2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题理科数学试题内江一模
四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为（）A．6481B．3227C．89D．1627【答案】B【解析】【分析】根据循环语句，输入1x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x=，24i=<，不满足判断条件；第2次循环：89x=，34i=<，不满足判断条件；第4次循环：3227x=，44i=≥，满足判断条件；输出结果3227x=.故选：B【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.2．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题． 3．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 4．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x =， 则()21ln xg x x -'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.6．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a xx =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题7．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．8．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+， 0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 9．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅，再由投影的定义计算． 【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，因为||3||3a b ==，所以2a b ⋅=-．故2a b -在a 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 10．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.11．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.12．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省内江市界市中学2021年高一数学理模拟试卷含解析
四川省内江市界市中学2021年高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1参考答案：A【考点】轨迹方程．【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．2. 已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A. B. C. D.参考答案：D略3. 某学校2016年投入130万元用于改造教学硬件设施，为进一步改善教学设施，该校决定每年投入的资金比上一年增长12%，则该校某年投入的资金开始超过300万的年份是（参考数据：，，）（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025参考答案：C设该学校某年投入的研发资金开始超过300万元的年份是第n年，则130×（1+12%）n﹣2016≥300，则n≥2016+=2016+=2023.4，取n=2024.故答案选C。
4. 把化为八进制数，结果是（）A. B. C. D.参考答案：A5. 如果幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）的值等于( )A．16 B．2 C．D．参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知求出函数的解析式，再求f（4）即可．【解答】解：幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），所以，所以，所以函数解析式为，x≥0，所以f（4）=2，故选B．【点评】本题考察幂函数的解析式，幂函数解析式中只有一个参数，故一个条件即可．6. 已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2D．参考答案：A【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故选A．7. 若在直角坐标平面内两点满足条件：①点都在函数的图象上；②点关于原点对称，则称为函数的一个“黄金点对”．那么函数的“黄金点对”的个数是（）A．0个B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C 8. 要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．解答：解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．9. 集合M={x|x=，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M?N C．M?N D．M∩N=?参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】从元素满足的公共属性的结构入手，对集合N中的k分奇数和偶数讨论，从而可得两集合的关系．【解答】解：对于集合N，当k=2n﹣1，n∈Z，时，N={x|x=，n∈Z}=M，当k=2n，n∈Z，时N={x|x=，n∈Z}，∴集合M、N的关系为M?N．故选：C．10. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，记事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与D B．A与B C．B与C D．B与D参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a、b是函数的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．参考答案：9试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则．考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．12. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．参考答案：5【考点】93：向量的模．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．13. 设函数，则= .参考答案：14. 已知φ∈（0，π），若函数f（x）=cos（2x+φ）为奇函数，则φ= ．参考答案：【考点】余弦函数的图象．【分析】根据余弦函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）=cos（2x+φ）为奇函数，则φ=+k π，k∈Z，又φ∈（0，π）， 所以φ=．故答案为：．15. 若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是参考答案：略16. 已知偶函数f (x )在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x 的取值范围是．参考答案：（﹣1，3）17. 已知函数f （x ）＝若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .参考答案： 2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届四川省内江市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省内江市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出集合A，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x≤1，x∈N}＝{0，1}，又，∴A∩B＝{0，1}．故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件．2．设，则（）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．【详解】z2i2i＝﹣1﹣i2i=﹣1+i，则|z|．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．4．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【解析】利用等差数列{a n}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的公差．【详解】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴数列{a n}的公差为1．故选：A．【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．若，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【详解】∵；∴；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.6．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知画出图形，连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【详解】如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题．7．函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解】当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故排除D；易知f（x）在R上连续，故排除B；且f（0）＝ln2﹣e﹣1＞0，故排除A，故选：C．