则定理不成立）。
定理六：对于一维粒子，设 与 均为方程（１）的属于同一能量 的解，则 － ＝常数（与 无关）。
3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值
所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大
一种情况是一维非对称无限深方势阱，即
质量为 的粒子只能在 的区域内自由运动，势能函数为：
定态薛定谔方程为：
当 和 时，
；
当 时，
令
代入薛定谔方程得：
此方程的通解为：
由于阱壁无限高，所以
定理七：设粒子在规则势场 中运动（ 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。
2方势
方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值 , , ，…的波函数 ， ，
势阱中粒子运动能级和波函数
晋 中 学 院本科毕业论文(设计)题 目 院 系 专 业一维势垒——一维散射中的几率密度摘要: 利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几率分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”势垒散射时的几率分布情况, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.关键词:几率密度; 势垒几率密度; 阶梯势; 势垒; 几率密度阶梯势; 势垒;几率密度; 阶梯势; 势垒One-dimensional square potentials— One-dimensional square potentialsAuthor ’s Name : JianPing Gong Tutor: JianPing GongABSTRACT: In this paper, we outline the quantitative calculation of the stationary states of the particle. We limit ourselves to one-dimensional models. We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. We study the motion of a particle in a “square potential ” whose rapid spatial variation for certain values of x introduce purely quantum effects. We consider the quantum mechanics of a particle which encounters the potential step with 0E U > and 00E U <<. We next study more complicated potential form, the rectangular potential barrier. We draw 2ψ as a function of x by numerical calculation. From thisfigure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics. steps; Potential barriers;引 言 .........................................................................................................11 势垒模型与量子力学方程 (2)1.12 2 2 1.232 阶梯势垒散射 (5)2.1 模型与方程 (5)2.2 0E U >的情况 (6)2.3 0E U <的情况 (8)2.40U →∞的情况 (9)3 方形势垒散射 (12)3.1 模型与方程 (12)3.2 0E U >情况 (12)3.3 0E U <情况 (15)3.4 0E U →情况 (16)总 结 (17)致 谢 (17)注释 (17)参考文献 (17)附录 (19)1.1 势垒模型(U 点x (1.1) (1.2) m U 的“高度”, 则当粒子的初始动量0p >时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量0p <时,粒子通过势垒的方向正好相反.假设粒子是从左向右运动的, 其总能量E 小于m U . 于是在某一点1x , 势能1()U x E =,1()0P x =, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:1x 是反转点. 因此, 当m E U <时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域0()x x =, 因而便不能进入第二个区域0x x >去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且m E U <, 则它便不能进入第二个反转点2x 后面的区域去, 因为在2x 点上2()U x E = (参阅图 1.1). 因此对于所有能量小于m U 的粒子来说,势垒都是一个“不透明”的壁垒. 相反地, 对于能量大于m U 的粒子, 势垒则是“透明”的. 这也就说明了“势垒”这个名称的来源.m U >m U =m U <x运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量E 大于势垒高度m U 的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于m U 的粒子也有一部分会穿过势垒.