2018年高考数学压轴题

2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)
1．椭圆的中心是原点O
，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x
轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；
1．（1
）解：由题意，可设椭圆的方程为(22
212x y a a +=。

由已知得,
().
222
22a c a c c c ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩
解得2a c == 所以椭圆的方程为22162
x y +=
，离心率e =。

（2）解：由（1）可得A （3，0）。

设直线PQ 的方程为()3y k x =-。

由方程组,()22
162
3x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->
，得k <。

设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122
276
31
k x x k -=+。

② 由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。

于是
()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。

③
∵0OP OQ ⋅=，∴12120x x y y +=。

④ 由①②③④得251k =
，从而(k =。

所以直线PQ
的方程为30x -=
或30x +-=
2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，
|1|)(-=x x f 。

（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。

（2） 证明)(x f 是偶函数。

（3） 试问方程01
log )(4
=+x
x f 是否有实数根若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

2．①f(x)=12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根
3．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2
2=-+y x 。

（1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 求点P 的坐标及S 的最小值。

3．①x 2
=4y ②x 1x 2=-4 =7
4．以椭圆2
22y a
x +＝1（a 试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
4．解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）
设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0）
86
4
2
-2
-4
-15
-10
-5
5
10
x C
y
X
O
F
则AB ∶y ＝－
k
1
x ＋1 把BC 方程代入椭圆， 是（1＋a 2k 2
）x 2
＋2a 2
kx ＝0
∴|BC |＝2222
121k a k a k ++，同理|AB |＝2
222
21a
k a k ++ 由|AB |＝|BC |，得
k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0
（k －1）［k 2
＋（1－a 2
）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2
＋（1－a 2
）k ＋1＝0
当k 2
＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2
－1）2
－4
由Δ＜0，得1＜a ＜3
由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解 由Δ＞0即a ＞3时有三解
5．已知，二次函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.
（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 5． 解：依题意，知a 、b ≠0
∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0
∴a ＞0且c ＜0
（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ），
得ax 2
＋2bx ＋c ＝0.（*）
Δ＝4（b 2－ac ）
∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0
∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标 则|A 1B 1|2
＝|x 1－x 2|2
，由方程（*），知
|A 1B 1|2
＝2
2224)(444a ac
c a a ac b -+=-
22
2
4()a c ac a =
++ 24()1(**)c
c a
a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
∵0
20a b c a c a b
++=⎧⇒+>⎨
>⎩，而a ＞0，∴
2c
a
>- ∵020a b c a c c b
++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴
12
c a <- ∴122c a -<
<- ∴4［（a c ）2＋a
c ＋1］∈（3，12）
∴|A 1B 1|∈（3，23）
6． 已知过函数f （x ）=12
3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。

（1） 求a 、b 的值；
（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132
++--=tx x x f x g 。

是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）
有最大值1
6、解：（1）()x f
'
=ax x 232+
依题意得k=()1'
f =3+2a=－3， ∴a=－3
()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f
∴a=－3，b=－1 （2）令()x f
'
=3x 2
－6x=0得x=0或x=2
∵f （0）=1，f （2）=23
－3×22
＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17 ∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17
要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。

（1） 已知g （x ）=－(
)
tx x tx x x x +-=++-+-3
22
31313 ∴()t x x g +-=2
'
3
∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2
＜0，
① 当t ＞3时，t －3x 2
＞0，()0'
>x g 即
∴g （x ）在]1.0(上为增函数，
g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2
'
3
令()x g '
=0,得x=
3
t
列表如下:
g （x ）在x=3t 处取最大值－3
3⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛t ＋t 3t
=1 ∴t=3427=2
233
＜3t 3
∴x=
3
t ＜1 ③当t ＜0时，()t x x g +-=2
'
3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数， ∴g （x ）在]1.0(上为增函数，
∴存在一个a=2
2
33，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。