【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．8．设表示不小于实数的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．7 B．11C．8 D．14【答案】B【解析】执行循环，直至，跳出循环，输出结果.【详解】执行循环，结束循环，输出结果.选B.【点睛】本题考查循环流程图，考查基本分析计算判断能力.9．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为，所以因此，倾斜角为，选B.【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.10．已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先化简三角函数，再根据三角函数性质判断各结论正确是否.【详解】,,，所以函数在区间上不是减函数，所以函数的图像不关于点对称；函数的图像向右平移个单位得，再向下平移1个单位得到,不是.综上选A.【点睛】本题考查三角函数化简以及三角函数图象与性质，考查基本分析化简能力.11．在中，已知，，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．12．设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，由可得在上是增函数，在上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果.【详解】设，则时，，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，，即，实数的取值范围为，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题13．的展开式中的系数为______.【答案】【解析】根据二项式定理确定的系数.【详解】因此展开式中的系数为【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力.14．设，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝2×1+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】根据椭圆定义可用表示，,再根据余弦定理建立关系，解得离心率.【详解】设,则,因此从而，且,,【点睛】本题考查椭圆定义以及离心率，考查基本分析求解能力.16．设数列满足，，，，则______.【答案】【解析】数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N，n≥4），即a n+a n﹣3＝a+a n﹣2（n∈N，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9 n﹣1＝33，……．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8,即可得出．【详解】∵数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N，n≥4），a＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．4∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．则a2018＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．故答案为：8068．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a 2a 6得＝9,所以q 2＝．由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．故数列{a n }的通项公式为a n ＝．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．故．所以数列的前n 项和为【考点】等比数列的通项公式；数列的求和18．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，根据函数模型，即可求出最大值；（2））由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时，然后解不等式，即可求出.试题解析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时，当，即时，函数取得最大值为.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时. 由，得：，两边取自然对数得：即，∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.19．如图，是直角斜边上一点，.（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）设，则，，，根据余弦定理即可求出．【详解】解：（1）在中，由正弦定理得.∵，，∴.又，∴.∴，即.（2）设，则，，.∴，，.在中，由余弦定理得，即，∴.故.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．20．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%3A上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a ，记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【答案】（1）13（2）①815②5000【解析】试题分析：（1）根据题意，首先确定X的所有可能取值，然后利用统计表格，借助古典概型的公式计算对应的概率，进而利用期望公式求解；（2）利用独立重复实验的概率计算公式求解满足条件的概率，明确Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润的可能性，得到分布列和利润期望值.（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a，由统计数据可知:()()()()11110.9,0.8,0.7,612123P X a P X a P X a P X a ========，()()111.1, 1.3412P X a P X a ====.所以X 的分布列为：X 0.9a0.8a0.7aa 1.1a1.3aP 161121121314112所以111111119113050.90.80.7 1.1 1.39426121234121212a EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.（Ⅱ） ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为321311220133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y 的可能取值为5000,10000-. 所以Y 的分布列为：Y 5000-10000P1323所以12500010000500033EY =-⨯+⨯=.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元.21．已知函数.（1）若时,恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)通过二次求导判断则在上单调递增，则，再通过分类讨论求求恒成立.（2）由（1）中结论利用函数的单调性证明.【详解】（1）若时, 则，在上单调递增，则则在上单调递增，①当，即时，，则在上单调递增，此时，满足题意②若,由在上单调递增，由于，.故,使得. 则当时,,∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去．综上所述,实数的取值范围是（2）证明:由(1)知,当时,在上单调递增.则,即..,即【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性及最值中的应用，综合性较强.第一问通过二次求导判断的符号以及分类讨论思想运用是本题解题的难点.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）.【解析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【详解】解：（1）由消去参数，得的普通方程为.∵，又，∴的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线的普通方程为，∴其极坐标方程为，∴.∴又，∴.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【详解】解：（1）当时，.∴.或或或或或.∴当时，不等式的解集为.（2）∵的解集为实数集对恒成立.又，∴.∴.故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。
四川省内江市2021届高三第一次模拟数学(理)试题
④ 的最大值为 ；
⑤ 的最小值为 ；
三、解答题
17．网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
21．已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数.
（1）若函数 有两个不同的极值点 、 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求使不等式 对一切实数 恒成立的最大正整数 .
22．已知曲线 的参数方程为 为参数 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 关于 对称．
（1）求 的极坐标方程， 的直角坐标方程；
由 ，解得 ；
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合基础题.
2．D
【分析】
先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.
【详解】
由题得 ，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.