在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程222()2i U x t xψψψμ∂∂=-+∂∂ (1.4) 一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令(,)()E i t x t x eψψ-= (1.5) 由此得到222()2d U x E dx ψψψμ-+= (1.6) 按照势能()U x 的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式2220d k dxψψ+= (1.7) 2222112222,()[()]k E k k n x E U x μμ===- (1.8)为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把()U x 和()n x 看作是x 的缓变函数, 在图1.2中为方便取0l =, 于是,在0x =点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到2220d dx k dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 即22212()0d dx k n x dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 由此得221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰ (1.9)当取极限0ε→时, 我们得到一个边界条件 (0)(0)ψψ''+=- (1.10)其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件:(0)(0)ψψ+=- (1.11)因为在0x =点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.2 阶梯势垒散射2.1 模型与方程本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x <<∞内等于常量()000>U U ,而在0x -∞<<区域内等于零,即()()0,00,0U x U x U x x =<<∞=-∞<< (2.1)我们称这种势为阶梯势垒(图2.1). 具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.在经典力学中,只有能量E 大于0U 的粒子才能越过势垒运动到0x >的区域;能量E 小于0U 的粒子运动到势垒左方边缘(0=x 处)时被反射回去,不能透过势垒.在量子力学中,情况却不是这样.能量E 大于0U 的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量E 小于0U 的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边0x >的区域中去. 粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()222,02d E x dx ψψμ-=< (2.2) 和()2202,02d U E x dx ψψψμ-+=> (2.3)或改写成()22220,0d E x dx ψμψ+=< (2.4)和 ()()202220,0d E U x dx ψμψ+-=> (2.5)Ox 图2.1 一维阶梯势垒下面我们分两种情况分别进行讨论.2.2 0E U >的情况现在令()221202222,k E k E U μμ==- (2.6)则得()22120,0d k x dxψψ+=< (2.7) 和()22220,0d k x dxψψ+=> (2.8)容易得出方程(2.7)和(2.8)的解为111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+< (2.9)222,(0)ik x ik x Be B e x ψ-'=+> (2.10)由(1.5)式可知,当(2.9)和(2.10)式中的波函数1ψ、2ψ乘上时间因子E i te-后, 1ψ、2ψ中的第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于在0x =处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10)中的4个未知常数, 为确定这些常数我们假设粒子自左向右运动.当x 为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并沿x 轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是22,(0)ik x Be x ψ=> (2.11)即取0b '=. 由0x =处的边界条件:()()0201===x x ψψ, (2.12)201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ (2.13) 我们有,(0)A A B x '+== (2.14)112,(0)k A k A k B x '-== (2.15)(2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下:1212k k A A k k '-=+ (2.16) 1122k B A k k =+ (2.17)由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比.将入射波1ik xAe、透射波1ik xBe和反射波1ik xA e -'依次代换下式 ()**2i J ψψψψμ=∇-∇ 中的ψ,得入射波的几率流密度为()()1111212ik x ik x ik x ik x **i d d k J Ae A e A e Ae A dx dx μμ--⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 透射波的几率流密度为22D k J B μ=反射波的几率流密度为21R k J A μ'=-透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以D 表示.这个比值也就是贯穿到0x >区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子(在0<x 区域)单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比.