7． 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱︱是2和→
→⋅PN PM
的等比中项。

（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的
方程。

7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH -=→
,→
PM =（－2－x,－y ）
→
PN =（2－x,－y ）
∴→
PM ·→
PN =（－2－x,－y ）·（2－x,－y ）=2
2
4y x +-
x PH =→
由题意得∣PH ∣2=2·→PM ·→
PN 即(
)2
22
42y
x x +-=
即14
82
2=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆 （2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”），此时，实轴长2a 最大为10
所以，双曲线C 的实半轴长a=2
10
又2
3,221222=-=∴==
a c
b NM
c ∴双曲线C 的方程式为12
3252
2=-y x 8．已知数列{a n }满足a
a a
a b a a a a a a a n n n n n n +-=
+=>=+设,2),0(322
11 （1）求数列{b n }的通项公式；
（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与8
7
的大小，并证明你的结论. 8.（1）1
21-=
n n b
（2）08
12
11161
81)21212121161(81)212121(872441684=--=-+⋅+⋅+<-++++=- n
S
9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；
（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引
21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．
9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0
∵该直线与圆1)2(22
=-
+y x 相切，
∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．…………………………………………2分
故设双曲线C 的方程为122
22=-a
y a x ．
又双曲线C 的一个焦点为 )0,2( ∴222=a ，12
=a ．
∴双曲线C 的方程为12
2
=-y x ．………………………………………………4分
（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=1
12
2y x mx y 得022)1(22=---mx x m ． 令22)1()(2
2
---=mx x m x f
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．
因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
>--<->∆012
01202
2
m m m 解得21<<m ． 又AB 中点为)11
,1(
2
2m
m m --， ∴直线l 的方程为)2(2
21
2
+++-=
x m m y ．………………………………6分
令x=0，得8
17)41(22
22222+
--=++-=
m m m b ． ∵)2,1(∈m ， ∴)1,22(8
17
)4
1
(22
+-∈+
--m ∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =．
根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是
)0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分
由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=222T
T y y x x ，即⎩⎨⎧=+=y y x x T T 222．
代入①并整理得点N 的轨迹方程为12
2=+y x ．)2
2
(-
≠x ………………12分 10．)(x f 对任意R x ∈都有.2
1)1()(=
-+x f x f （Ⅰ）求)21(f 和)( )1
(
)1(N n n
n f n f ∉-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1
()2()1(f n
n f n
f n
f +-+++ ，数列}{n a 是等差数列吗请给予证明； 试比较n T 与n S 的大小．
10 解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21
(=
+=-+f f f f ．所以4
1
)21(=f ．……2分 令n x 1=
，得21)11()1(=-+n f n f ，即2
1
)1()1(=-+n n f n f ．……………4分 （Ⅱ）)1()1
()1
()0(f n
n f n
f f a n +-+++= 又)0()1
()1()1(f n
f n n f f a n +++-+= ………………5分 两式相加
2
1
)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=
+++-+++=n f f n n f n f f f a n ． 所以N n n a n ∈+=
,4
1
，………………7分 又4
1
414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分 （Ⅲ）n
a b n n 4
1
44
=-=
2
2221n n b b b T +++=
)1
31211(16222n ++++
= ])1(1
3212111[16-++⨯+⨯+≤n n ………………10分
)]1
11()3121()211(1[16n
n --++-+-+= ………………12分
n S n
n =-=-=16
32)12(16
所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分
11．如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2
＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →＝0，求以OA 、OB
为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.
11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0 则OA 的方程为y ＝kx
由⎩⎨⎧y ＝kx y 2＝2px
解得A (2p k 2，2p k )
……4分
又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1
k
x
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x
y 2＝2px
解得B (2pk 2，－2pk ) ……4分
从而OA 的中点为A '(p
k 2，p k
)，OB 的中点为B '(pk 2
，－pk ) ……6分
所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为
x 2＋y 2－
2px k 2－
2py
k
＝0 ……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……②
……10分
∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0 由①－②并化简得y ＝(k －1
k
)x ……③
将③代入①，并化简得x (k 2
＋1k
2－1)＝2p ……④
由③④消去k ，有x 2＋y 2
－2px ＝0
∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点). ……13分
12.知函数f (x )＝log 3(x 2
－2mx ＋2m 2
＋9
m 2
－3
)的定义域为R (1)求实数m 的取值集合M ；
(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值. 12．(1)由题意，有x 2
－2mx ＋2m 2
＋9
m 2
－3
＞0对任意的x ∈R 恒成立 所以△＝4m 2
－4(2m 2
＋
9
m 2
－3
)＜0
即－m 2
－
9
m 2
－3
＜0 ∴(m 2
－32
)2＋27
m 2－3
＞0
由于分子恒大于0，只需m 2
－3＞0即可 所以m ＜－3或m ＞ 3 ∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3} ……4分
(2)x 2
－2mx ＋2m 2
＋
9m 2
－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2
＋9m 2－3
当且仅当x ＝m 时等号成立.
所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2
＋9
m 2
－3
……7分
又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2
＋
9m 2
－3
) ∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2
＋9m 2－3
) ……10分
又当m ∈M 时，m 2
－3＞0 ∴m 2
＋
9m 2
－3＝m 2
－3＋9m 2－3
＋3≥2(m 2
－3)·
9
m 2
－3
＋3＝9 当且仅当m 2
－3＝
9
m 2
－3
，即m ＝±6时， log 3(m 2＋9
m 2－3)有最小值log 3(6＋9
6－3
)＝log 39＝2
∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2.
13.设关于x 的方程2x 2
-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.1
42
+-x t
x (1) ．求f()()βαf 和的值。