故答案为D
【点睛】
(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)注意复数 的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i”,不能写成bi.
A． B． C． D．
11．已知函数 ，其中 为函数 的导数，则 （）
A．0B．2C．2020D．2021
12．已知函数 ， ， ，若 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
四川省内江市高考数学一模试卷（理科）(含解析)一、选择题1．（5分）（2021•内江一模）已知是i虚数单位，复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的差不多概念．分析：将原式的分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：∵复数===﹣i．故选B．点评：熟练把握复数的除法法则是解题的关键．2．（5分）（2021•内江一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．54 B．68 C．72 D．90考点：等差数列的前n项和．专题：运算题；等差数列与等比数列．分析：依照等差数列的通项公式，将a4=18﹣a5化成2a1+7d=18．再由等差数列的求和公式，可得S8=4（2a1+7d）=72，从而得到本题答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=18﹣a5，∴a1+3d=18﹣（a1+4d），可得2a1+7d=18．∴S8=8=4（2a1+7d）=4×18=72故选：C点评：本题给出等差数列第4、5两项和和，求它的前8项之和，着重考查了等差数列的通项公式与求和公式等知识，属于中档题．3．（5分）（2021•内江一模）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0 B．f（x0）=0 C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（a）=0，再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，结合0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，从而得到答案．解答：解：∵已知a是f（x）=的零点，∴f（a）=0．再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，且0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，故选A．点评：本题要紧考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题．4．（5分）（2021•内江一模）已知函数y=f（x），x∈R，数列{an}的通项公式是an=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{an}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：数列的函数特性．专题：规律型；探究型．分析：本题可通过函数的单调性与相应数列的单调性的联系与区别来说明，能够看到，函数增时，数列一定增，而数列增时，函数不一定增，由变化关系说明即可解答：解：由题意数y=f（x），x∈R，数列{a n}的通项公式是a n=f（n），n∈N，若函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”，则“数列{a n}是递增数列”一定成立若“数列{a n}是递增数列”，现举例说明，这种情形也符合数列是增数列的特点，如函数在[1，2]先减后增，且1处的函数值小，综上，函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a n}是递增数列”的充分不必要条件故选A．点评：本题考查数列的函数特性，解题的关键是认识到数列与函数的不同，数列是离散的，而函数提连续的，由这些特点对两个命题的关系进行研究即可5．（5分）（2021•内江一模）设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．专题：运算题．分析：依照向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到sin2θ的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin2θ的值代入即可求出值．解答：解：∵∥，∴=，即sin2θ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值，把握两向量平行所满足的条件，是一道基础题．6．（5分）（2021•内江一模）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，假如要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．32考点：排列、组合及简单计数问题．专题：运算题；分类讨论．分析：本题是一个分类计数问题，第一安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情形都有车之间的一个排列A33，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，第一安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，在分类计数时，注意分类要做到不重不漏，在每一类中的方法数要分析清晰，本题还考查列举法，是一个基础题．7．（5分）（2021•内江一模）已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（）A．﹣1 B．C．0D．1考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：数形结合．分析：第一画出可行域，z=代入坐标变为z=x+2y，即y=﹣x+z，z表示斜率为﹣的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即平移直线y=﹣x与可行域有公共点时直线在y轴上的截距的最大值即可．解答：解：如图所示：z=•=x+2y，即y=﹣x+z，第一做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当通过A（0，）点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（0，），故z的最大值为z=0+2×=1．故选D．点评： 本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．（5分）（2021•内江一模）在的展开式中X 的幂指数为整数的项共有（ ）A ． 3项B ． 4项C ． 5项D ． 6项考点：二项式系数的性质． 专题： 运算题． 分析：由题意的展开式的通项为T r+1==，要求展开式中x 的幂指数为整数，则使得17﹣为整数，从而有r 为6的倍数且0≤r ≤34可求解答：解：由题意的展开式的通项为T r+1==若使得17﹣为整数则r 为6的倍数且0≤r ≤34 ∴r=0，6，12，18，24，30 x 的幂指数为整数的项共6项 故选D点评：本题要紧考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，属于基础试题9．（5分）（2021•内江一模）函数f （x ）的图象如图，f ′（x ）是的导函数，则下列数值排列正确的是（ ）A ． 0＜f ′（1）＜f ′（2）＜f （2）﹣f （1）B ． 0＜f ′（2）＜f （2）﹣f （1）＜f ′（1）C ． 0＜f ′（2）＜f ′（1）＜f （2）﹣f （1）D ． 