由上面的结果,有()221221124D J k B k k D J k A k k ===+ (2.18) 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以R 表示.由上面结果,有()2122212411R A J k k R D J k k A '===-=-+ (2.19) 由上两式可见,D 和R 都小于1,D 和R 之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒0x >区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的振幅1A =,得到1112112,(0)ik x ik xk k e e x k k ψ--=+<+ (2.20)212122,(0)ik xk e x k k ψ=>+ (2.21)粒子的几率密度分布如图 2.2所示.要注意当12k k =, 即00U =时,势垒消失,因此反射为零,透射系数1D =.此时只有入射波而没有反射波,在0x <、0x >的区域粒子分布的几率密度相同,如图2.3所示.2.3 0E U <的情况 此时我们只要令22k i ρ=,()20222k E U i μρ=-= ()2022U E μρ=- (2.22)则我们得到:111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+< (2.23)222,(0)x x Be B e x ρρψ-'=+> (2.24)由于当x →∞时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的0B '=.因此有1212k i A A k i ρρ'-=+ (2.25) 1122k BA k i ρ=+ (2.26) 此时反射系数为:22122121R A J k i R J k i A ρρ'-====+ (2.27)透射系数为:2210D B JD R J A===-= (2.27)与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在0x >区域找到粒子的几率并不为零.如果我们取1A =,则可将波函数写作:1112112,(0)ik x ik xk i e e x k i ρψρ--=+<+ (2.28)图2.3 设12k =,22k =, 粒子几率密度图.图2.2 设12k =,21k =, 粒子几率密度图. 对于两个图并排情况,注意两图要对齐,说明文字也要对齐,图的版式采用上下型.212122,(0)x k e x k i ρψρ-=>+ (2.29)从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅相同,反射系数为1,但由于/A A '为一复数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了0x >区域延误所致.由(2.28)和(2.29)式我们可以画出在0x <和0x >区域中找到粒子的几率密度曲线.从图中可以明显的看出,在0x >找到粒子的几率随着x 的增加而指数衰减,在21/x ρ>的区域内,找到粒子的几率几乎可以忽略不计.值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅相同,所以入射波与反射波在0x <的区域中发生干涉,使得一些点20ψ=,这是干涉相消的结果.这与0E U >时的情况不同,因为在0E U >时入射波的强度大于反射波的强度,干涉相消的结果只使0x <的区域中的一些点的几率密度取极小值,另一点取极大值,但不会完全为零.当然当20k →时,反射波的振幅接近入射波的振幅,因而那些取极小值的点将趋于零.2.4 0U →∞的情况当势垒高度趋于无穷大时,即0U →∞时的解,可以由0E U <的情况中令2ρ→∞得到:21212lim 1k i A A k i ρρρ→∞'-==-+ (2.30) 21122lim 0k BA k i ρρ→∞==+ (2.31) 此时反射系数为:图2.4设12k =,21ρ=, 粒子几率密度图.图2.5设12k =,20.5ρ=, 粒子几率密度图.221212lim1R J k i R J k i ρρρ→∞-===+ (2.32) 透射系数为:2lim10DJ D R Jρ→∞==-= (2.33) 如果我们令1A =,则可将波函数写成如下形式:111,(0)ik x ik x e e x ψ-=-< (2.34) 20,(0)x ψ=> (2.35)值得注意的是,由(2.34)和(2.35)式给出的波函数1ψ和2ψ,在0x =点处波函数连续,但波函数的导数并不连续.这是因为在0U →∞时,在(1.9)式中221()()()k n x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰右端的积分在0ε→时,由于()n x →∞并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续.我们可以由方程(2.34)和(2.35)给出的波函数1ψ和2ψ,绘出在0x <和0x >区域找到粒子的几率曲线图 2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差π,显然在0x <区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.实际上0U →∞时所给出的粒子几率分布曲线图2.6,是在0E U <时2ρ→∞的极限情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取2ρ为2、10和1000画出图2.7、图2.8和图2.9.从图中可以看出当210ρ=时与图2.6已经很接近,而当2ρ取1000时图2.9与图2.6已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓0U →∞的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似.图2.6当0U →∞,取12k =,2ρ→∞时的粒子几率密度图.图2.7当0E U <,取12k =,22ρ= 时的粒子几率密度图.