（2）．证明：f(x)在[],βα上是增函数。

（3）．对任意正数x 1、x 2,求证：βαα
ββα-<++-++2)()(
2
1212121x x x x f x x x x f
13．解析：（1）．由根与系数的关系得，.1,2
-==+αββαt
).16(2
1
1682)(2414)(222
2++-=+-==-+-=+-=
∴t t t t t f ααβαβααααα 同法得f().16(2
1
)2t t -+=
β (2).证明： f /
(x)=,)
1()
22(2)1(2)4()1(42
22222+---=+--+x tx x x x t x x 而当x ],[βα∈时， 2x 2
-tx-2=2(x-,0))(≤-βαx 故当x ],[βα∈时, f /
(x)≥0, ∴ 函数f(x)在[],βα上是增函数。

（3）。

证明：
,0)(,0)(2
1121212122121<+-=-++>+-=-++x x x x x x x x x x x x x x βαββααβαβα
ββαα<++<
∴2121x x x x , 同理βα
βα<++<2
121x x x x .
).()()(),()(
)(21212121αα
βββαβαf x x x x f f f x x x x f f -<++-<-<++<∴故
又f().()(
)2
121ββ
ααf x x x x f <++<两式相加得:
),()()()(
)]()([2
1212121αβα
ββααβf f x x x x f x x x x f f f -<++-++<--
即).()()()(
2
1212121αβα
ββαf f x x x x f x x x x f -<++-++
而由（1），f(αββα2)(,2)-=-=f 且f()()()()αβαβf f f -=-,
∴ βαα
ββα-<++-++2)()(
2
1212121x x x x f x x x x f .
14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*
n N ∈，都有
()2
41n n S a =+.
I 、求数列{}n a 的通项公式.
II 、若2n n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.
14．(I)
2111144(1), 1.S a a a ==+∴=当2n ≥
时,()()2
2
1144411n n n n n a S S a a --=-=+-+,
()22112n n n n a a a a --∴+=-,又{a n }各项均为正数,12n n a a -∴-=.数列{}n a 是等差数列,
2 1.n a n ∴=-
(II) 2
n S n =,若2n
n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立,则22min n t n ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭
.令22n
n b n =,.当
3n ≥时,
221222(1)1(1)21
n n b n n n n n
b n n n ++-+==>+++.又123
82,1,9b b b ===，
∴{}228min min 9
n n b n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.∴ t 的最大值是8
9.
15.已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ·PM =0，PM =－
2
3
MQ ， （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；
（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），
使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值. 15.（1）设点M 的坐标为(x ,y )，由PM =－
23,得P (0,－2
y ),Q (3x
,0), 2分 由·PM =0，得（3，－
2y ）(x ,2
3y )=0,又得y 2
=4x ,
5分
由点Q 在x 轴的正半轴上，得x ＞0,
所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.
（2）设直线l :y =k (x +1),其中k ≠0,代入y 2=4x ,得k 2x 2+2(k 2－2)x +k 2
=0,① 7
分
设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),
则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－2
)
2(2k
k 2-,x 1x 2=1, 所以，线段AB 的中点坐标为(2
2
2k k -,k 2
),
8分 线段AB 的垂直平分线方程为y －k 2=－k 1
(x －2
22k k -),
9分
令y =0,x 0=22k +1,所以点E 的坐标为(22
k
+1,0)
因为△ABE 为正三角形，所以点E （
2
2k
+1,0）到直线AB 的距离等于23
｜AB ｜, 而｜AB ｜=2
212
21)()(y y x x -+-=2
2
14k
k -·21k +,
10分
所以，24132k k -=k
k 2
12+,
11分 解得k =±23,得x 0=3
11
. 12分
16.设f 1(x )=
x
+12,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *
.
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； 16.（1）f 1(0)=2,a 1=
2212+-=4
1
,f n +1(0)=f 1［f n (0)］=)0(12n f +,
a n +1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2
)
0(121
)0(11
++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-=－212)0(1)0(+-n n f f =－2
1a n ,
4分
∴数列｛a n ｝是首项为41,公比为－21的等比数列，∴a n =41(－2
1)n －1
. 6
分
17． 已知→a =（x,0），→b =（1，y ），（→a +3→b ）⊥（→a –3→
b ）．
（I ） 求点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（II ） 若直线L ：y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，–1），且有|AD|=|BD|，