0＜f （2）﹣f （1）＜f ′（1）＜f ′（2） 考点：导数的运算；函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分利用导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系即可得出．析：解答：解：由函数的图象可知：函数f（x）单调递增，同时先快后慢，∴f′（x）＞0，f′（x）是减函数，∴，故选B．点评：熟练把握导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系是解题的关键．10．（5分）（2021•内江一模）定义区间（a，b），[a，b），（a，b][a，b]的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）∪（3，5）的长度为d=（2﹣1）+（5﹣3）=3，用[x]表示不超过x的最大整数，记＜x＞=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•＜x＞，g（x）=2x ﹣[x]﹣2，若d1，d2，d3分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g （x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2021时，有（）A．d1=2，d2=0，d3=2021 B．d1=1，d2=1，d3=2021C．d1=2，d2=1，d3=2009 D．d1=2，d2=2，d3=2021考点：函数单调性的性质．专题：新定义．分析：先化简f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2021]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2021时的解集的长度；关于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．解答：解：∵f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=2x﹣[x]﹣2，f（x）＞g（x），等价于[x]x﹣[x]2＞2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＞[x]2﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＞（[x]﹣2）（[x]+1）．当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＜2，∴x∈[1，2）；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[3，2021]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2021时的解集为[0，2），故d1=2．f（x）=g（x）等价于[x]x﹣[x]2 =2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x=[x]2﹣[x]﹣2，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x=2，∴x∈∅；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0=0，∴x∈[2，3）；当x∈[3，2021]时，[x]﹣2＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）=g（x）在0≤x≤2021时的解集为[2，3），故d2=1．f（x）＜g（x）等价于[x]x﹣[x]2 ＜2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＜[x]2﹣[x]﹣2，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＞2，∴x∈∅；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0＜0，∴x∈∅；当x∈[3，2021]时，[x]﹣2＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[3，2021]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2021时的解集为[3，2021]，故d3=2009．故选C．点评：本题要紧考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2021•内江一模）已知，且，则tanα=﹣．考点：同角三角函数间的差不多关系．专题：三角函数的求值．分析：第一依照sin2α+cos2α=1以及角的范畴求出sinα和cosα的值，然后依照tanα=求出结果．解答：解：∵sin2α+cos2α=1 ，①∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=∴sinαcosα=﹣∵，∴sinα＞0 cosα＜0sinα﹣cosα＞0∴（sinα﹣cosα）2=1+=sinα﹣cosα=②联立①②得sinα=，cosα=﹣∴tanα=﹣故答案为：﹣．点评：此题考查了同角三角函数的差不多关系，巧用sin2α+cos2α=1是解题的关键，要注意角的范畴．12．（5分）（2021•内江一模）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率运算公式，要求会读图，同时把握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．13．（5分）（2021•内江一模）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再依照流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环运算a的值，并输出．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否连续循环 a i循环前 2 1第一圈是 2第二圈是﹣1 3第三圈是 2 4…第2021圈是 2 2021第2021圈是2021第2021圈否故最后输出的a值为．故答案为：．点评：本题要紧考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（5分）（2021•内江一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x ﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范畴是（，2）．考点：根的存在性及根的个数判定．专题：运算题．分析：由已知中能够得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范畴．解答：解：∵关于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则有log a4＜3，且log a8＞3，解得：＜a＜2，故答案为（，2）．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判定，指数函数与对数函数的图象与性质，其中依照方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，表达了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．15．（5分）（2021•内江一模）设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有（2）（3）（4）（1）函数f（x）在R上有最小值；（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要重要条件是b2＞4|c|；（5）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．