图2.8当0U →∞,取12k =,210ρ= 时的粒子的几率密度图.图2.9当0E U <,取12k =,21000ρ= 时的粒子几率密度图.3 方形势垒散射3.1 模型与方程考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x a <<内等于常量()000>U U ,而在这个区域外等于零,即()()ax ,x x U ax ,U x U ><=<<=0000 (3.1)我们称这种势为方势垒(图 3.1).具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()a x ,x ,E dx d ><=+002222ψμψ (3.2) 和()()202220,0d E U x a dx ψμψ+-=<< (3.3) 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.3.2 0E U >情况与(2.6)式一样我们定义1k 和2k 将方程(3.2)和(3.3)改写为()a x ,x ,k dx d ><=+002122ψψ(3.4) 和()22220,0d k x a dxψψ+=<< (3.5) 此处21k ,k 都是大于零的实数.在0<x 区域内,波函数x ik x ik e A Ae 111-'+=ψ (3.6)是方程(3.4)的解.在a x <<0区域内,方程(3.5)的解是x ik x ik e B Be222-'+=ψ, (3.7)在a x >区域内,方程(3.4)的解是Ox图3.1 一维方势垒x ik x ik e C Ce 113-'+=ψ (3.8)按照公式(1.5)()(),iEtx t x eψψ-=定态波函数是321ψψψ,,再分别乘上一个含时间因子Et ie-. 由此看出(3.6)—(3.8)三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在a x >区域内,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令0='C (3.9)在0=x 和a x =均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由()()0201===x x ψψ,我们有B B A A '+='+由0201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ有B k B k A k A k '-='-2211由()()a x a x ===32ψψ,有a ik a ik a ik Ce e B Be 122='+-由032==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x a x dx d dx d ψψ有 a ik a ik a ik Ce k e B k Be k 122122='--解这一组方程组,可以得出A ,C '和A 的关系是()()A ek k e k k e k k C aik a ik aik 221221221214--+=-- (3.10) ()()()22221222212122sin ik aik ai k k ak A A k k ek k e--'=--+ (3.11)(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为:()222122222222122124sin 4D C J k k D J A k k ak k k ===-+ (3.12) 反射系数为:()()22222122222222212212sin 1sin 4Rk k ak A J R D J A k k ak k k -'====--+ (3.13)由上两式可见,D 和R 都小于1, D 和R 之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒a x >区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当2ak n π=,0,1,2,n =时,反射为零,透射系数1D =,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波.从系数方程解得:2221122221212211222212122()()()2()()()i ak i ak i ak k k k B A e k k k k e k k k B Ae k k k k +=---++'=--+令1,A =我们得到波函数的形式为:()()()11222212212212122sin ik xik x ik a ik ai k k ak e e k k e k k eψ---=+--+ (3.14) 2222221121122222222121212122()2()()()()()i ak ik x ik xi ak i ak k k k e k k k e e e k k k k e k k k k ψ-+-=-+--+--+ (3.15) ()()11221232212124ik aik x ik a ik ak k e e k k e k k e ψ--=+-- (3.16)设122,1k k ==,势垒宽度a 分别为1、2、3和π分别画出粒子分布的几率密度图图3.2 取122,1,1k a k ===时粒子几率密度分布. 图 3.3 取122,1,2k a k ===时的粒子几率密度分布.图3.4 取122,1,3k a k ===时的粒子几率密度分布. 图 3.5 取122,1,k a k π===时的粒子几率密度分布.3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.如果我取 1.5a =、12k =而分别令2k 为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图中可以看出当,当2k 减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在0x <的区域内入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.3.3 0E U <情况这时2k 是虚数,令22k i ρ=则2ρ是实数:()120222U E μρ⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦(3.17) 把2k 换成2i ρ,前面的计算仍然成立. 