试求m 的取值范围．
17．解（I ）→
a +3→
b =（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),
→
a –
3
→
b =（x, 0）-
3(1,y)= (x -3,–3
y). (→
a +3→
b )⊥(→
a -
3→
b ),
∴(→
a +3→
b )·(→
a -3→
b )=0, ∴(x+3)( x -3)+3y·(-3y)=0,
故P 点的轨迹方程为2
213
x y -=． （６分） （II ）考虑方程组2
2
,1,3
y kx m x y =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩ 消去y ，得（1–3k 2）x 2-6kmx-3m 2
-3=0 (*) 显然1-3k 2≠0, ∆=(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2
)>0.
设x 1,x 2为方程*的两根，则x 1+x 2=2316k
km -，x 0=2
213132
k km x x -=+, y 0=kx 0+m=
2
31k m -,
故AB 中点M 的坐标为（2
313k km -，
2
31k m
-）,
∴线段AB 的垂直平分线方程为y -
2
13m k -=（-k 1）23()13km x k --,
将D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2
-1,
故m 、k 满足222
130,431,
m k m k ⎧+->⎨=-⎩ 消去k 2得 m 2
-4m>0, 解得 m<0或m>4. 又 4m=3k 2
-1>-1, ∴ 1,4
m >-
故m ∈(-41
,0) (4,+∞)． （１２分）
18．已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=⋅1
(1).3
f =且
（1）当n N +∈时，求)(n f 的表达式；
（2）设),()
(+∈=N n n nf a n 求证：1
3
;4n
k k a =<∑
（3）设1(1)
(),,()
n
n n k k nf n b n N S b f n +=+=
∈=∑试比较11
n
k k
S =∑
与6的大小． 18．(1)解 由已知得211
()(1)(1)(1)()(2)33
f n f n f f n f n =-⋅=
⋅-=⋅-
=
111
()(1)()33
n n f -=⋅=． (4分) (2)证明 由(1)可 知 1(),3
n
n a n =⋅设n T =
1
n
k
k a
=∑
则2
11112()().33
3
n n T n =⋅+⋅+
+⋅
()231111
111()2()1()333
33n
n n T n n +⎛⎫
∴=⋅+⋅+
+-+⋅ ⎪⎝⎭
．
两式相减得232
111()()3333n T =
+++…+111()()33
n n n +-⋅ 1
1111()(),233
n n n +⎡⎤=--⋅∴⎢⎥⎣⎦ n T =
11
31113
()()443234
n
n n k k n a -==
--⋅<∑． （9分） （3）解 由（1）可知1
11
(1)
.(12),336
n
n n k k n n b n S b n =+=∴==++
+=
∑
则
16(1)n S n n =+ =116(),1
n n -+ 故有11n
k k
S =∑111
116(1)2231n n =-+-++-+ =61
(1)61
n -<+． （１４分）
19．已知函数),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列：),(),(,221a f a f …，
)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.
（1）求数列}{n a 的通项n a ；
（2）若}{,10n a a 数列<<的前n 项和为S n ，求n n S ∞
→lim ；
（3）若)(,2n n n a f a b a ⋅==令，对任意)(,1
t f
b N n n -*
>∈都有,求实数t 的取值
范围.
19．（1）22,222)11(2)(,2,)12(242+=∴+=⋅-++=∴=∴-++=+n n n a a n n a f d d n n
（2）.11)1(lim lim 24
224a
a a a a S n n n n -=--=∞→∞→ （3）.2)1(2)22()22()(32222
2+++⋅+=⋅+=+=⋅=n n n n n n n n a
n a f a b .1412
11n n n n b b n n b b >∴>⋅++=++
}
{n b ∴为
递
增
数
列
n
b ∴中最小项为
.6,22,2)(,22261
651<∴>∴==
⋅=-t t f
b t t
20．已知△OFQ 的面积为.OF FQ m ⋅=且
（1）设θ的夹角与求向量m ,646<<正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2)14
6
(
,||c m c -==，
当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F 1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A 、B 分别为此双曲线渐近线l 1、l 2上的
动点，且2|AB|=5|F 1F|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
20．（1）1
||||sin()262||||cos OF FQ OF FQ m
πθθ⎧⋅⋅-=⎪⎨⎪⋅=⎩
646,64tan <<∴=∴m m θ .4tan 1<<∴θ .4arctan 4
<<∴
θπ
（2）设所求的双曲线方程为22
1111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b
-=>>=-则
11146
||||26,2OFQ S OF y y c
∆∴=
⋅=∴=± 由=-⋅=⋅),()0,(11y c x c FQ OF .128396||,46,)146()(22
2
121121≥+=+=∴=∴-=⋅-c c y x OQ c x c c c x
当且仅当c =4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为)6,6()6,6(-或
∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=-∴12
416166