考点：命题的真假判定与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当b＜0时，能够依照函数的值域加以判定函数f（x）在R上是否有最小值；（2）当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情形讨论，转化为二次函数求单调性；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，能够依照函数图象的平移解决；（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即可得到结论；（5）依照f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象差不多上一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），结合二次函数的图象可得结果．解答：解：（1）当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=值域是R，故函数f（x）在R 上没有最小值；（2）当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=，知函数f（x）在R上是单调增函数；（3）若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（﹣x）=﹣f（x）），也确实是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即b2﹣4c＞0，b2＞4|c|；故（4）正确；（5）f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象差不多上一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），由图角可得解得方程f（x）=0最多有三个不同的实根，不可能有四个不同实数根．因此（5）不正确．故答案为：（2）（3）（4）．点评：本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值等问题，关于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，表达了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一样转化为函数的奇偶性加以分析，再依照函数图象的平移解决，表达了转化、运动的数学思想；关于存在性的命题研究，一样通过专门值法来解决．三、解答题16．（12分）（2021•内江一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin2（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）依照cosA的值小于0，得到A为钝角，利用同角三角函数间的差不多关系求出sinA 的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，依照B为锐角，利用专门角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f（x）中，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦、余弦函数公式化为一个角的正弦函数，依照周期的公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间即可求出f（x）的单调增区间．解答：解：（Ⅰ）由cosA=﹣＜0，A∈（，π），得到sinA=，又a=2，b=2，（2分）由正弦定理得：=，则sinB=，因为A为钝角，因此；（5分）（Ⅱ）由a=2，b=2，cosB=，依照余弦定理得：22=c2+12﹣4c•，即（c﹣2）（c﹣4）=0，解得c=2或c=4，由A为三角形的最大角，得到a=2为最大边，因此c=4舍去，故c=2，（6分）把c=2代入得：===，（10分）则所求函数的最小正周期为π，由，得，则所求函数的单增区间为．（13分）点评：此题考查学生灵活运用正弦．余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，把握正弦函数的单调性，是一道中档题．学生求B度数的时候注意A为钝角那个隐含条件．17．（12分）（2021•内江一模）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发觉，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=﹣x+120．（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范畴．考点：函数模型的选择与应用．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：（1）确定销售利润，利用配方法求最值；（2）利用该商场获得利润不低于500元，建立不等式，即可确定销售单价x的范畴．解答：解：（1）由题意，销售利润为W=（﹣x+120）（x﹣60）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900，∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，有﹣（x﹣90）2+900≤1.45×60x，∴60＜x≤87∴当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）∵该商场获得利润不低于500元，∴（x﹣60）（﹣x+120）≥500∴70≤x≤110∴70≤x≤110时，该商场获得利润不低于500元．答：（1）当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）该商场获得利润不低于500元，销售单价x的范畴为[70，110]．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2021•内江一模）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：运算题．分析：（1）由已知得，解方程可求d，进而可求通项（2）由=，利用裂项可求T n，由T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立可知T n最大值≤λ（n+2），可求解答：解：（1）设公差为d．由已知得解得d=1或d=0（舍去）因此a1=2，故a n=n+1（2）因为=因此+…+==因为T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立∴≤λ（n+2）对∀n∈N*恒成立即对∀n∈N*恒成立又因此点评：新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求把握．数列求和的方法具有专门强的模型（错位相减型、裂项相消型、倒序相加型），建议熟练把握，将恒成立问题转化为最值是常用的方法，需要注意．19．（12分）（2021•内江一模）某市为增强市民的环境爱护意识，面向全市征召义务宣传理想者．把符合条件的1000名理想者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名理想者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名理想者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名理想者中随机抽取3名理想者介绍宣传体会求第4组至少有一名理想者被抽中的概率；（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名理想者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：运算题．