经过简单计算后(3.10)式可改写为()1122221221222sh 2ch ik aik e C A ka ik aρρρρρ-=-+ (3.18)透射系数D 的公式可改写为()2212222222122124sh 4k D ka k ρρρρ=++ (3.19)在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令120.5,2,0.2a k ρ===和122,2,1a k ρ===可画出在0E U <时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与0E U >的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在0x <的区域中入射波和反射波的干涉出现图3.6取122,1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.图3..7取122,0.1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零. 3.4 0E U →情况对于0E U →情况,我们选择较“不透明的势垒”,即满足220/8U a μ=,此时有 1112220122022U E E k U μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111222002220221E U U E k U μμ⎡-⎤⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由(3.19)式可以给出2/D C A=和0/E U 的关系图3.10,当0E U →时,120212mU a D -⎛⎫→+ ⎪⎝⎭,当所选参数满足220/8U a μ=时,0.2D →,在图 3.10中当0/1E U =时, 0.2D →. 图3.10 透射系数D 与0/E U 关系曲线图图3.8 取122,0.2,k ρ==0.5a =时的粒子几率密度分布. 图 3.9 取122,1,2a k ρ===时的粒子几率密度分布.总 结我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况作了较详细的讨论.并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲线.在存在阶梯势垒的情况,如果0E U >,在0x <的区域由于入射波与反射波的干涉效应,几率密度呈现出随x 的变化而波动,而在0x >的区域由于只有透射波存在,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);如果0E U <,透射系数为零,在0x <的区域由于入射波与反射波振幅相同,干涉相消使得一些x 点几率密度为零,而在0x >的区域由于透射波随着x 的增加而呈指数衰减,几率密度曲线很快单调下降至零.在方形势垒情况,如果0U a 有限,则透射波不为零.与阶梯势垒的情况类似,由于在0x >的区域内只存在透射波,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);而在0x <的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应,使得粒子的几率密度随x 不同而波,特别是注 释:[1] 文中长度单位取()1/220/U μ为单位长度. [2] )1/22为单位波矢 [1] 量子力学教程[M]. 北京. 48～48[2] [M]. 3. 北京～108[3] J. 北京: 科学出版社.1981参考文献四字顶格黑体[4]E.H.Wichmann. [美] 复旦大学物理译. 量子物理学[M]. 北京: 科学出版社.1978. 347～348[5] Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Quantum Mechanics[M]. Paris: Hermann. 1977.67～68[1]王传昌．高分子化工的研究对象[J]．天津大学学报，1997，53（3）：1~7附录:为了加强我院本科生毕业论文（设计）的管理与指导，切实提高毕业论文（设计）的水平与质量，根据《中华人民共和国学位条例暂行实施办法》特制定本《工作规定》。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
| n |2 dx 1
A2 a sin2 nπ xdx A2 a 1 (1 cos 2n x)dx A2 a 1
0
a
02
a
2
因此
可见：波函数的归一化常数与能级的级
A 2 / a 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
波函 数为
n (x)
2 sin nπ x aa
概率密 度为
|
n (x)
E
0(0
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为ຫໍສະໝຸດ d2dx2k 20
O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
一维势阱中粒子的能量
一维势阱中粒子的能量
在一维无限深势阱中，粒子的能量可以用下列公式表示：
E = n²ħ²/(2mV²) + V(x)
其中，E表示粒子的能量，n为量子数，ħ为普朗克常数除以2π，m为粒子质量，V(x)为势函数。
当粒子处于势阱中时，其能量被分为两部分：一部分是由于粒子的动量和高度所引起的能量，另一部分是由于势函数所引起的能量。
由于势函数是无限深的，因此粒子只能处于某些特定的能量状态，这些能量状态被称为量子数n的状态。
量子数n的取值范围是从0开始，当n=0时，对应的能量为E₀=0，当n=1时，对应的能量为E₀=ħ²/(2mV²)，当n=2时，对应的能量为E₀=2ħ²/(2mV²)，以此类推。
可以看出，量子数n越大，对应的能量也越大，这是因为在势阱中，粒子的高度越高，势能也越大，因此需要更高的能量才能克服势垒，跃迁到更高的能级上。