2
2222
2b a b a b a 所求方程为
.112
42
2=-y x （3）设),(),,(2211y x B y x A 1l 的方程为2,3l x y =的方程为x y 3-= 则有113x y =①
223x y -= ② ||5||21FF AB = 4025)()(2221221=⋅=-+-∴c y y x x
20)()(221221=-+-∴y y x x ③ 设),(y x M 由①②得)(32121x x y y -=+
)(32121x x y y +=-x y y x x y 32),(322121=--=∴ 3
221y x x =
-∴，
x y y 3221=-代入③得400)32()3
2(2
2
=+x y
M x y ∴=+∴.13
1003002
2的轨迹为
焦点在y 轴上的椭圆.
21、已知函数13)(2
++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满
足112
11=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n
① 求{}n a 的通项公式；
②若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞
→lim .
21、解：（1）)(x f 为偶函数 )()(x f x f =-∴ 0=∴b 13)(2
+=x x f
)(x g 为奇函数 )()(x g x g -=-∴ 0=∴c x x g 5)(=
1)(51)(3)()(2
121211=+⋅-++=+⋅-+∴++++n n n n n n n n n n a a a a a a a a g a a f
0232
121=-⋅+∴++n n n n a a a a 0)23)((11=-+∴++n n n n a a a a 3
2
1=∴
+n n a a }a {n ∴是以1=n a 为首项，公比为
32的等比数列. 1
)3
2(-=n n a （2）∞
→n lim 33
2
11=-=
n s
22．直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝
23，BC ＝2
1
．椭圆C 以A 、 B 为焦点且经过点D ．
（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；
（2）若点E 满足EC
2
1
=
AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．
22、解析：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）
设椭圆方程为：122
22=+b
y a x
令c b y C x 2
0=⇒= ∴⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=
=322
31
2
b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13
42
2=+y x
（2）1(02EC AB E =
⇒，)2
1
，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）
由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=+
+=m kmx x k y x m kx y
M 、N 存在⇒
0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒
设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ）
∴ 2
2104342k
km x x x +-=+=
，200433k m
m kx y +=+= 243143421433121
||||2
2200k m k k
km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-
⇒
⊥⇒=
∴2
22
)2
43(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]4
1．
23．设函数,2
41
)(+=
x
x f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值； （2）记*),()1()1
(
)2()1()0(N n f n
n f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的
通项公式及前n 项和.
23、（1）)6(.2
1
4244241241241)1()(1'=⋅+++=+++=-+-x x x x x x f x f
)
21(.
8
)3(2341)]1(432[41)01(.4
1
,2121.2
1
)0()1(,2
1)2()2(,21)1()1(,21)1()0()1()2('+=⋅+⋅=+++++='+=∴+=
+=+=-+=-+=+n n n n n S n a n a n f f n n f n f n n f n f f f n n n 个式子相加得将上述知由
24. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.当X ≥0时, )(x f =1
72
++-x x x
. (I) 求当X<0时, )(x f 的解析式;
(II)
试确定函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1的单调性，并证明你的结论.
(III) 若21≥x 且22≥x ，证明：|)(1x f －)(2x f |<2. 24、（1）当X<0时, =
)(x f 1
72+-x x x
（3分）
（2）函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1是增函数；（证明略） （9分） （3）因为函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1是增函数，由x 2≥得2)2()(-=≥f x f ； 又因为07,012
<->++x x x ，所以01
72<++-
x x x
，所以0)(2<≤-x f ；
因为0,21>x x ，所以0)(21<≤-x f ，且0)(22<≤-x f ，即2)(02≤<x f ， 所以，-2≤f(x 1) – f(x 2) ≤2即|)(1x f －)(2x f |<2. （14分）
25.已知抛物线x y 42
=的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的垂直平分线与X 轴交于D (0x ,0) ⑴求0x 的取值范围。