分析：（1）由频率和频数的关系可得每组的人数，由分层抽样的特点可得要抽取的人数；（2）求出总的可能，再求出4组至少有一位理想者倍抽中的可能，由古典概型的概率公式可得；（3）可得ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得其分布列，由期望的定义可得答案．解答：解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000=300，第4组的人数为0.04×5×1000=200，第5组的人数为0.02×5×1000=100，第3、4、5组共600名理想者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组=6，第4组=4，第5组=2，因此第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人；（2）从12名理想者中抽取3名共有=220种可能，第4组至少有一位理想者倍抽中有﹣=164种可能，因此第4组至少有一名理想者被抽中的概率为P==；（3）ξ的可能取值为：0，1，2，3，且P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，因此ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴ξ的期望Eξ==1.5点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及频率分布直方图和期望的求解，属中档题．20．（13分）（2021•内江一模）已知函数f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间上的最值；（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范畴．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．（2）要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范畴．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0），∴f′（x）=2ax﹣3+，x＞0∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a﹣2=0，∴a=1，∴f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，x＞0，令f′（x）=2x﹣3+＜0，可得＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为[，1），单调增区间为（1，+∞），当在区间时．∴f（x）在区间[，1]上为增函数，f（x）在区间[1，2]上为增函数．（4分）∴f max（x）=f（2）=﹣2+ln2，f min（x）=f（1）=﹣2．（6分）（2）原函数定义域为（0，+∞）∴f′（x）=2ax﹣3+=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立由于a＞0，设g（x）=2ax2﹣3x+1（x∈（0，+∞））由题意知△=9﹣8a≤0∴a≥因此a的取值范畴为：a≥．（12分）点评：本小题要紧考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，导数中常见的恒成立问题，属中档题．21．（14分）（2021•内江一模）关于函数f（x），若存在x0∈R，使f （x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．假如函数f（x）=有且仅有两个不动点0、2．（1）求b、c满足的关系式；（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{an}满足=1（Sn是数列{an}的前n项和），求证：；（3）在（2）的条件下，设，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：T2021﹣1＜ln2021＜T2021．考点：综合法与分析法(选修）；函数的值；利用导数研究函数的单调性．专题：运算题；证明题；新定义；转化思想．分析：（1）设=x的不动点为0和2，由此知推出b、c满足的关系式．（2）由c=2，知b=2，f（x）=（x≠1），2S n=a n﹣a n2，且a n≠1．因此a n﹣a n﹣1=﹣1，a n=﹣n，要证待证不等式，只要证，利用分析法证明＜ln（1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0），由此入手利用函数的导数判定函数的单调性，然后导出．（3）由，利用（2）的结论，通过累加法证明所要证明的不等式T2021﹣1＜ln2021＜T2021即可．解答：解：（1）设=x的不动点为0和2∴即即b、c满足的关系式：b=1+且c≠0（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=（x≠1），由已知可得2S n=a n﹣a n2①，且a n≠1．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣12②，①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n=﹣a n﹣1=﹣1，当n=1时，2a1=a1﹣a12⇒a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1，则a2=1与a n≠1矛盾．∴a n﹣a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣n∴要证待证不等式，只要证，即证，只要证nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+），即证＜ln（1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0）**．令g（x）=x﹣ln（1+x），h（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）．∴g'（x）=，h'（x）=，∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上差不多上增函数，∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，＜ln（x+1）＜x．令x=则**式成立，∴，（3）由（2）知b n=，则T n=在＜ln（1+）＜中，令n=1，2，3，…，2021，并将各式相加，得＜ln+ln+…+ln＜1+．即T2021﹣1＜ln2021＜T2021．点评：本题考查不等式的性质和应用，函数的导数判定函数的单调性构造法的应用，分析法证明不等式的方法，解题时要认真审题，认真解答，注意公式的合理运用．。
2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题数学试题及答案内江一模
答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
３． 考试结束后，监考人将答题卡收回。８
第Ⅰ卷（选择题，共６０ 分）
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置． ）
设集合 ｛ （ ）｝， ｛ ｝，则 １．
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，满分２０ 分． ）
{ 已知实数， 满足约束条件 １３．
ｘｙ