需要注意的是，上述公式仅适用于无限深势阱，对于其他类型的势阱，粒子的能量公式会有所不同。
一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数
一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数在量子力学中，一维半壁无限高势阱是一个经典的模型系统。
本文将讨论在这个势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数。
一维半壁无限高势阱是一个具有无限高度的势阱，只在一侧存在。
势阱的长度为L。
根据量子力学的基本原理，粒子的能级和波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程是描述量子力学粒子行为的基本方程。
在一维情况下，薛定谔方程可以写成：$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$其中，$\hbar$是约化普朗克常数，m是粒子的质量，$\psi(x)$是粒子的波函数，E是粒子的能量。
我们假设势阱在0<x<L区间内，势能为无穷大，在其他区间内势能为0。
为了求解薛定谔方程，需要考虑势阱内和势阱外的两种情况。
首先，考虑势阱内的情况，即0<x<L区间范围。
在0<x<L区间内，势能为无限大，因此波函数必须为0。
解得波函数为：$\psi(x) = 0$ (0<x<L)接下来，考虑势阱外的情况，即x<0和x>L的区间范围。
在势阱外，势能为0，可以得到波函数满足薛定谔方程。
解得波函数为：$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$ (x<0和x>L)解上述微分方程得到的波函数为：$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ (x<0)$\psi(x) = Ce^{ikx} + De^{-ikx}$ (x>L)其中，k是波矢，A、B、C、D是待定系数。
根据波函数的归一化条件，我们可以得到归一化常数的关系。
$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1$由于势阱外波函数为平面波，归一化条件可以写成：$\int_{-\infty}^{0} |Ae^{ikx} + Be^{-ikx}|^2 dx + \int_{L}^{\infty} |Ce^{ikx} + De^{-ikx}|^2 dx = 1$化简上述积分表达式，并考虑到平面波的性质，可得：$|A|^2 + |B|^2 + |C|^2 + |D|^2 = \frac{1}{L}$以上是在一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数的讨论。
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
10
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)
2 2 最低能量 E1 2m a2 0 经典粒子，可以有 E 0
局域化越强，即 a 越小，则 E1 越大。 En 非均匀分布 2 2
En En 1 En 2ma
2
(2n 1)
n ( x)
正交性和完备性
* m n dx mn 0 a
15
三、 一维谐振子(1)
1、能量本征方程
简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时 粒子的势能可以表示为 V ( x) Kx 2 2 例如，双原子分子中两原子之间的势能
V ( x) V0 K ( x a)2 2
V 二、态叠加原理（2）
粒子在势阱中可能的态和能量为
2 n x 2 2 2 sin( ), 0 x a; n n ( x) a n 1, 2,3, , a E En 2 2 m a 0, x 0, x a.
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中 的某一状态，而是以某种概率处于其中的某 一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些 分立状态的叠加，即 ( x) cn n ( x)
d2 2m 1 2 ( x) 2 ( Kx E ) ( x) 0 2 dx 2
0
a
x
1 E /( x m ， 令 K m， 2 )
d 2 2 得到 ( ) 0 2 d
16
三、一维谐振子(2)
2、能量本征方程的解
, 有 当 时， 其解 ~ e / 2 ( ) Ae u( ) 能量本征方程的解可表示为 u ( ) 为待求函数，代入能量本征方程，有 其中，
一维势箱中粒子的波函数
一维势箱中粒子的波函数
一维势箱是量子力学中一种比较基础的模型，通常被用来研究粒子在有限空间内的运动情况。
本文将介绍一维势箱中粒子的波函数。
一维势箱是一个长度为L的无限深势阱，也就是说当粒子在势箱内部时，势能为零，当粒子处于势箱外部时，势能为无穷大。
这样的势场约束了粒子只能在势箱内部运动，此外无处可去。
为了求解一维势箱中粒子的波函数，我们可以利用薛定谔方程。
根据波粒二象性，一个粒子可以看作是一个波包，如果用y(x,t)表示粒子的波函数，则粒子的能量E与角频率w的关系为E=hw，其中h为普朗克常数。
而薛定谔方程可以表示为：
i(h/2π)·∂y(x,t)/∂t=（-h^2/2m）·∂^2y(x,t)/∂x^2
式子中，i是虚数单位，m为粒子的质量。
这个方程可以看做是描述粒子在一维势箱中的运动情况的基本方程。
对这个方程进行数学求解，我们可以得到一维势箱中粒子的波函数：
y(x,t)=Asin(nπx/L)·exp(-i(Et/h))
式中，A为归一化因子，n为正整数，代表是势箱内的第n个能级。
此外，由于一维势箱中的边界条件，波函数必须满足在x=0和x=L 处的边界条件。
总的来说，一维势箱中粒子的波函数与粒子的能量以及势场的形状密切相关。
对于能级有限的势场，可以通过求解薛定谔方程，得到粒子的波函数。
通过对波函数的分析，我们可以了解粒子在一维势箱中的运动和行为。
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