⑵△ABD 能否是正三角形若能求出0x 的值，若不能，说明理由。

25、解：⑴由题意易得M (-1,0)
设过点M 的直线方程为)0)(1(≠+=k x k y 代入x y 42
=得
0)42(2222=+-+k x k x k ………………………………………（１）
再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）
则ｘ１＋x 2=2
224k k -，ｘ１·x 2=１
y １＋y 2=k(x 1+1)+k(x 2+1)=k(ｘ１＋x 2)+2k =
k
4 ∴ＡＢ的中点坐标为（k k
k 2
,22
2-）
那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为)2(122
2
k k x k k y ---=-，令0=y 得 222k k x +=，即2
220
2
12k k k x +=+= 又方程（１）中△＝3,22
,10,04)42(022422>∴>∴
<<∴>--x k
k k k ⑵若△ABD 是正三角形，则需点D 到AB 的距离等于
AB 2
3
[
]
4
22212
212
2
212
2
)
1)(1(164)()1())(1(k k k x x x x k x x k AB -+=-++=-+=
点到AB 的距离d=
k
k k k k k
k k
k k 22
22
2
21212212+=++=
+++⋅
据2
2
4
3AB d =得：442
2)1(1643)1(4k k k k -⋅=+ ∴0)34)(1(,0342
224=-+=-+k k k k ，∴4
3
2=k ，满足102<<k ∴△ABD 可以为正△，此时3
110=x
26、已知□ABCD ，A （-2，0），B （2，0），且∣AD ∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程。

⑵过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，且∣MN ∣=23
8
，MN 的中点到Y 轴的距离为
3
4
，求椭圆的方程。

⑶与E 点轨迹相切的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，求∣PQ ∣的最大值及此时l 的方程。

