二次函数有关平行四边形的存在性问题

有关平行四边形的存在性问题

一．知识与方法积累：

1.已知三个定点，一个动点的情况

在直角坐标平面内确定点M，使得以

点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，

请直接写出点M的坐标。

2.已知两个定点，两个动点的情况

已知点C(0,2), B(4,0)，点A为X轴上一个动点，试在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形（画出草图即可）

分以下几种情况：

（1）以BC为对角线，BE为边；

（2）以CE为对角线，BC为边；

（3）以BE为对角线，BC为边；

3. 方法归纳：

先分类；（按对角线和边）

再画图；（画草图，确定目标点的大概位置）

后计算。（可利用三角形全等性质和平行四边形性质，准确求点的坐标）

二．例题解析：

如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，3

1tan =∠OCA ，6=∆ABC S ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请求出点E 的坐标．

巩固练习：

1. 已知抛物线322++-=x x y 与轴的一个交点为 A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． 问坐标平面内是否存在点，使得以点M 和抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点E 在y 轴上，写出点P 的坐标．

3．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与 轴相交于点，顶点为.

（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；并求出当为何值时，四边形为平行四边形？

4. 已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12

y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . 在抛物线2

2y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

5．如图，已知抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，

问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，

求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点

C ．

(1)求抛物线的解析式；（12+-=x y ）

(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；

四边形ACBD 的面积=AB •OC +AB •DE 112123422

=⨯⨯+⨯⨯=

（也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．