幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结

一、 幂函数定义：对于形如：()

x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数

定义说明：

1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x

2、 α取值是R .

3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况

二、 幂函数的图像

幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x =

2）=1α时图像是一条直线.即()

x f x =

3）01α＜＜

时图像是横卧的抛物线.例如()1

2x f x

=

4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即()

0x f x =（0x ≠）

5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如()

-1

x f x =

具备规律:

①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称

③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像

三、幂函数的性质

幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。

1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数

幂为根式求解

2、 奇偶性要结合定义域来讨论

3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递

增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减

4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两

点；α≤0时，过（1,1）

5、 由

()0

x f x α=＞可知，图像不过第四象限

一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义

（1）下列函数是幂函数的是 ______

①21()y x

-= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0

y x = ⑤1y =

（2）若幂函数()y f x =的图像过点22⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，则函数()y f x =的解析式为______.

（3）已知函数1

222

)1(----=m m x m m y 是幂函数，求此函数的解析式。

2．利用图象

若函数9

2)199()(-+-=a x a a x f 是幂函数，且图像不经过原点，求此函数的解析式。

3．利用性质

已知幂函数)()(*3

22

N m x x f m m

∈=--的图像关于y 轴对称，且在

），（∞+0上是减函数，求此函数的解析式。

二、幂函数的图像及应用 1． 分布规律

幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四必无”来说明 （1）、函数3

1x y =的图像是（ ）

（2）右图为幂函数y x α

=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）

()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>>

2． 比较大小

（1） 单调性比较

比较132--）（与1

5

3--）

（的大小 比较3151）（与31

21）（的大小 把(23)－13，(35)12，(25)12，(7

6)0按从小到大的顺序排列____________________．

（2） 利用图象比较大小

当10<

2

12)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是（ ）

A ．)()()(x f x g x h <<

B ．)()()(x g x f x h <<.

C ．)()()(x f x h x g <<

D ．)()()(x h x g x f << 3．幂函数的单调性与奇偶性 函数5

3x y =在[]1,1-上是（ ）

A ．增函数且是奇函数

B ．增函数且是偶函数.

C ．减函数且是奇函数

D ．减函数且是偶函数 4．求参数的取值范围

(1)．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －

1，m 为何值时，f (x )是：

(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数？

(2)已知幂函数)()(*3

22

N m x x f m m

∈=--的图像关于y 轴对称，且在

），（∞+0上是减函数，求满足

3

3

)23(1m m a a -

-

-<+）（的a 的取值范围。

课后训练题：

1．下列幂函数为偶函数的是( )

A ．y ＝x 12

B ．y ＝3x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x －

1

2．若a ＜0，则下列大小关系正确的是( )

A ．5－a ＜5a ＜0.5a

B ．5a ＜0.5a ＜5－

a

C ．0.5a ＜5－a ＜5a

D ．5a ＜5－

a ＜0.5a

3．设α∈{－1,1，1

2

，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3 4．若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d

x 在同一坐标系中的图象如图所示，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）.

A. d ＞c ＞b ＞a

B. a ＞b ＞c ＞d

C. d ＞c ＞a ＞b

D. a ＞b ＞d ＞c

5．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( )

A ．(－∞，－4)

B ．(－4，＋∞)

C ．(4，＋∞)

D ．(－∞，4)

6．幂函数的图象过点(2，1

4

)，则它的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，＋∞) 7．给出四个说法：

①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；

③幂函数的图象不可能出现在第四象限；X k b 1 . c o m ④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

8．设α∈{－2，－1，－12，13，1

2

，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α

的值的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 9．使(3－2x －x 2)－

3

4有意义的x 的取值范围是( )A ．R B ．x ≠1且x ≠3 C ．－3＜x ＜1 D ．x ＜－3或x ＞1

10．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3

(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．