26、解：⑴设E （x ，y ），D （x 0，y 0） ∵ABCD 是平行四边形，∴2=+，
∴（4，0）+（x 0+2，y 0）=2（x+2，y ）∴（x 0+6，y 0）=(2x+4，2y) ∴⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=+=+y
y x x y y x x 22
224260000
又4)2()222(,4)2(,2222
020=++-∴=++∴=y x y x AD 即：12
2
=+y x
∴□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程为12
2
=+y x ⑵设过A 的直线方程为)2(+=x k y 以A 、B 为焦点的椭圆的焦距2C =4，则C =2
设椭圆方程为12222=+b y a x ， 即142
2
22=-+a y a x …………………（*） 将)2(+=x k y 代入（*）得 14
)2(2
2
222=-++a x k a x 即 0444)4(2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
=+-++-+a a k a x k a x k a a 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）则
4
44,442222
422212
222221-++-=⋅--=+k a a a a k a x x k a a k a x x ∵MN 中点到Y 轴的距离为3
4
，且MN 过点A ，而点A 在Y 轴的左侧，∴MN 中点也在Y 轴的左侧。

∴82,3
4422
222
2222-=∴=-+a k a k a a k a ，∴38,3822121a x x x x -=⋅-=+ ∴)8(3
4
)38
(4)()(2221221221a x x x x x x --=-+=- ∵238=
MN ∴2381212=-+x x k ∴9
128
)34332964)(1(22=
+-+a k 即 1603212122222=-+k k a a ∴16032)82(12122
2
2
=--+k a a ∴8
64
922
-=a k
∴828
64
9222
-=-⋅
a a a ， 06480924=+-a a 0)89)(8(22=--a a ，∵2=>c a ，∴82=a
∴448222=-=-=c a b
∴所求椭圆方程为14
82
2=+y x ⑶由⑴可知点E 的轨迹是圆12
2
=+y x
设),(00y x 是圆上的任一点，则过),(00y x 点的切线方程是100=+y y x x ①当00≠y 时，0
01y x
x y -=
代入椭圆方程得： 03224)2(2
0022
02
0=-+-+y x x x y x ，又12
02
0=+y x
∴030324)1(2
002
2
0=-+-+x x x x x
1
3032,1
42
02
0212
0021+-=
+=
+x x x x x x x x
∴)1208128()
1(14)()(2
0402
20212
212
21++-+=
-+=-x x x x x x x x x
22120
2
020*******
)())()(1(x x y y
x x x y x PQ -+=--+=
=
2
202
02
0402
202
)
1(1516)1208128()
1(111x x x x x x ++=
++-+⋅
-
令)3115(15162
0<≤=+t t x 则2125612256)161(222
++=++=+=
t
t t t t t t PQ ， ∵3115<≤t
∴当t=15时， 2
PQ 取最大值为15 ，PQ 的最大值为15。