物理-粒子在一维无限深方势阱中的运动
a
2a
x
a 3
处的几率密度:
(x a ) 2 1 cos 0
3 a2
例2 在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
f (x) 1 sin x 1 sin 2 x
aaa a
问(1)每次可能测到的值和相应概率？ (2)能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
m
a
xsin n
a
xdx
1 a
a 0
cos
m a
n
xdx
a 0
cos
m a
n
xdx
0
若mn
a
*
m
(
x)
m
(
x)dx
1
0
可一般的证明,任意Hamiltonian算子属于不同本征值的
本征函数都是正交的。
4、粒子的物质波在阱中形成驻波
k n ,n 1,2,
a
定态波函数: n (x)
2 sin n x
2 2
2ma 2
n2,
n 1,2,3,
质子基态能量:
E1
2 2
2m pa2
3.31013(J )
第一激发态能量:
E2
2 2
2m pa2
22
4E1
E2 E1 9.9 1013 J 6.2(MeV )
1eV 1.6021019 J
相应的能量本征值： E 2k2 ―连续谱
2m
( x) eikx , eikx
自由粒子波函数：
2k2 E
2m
E (x,t)
e ikx
一维势阱
， n = 1, 2, 3, …
试计算n = 1时，在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 区间找到粒子的 概率．
解：找到粒子的概率为
3a / 4
2 2 x ( x) 1 ( x) d x sin d x a a a/4 a/4
* 1
3a / 4
2 x ) 3 a 1 cos( 1 1 a 4 a dx a 2 π 4
0,
讨论：
2 k 2 22n2 ① 粒子的能量 E n , n 1,2,3, 2 2 2 a
粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 阱的基态能量为：
E1 2 0 2 a
2 2
————零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒 子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没有意义的。
3 n 3
4
n4
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分 布 2
1
n 1
0 2
2
x a n2 x a
a x
0 n3 3
2
0 4 0
2
n4
x a
n时
量子经典
|n | 2
n很大
En
0
a
一维无限深势阱
En n
n ( x)
h 2 En ( x ) n 2 8ma
2 n n ( x) sin x a a
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 n n ( x ) sin ( x ) a a
0
a
x
例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有正交性：
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北京：高等教育出版社，2006 北京：科学出版社，2002 合肥：中国儿科学技术大学出版社，1999
指导教师：路兴强 2011 年 12 月 20 日
南 华 大 学
UNIVERSITY OF SOUTH CHINA
毕业论文开题报告
学 题
院：
核科学技术学院
目： 一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级
求解方法
3 数值法求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22
3.1 能级的求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·22 3.2 波函数的求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23
设计（论文）题目类型 软件仿真 一、设计（论文）依据及研究意义：
量子力学中，不可能同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态， 因为微观粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。波函 数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成正比。 一维方势阱中束缚态 是最基础的情况，是解决各类问题的基础。其他各状态可以由不同的束缚态叠加 得到。
五、进行设计（论文）所需条件： 电脑一台、若干参考书 参考文献： [1] [2] [3] [4] [5] 曾谨言， 量子力学 北京：科学出版社 周世勋， 量子力学 北京：高等教育出版社，200906 马文淦， 计算物理 北京：科学出版社，201101 李丽娟，牛莉 C 语言程序设计 北京：中国铁道出版社，200801 Daniel F. Styer， Common Misconceptions Regarding Quantum Mechanics
六、指导教师意见：
签名：
2012 年 2 月 18 日
南华大学核科学技术学院 2012 届本科毕业论文
一维方势阱束缚态粒子波函数和能级的求解方法
摘要： 本文将采用解析法和数值模拟方法分别对一维方势阱中束缚态波函数和能 级进行求解。通过对一维方势阱粒子的波函数和能级的求解方法的研究，加深对 薛定谔方程和波函数的理解， 了解单粒子在各种状态下波函数和能级的求解方法。 通过这次研究，掌握解析求解法和数值迭代法。
四、设计（论文）研究方法及步骤（进度安排） ： 研究方法：理论研究 步骤： 2012 年 2 月 18 日—2012 年 3 月 5 日，查找相关资料，为写论文做好准备。 2012 年 3 月 6 日—3 月 31 日，根据相关资料，分析总结一维方势阱中束缚态粒 子波函数和能级的各类求解方法。 2012 年 4 月 1 日—4 月 30 日，分别用解析法和数值模拟法具体求解并编写数值 程序。 2012 年 5 月 1 日—5 月 7 日，将资料汇总，完成论文。