此时 1,0,016002
0=∴==y x x ，∴直线l 的方程为1±=y ②当00=y 时，容易求得157<=
PQ
故：所求PQ 的最大值为15，此时l 的方程为1±=y
27．已知椭圆)1(12
22>=+a y a
x ，直线l 过点A （－a ，0）和点B （a ，ta ）
（t ＞0）交椭圆于M.直线MO 交椭圆于N. （1）用a ，t 表示△AMN 的面积S ；
（2）若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值.
27．解（1）易得l 的方程为)(2
a x t y +=…1分 由⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=++=1)
(222
2y a x a x t y ，得（a 2t 2+4）y 2
－4aty =0
解得y=0或4
42
2+=
t a at y 即点
M 的纵坐标
4
422+=
t a at y M ………………4分 S=S △AMN =2S △AOM =|OA|·y M =
2
2244t a t a +…7分 x
（2）由（1）得，)0(4
444222
2
2
>+=
+=t t a t
a t
a t
a S
令22
24,4a t V t a t V +-='+=…………9分 由a t V 2
0=⇒='
当a
t 2>时，0,20;0<'<<>'V a t V 时当…10分 若1≤a ≤2，
则)2,1[2∈a ，故当a
t 2=时，S max =a 若a ＞2，则t a t
V a
24.120+=<< 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1
时,2
2
max
44a a S
+=
13分
综上可得⎪
⎩⎪⎨⎧>+≤≤=)2(44)21(2
2
max
a a a a a S …………14分
28．已知函数()1
bx c
f x x +=
+ 的图象过原点，且关于点(1,1)-成中心对称. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若数列{}()n a n N *
∈
满足：2110,1,[n n a a a f +>==
，求数列{}n a 的通项
公式n a ，并证明你的结论.
28. (1) ∵函数f (x )=
bx +c x +1 的图象过原点，即f (0)=0，∴c =0，∴f (x )=
bx
x +1
. 又函数f (x )=
bx x +1 =
b - ab
x +1
的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴a =1，b =1，∴f (x )= x x +1.(2)由题意有a n +1=[ a n a n +1]2，即a n +1 = a n a n +1，即1a n +1 = 1a n +1，∴1a n +1 - 1
a n
=1. ∴数列{1
a n
}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴
1
a n
=1+(n -1)=n ，即a n = 1
n
，∴a n =
1
n 2
.∴a 2= 14，a 3= 19，a 4= 116，a n = 1
n
2.
29．已知点集{(,)|},L x y y m n ==⋅其中(2,1),(1,1),m x b n b =-=+点列),(n n n b a P 在
L 中，1P 为L 与y 轴的交点，等差数列}{n a 的公差为1，+∈N n 。

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）若),2(|
|5
1≥⋅=
n P P n c n n 求)(lim 21n n c c c +++∞→ ；
29、解：（1）由(2,1)(1,1)y m n
m x b n b ⎧=⋅⎪⎪
=-⎨⎪=+⎪⎩，得12+=x y …………2分
)1,0(,12:1P x y L ∴+=∴，则,1,011==b a
)(12),(1++∈-=∈-=∴N n n b N n n a n n …………4分
（2）当2≥n 时，，)1
(5||),12,1(1-=--n P P n n P n n n
n n n P P n c n n 111)1(1||51--=-==
…………6分
=+++∴∞
→)(lim 21n n c c c
1)1
1(lim )]111()3121()211[(lim =-=--+-+-∞→∞→n
n n n n …………8分
（3）假设存在符合条件的k 使命题成立
当k 是偶数时，11+k 是奇数，则12)(,10)11(-=+=+k k f k k f
由),(2)11(k f k f =+得4=k …………11分 当k 是奇数时，11+k 是偶数，则1)(,212)11(-=+=+k k f k k f 由),(2)11(k f k f =+得k 无解
综上存在4=k ，使得)(2)11(k f k f =+ …………14分
30．经过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点.
（1）若线段AB 的中点为(,)M x y ,直线的斜率为k ,试求点M 的坐标,并求点M 的轨
迹方程.
（2）若直线l 的斜率2k >,且点M 到直线340x y m ++=的距离为1
5
,试确定m 的取值
范围.
30.解：（1）设(,)11A x y ，(,)22B x y ，直线AB 的方程为：()()10y k x k =-≠
把()1y k x =-代入24y x =得：()2222240k x k x k -++=
∴2122
24k x x k ++=∴()()12124
11y y k x k x k
+=-+-= ∴21221
22222x x k x k y y y k ⎧++==⎪⎪⎨+⎪==
⎪⎩
∴点M 的坐标为,22
22k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 消去k 可得点M 的轨迹方程为：()222
0y x x =->；
（2）∵||
2222
34155
k m k k d +⨯+⨯+==
∴||26831m k k +++=∴26831m k k +++=±∴268
13m k k
+=±--
∵2k >∴263
02k <<，804k <<∴2681102k k <+<∴2
11310<--±<m
∴211310<
--<m 或211310<---<m ∴2215-<<-m 或42
19
-<<-m ∴1922m -
<<-∴m 的取值范围为,1922⎛⎫
-- ⎪⎝⎭。