Keyword：Quantum mechanics; one-dimensional square potential well; wave function; energy level
ii
南华大学核科学技术学院 2012 届本科毕业论文
目 录
引言· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 1 课题研究的背景· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2
起止时间：2011 年 11 月 21 日至 2012 年 5 月 7 日 学生姓名： 专业班级： 指导老师：
杨 杰
核物理 081 班 路 兴 强
2012 年 题报告 设计（论文）题目 设计（论文）题目来源 一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级的求 解方法 在研科研课题 起止时间 2012.1—2012.5
关键词： 量子力学; 一维方势阱；波函数；能级
i
南华大学核科学技术学院 2012 届本科毕业论文
THE METHOD OF SOLVING ABOUT WAVE FUNCTION AND ENERGY AT BOUND STATE IN ONE DIMENSIONAL SQUARE Abstract： In this paper，we will use analysis method and numerical method to consider wave and energy. Through considering with the wave function and energy level of one-dimensional square potential well particle, we can not only deepen understanding of the Schrodinger equation and wave function, but also understand the solution method of the single particle in each state wave functions and energy levels. Through this study ，we can learn how to use analysis method and numerical method.
毕业设计(论文)
学 题
院：
核科学技术学院
目： 一维方势阱束缚态粒子波函数和能级
求解方法
起止时间：2011 年 11 月 21 日至 2012 年 5 月 7 日 学生姓名： 专业班级： 指导老师：
杨 杰
核物理 081 班 路 兴 强
2012 年 5 月 7 号
毕业设计(论文)任务书
学 题
院：
核科学技术学院
[1] 曾谨言， 量子力学 [2] 周世勋， 量子力学 [3] 马文淦， 计算物理 [4] 李丽娟，牛莉
北京：科学出版社 北京：高等教育出版社，200906 北京：科学出版社，201101
C 语言程序设计 北京：中国铁道出版社，200801
[5] Daniel F. Styer， Common Misconceptions Regarding Quantum Mechanics
American Journal of Physics 64，199609 31-34 [6] [7] 郝正同， 一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级的求解 尹建武， 一维中心不对称方势阱中束缚态粒子能级和归一化波函数 湖
北黄冈 [8] [9] [10] 钱博初， 量子力学 北京：高等教育出版社，2006 张永德， 量子力学 北京：科学出版社，2002 因鸿沟， 量子力学 合肥：中国儿科学技术大学出版社，1999
二、设计（论文）主要研究的内容、预期目标： （技术方案、路线） 研究的内容：一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级的各种求解方法。 预期目标：用解析法对一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级分析求解，再通过 数值分析编写程序进行数值求解。
三、设计（论文）的研究重点及难点： 重点:1. 解析法的分析求解 2. 数值法程序的编写 难点:1.边界问题的处理 2.波函数的归一化
American Journal of Physics 64，199609 31-34
[6] 郝正同， 一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级的求解 [7] 尹建武， 一维中心不对称方势阱中束缚态粒子能级和归一化波函数
湖北黄
冈
[8] 钱博初， 量子力学 [9] 张永德， 量子力学 [10] 因鸿沟， 量子力学
参考文献· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·31 谢词· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·32 翻译· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·33 附录（翻译原文）
2 解析法求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14
2.1 一维无限深方势阱中束缚态粒子· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 2.2 一维有限深方势阱中束缚态粒子· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 2.2.1 矩阵法解波函数· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 2.2.2 作图法解能级· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·19