３ｘ － ｙ － ３ ≤ ０ ｘ － ２ｙ ＋ ４ ≥ ０
，则ｚ ＝ ２ｘ － ｙ 的最大值是
３ｘ ＋ ４ｙ ＋ １２ ≥ ０
．
１４． 已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ 是其前ｎ 项和． 若ａ１ ＋ ａ２２ ＝ ， － ３ Ｓ５ ＝ ，则 １０ ａ９ 的值是
５．
若向量Ａ→Ｂ
＝
（１ ２
，槡２３），Ｂ→Ｃ
＝
（槡３，１），则△ＡＢＣ
的面积为
Ａ． １ ２
槡 Ｂ． ３
Ｃ． １
２
槡 Ｄ． ３
内江一模 高三一模考试数学（理科）试卷第 １ 页（共４ 页）
６． 已知（１ ＋ ）ｘ ｎ 的展开式中第４ 项与第８ 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为ຫໍສະໝຸດ Ａ． ２１２＋π ６
），现将ｙ ＝
ｆ（ｘ）的图象向左平移１π２
个单位，再将所得图
象上各点的横坐标缩短为原来的１ ２
倍，纵坐标不变，得到函数ｙ
＝
ｇ（ｘ）的图象，则ｇ（ｘ）在
［０，５２π４ ］的值域为 ［ ，］ Ａ． － １ ２
Ｂ． ［０，１］
［ ］ Ｃ． ０． ２
［ ］ Ｄ． － １． ０
2021年四川内江高三一模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川内江高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第1题5分2019~2020学年1月天津和平区天津市第一中学高三上学期月考第1题5分2021年四川内江高三一模文科第1题5分设集合A={x|y=log2(2−x)}，B={x|x2−3x+2<0}，则∁A B=（）．A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (2,+∞)D. [2,+∞)2、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第2题5分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第2题5分2021年四川内江高三一模文科第2题5分已知i是虚数单位，则复数z=3+7i的实部和虚部分别是（）．iA. 7，−3B. 7，−3iC. −7，3D. −7，3i3、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第3题5分2018年湖北襄阳市湖北省襄阳市第五中学高三调研测试已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)=0.5，P(X>2)=0.3，则P(X<0)= 0()A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.84、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第4题5分 2018年四川成都武侯区成都市第七中学高三二模理科第4题5分 2021年四川内江高三一模文科第4题5分2021年四川成都高新区成都高新实验中学高三二模文科（模拟）第4题5分 2016年福建泉州高三二模文科第6题5分为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（ ）．A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数5、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第5题5分 2021年青海西宁高三一模文科第9题5分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第5题5分 2018年四川成都武侯区成都市第七中学高三二模理科第3题5分若向量AB →=(12,√32)，BC →=(√3,1)，则△ABC 的面积为（ ）．A. 12B. √32C. 1D. √36、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第6题5分2015~2016学年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期期末理科第5题2016~2017学年北京东城区北京市第五十五中学高二下学期期中理科第6题4分2019~2020学年3月广东深圳龙华区深圳外国语学校龙华高中部高二下学期周测B卷第4题5分2018~2019学年天津和平区天津市耀华中学高二下学期期末第3题4分已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A. 212 B. 211 C. 210 D. 297、【来源】函数f(x)=ax+b(x+c)2的图像如图所示，则下列结论成立的是()A. a>0，b>0，c<0B. a<0，b>0，c>0C. a<0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c<08、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第8题5分已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且a=log52，b=ln2，c=−20.1，则f(a)，f(b)，f(c)满足（）．A. f(b)<f(a)<f(c)B. f(c)<f(a)<f(b)C. f(c)<f(b)<f(a)D. f(a)<f(b)<f(c)9、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第9题5分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第9题5分若数列{a n}满足1an+1−2a n=0，则称{a n}为“梦想数列”，已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8=（）．A. 4B. 8C. 16D. 3210、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第10题5分2017~2018学年辽宁大连高三上学期期末2017~2018学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验中学高三上学期期末2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第10题5分已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，现将y=f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在[0,5π24]的值域为()A. [−1,2]B. [0,1]C. [0,2]D. [−1,0]11、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第11题5分已知函数f(x)=22020x+1+sinx，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2020)+f(−2020)+f′(2021)−f′(−2021)=（）．A. 0B. 2C. 2020D. 202112、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第12题5分已知函数f(x)=kx，(1e⩽x⩽e2)，g(x)=e−x+12+1，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得M、N关于直线y=x+1对称，则实数k的取值范围是（）．A. [−1e,e]B. [−4e2,2e]C. [−2e,2e]D. [−3e,3e]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第13题5分2021年四川内江高三一模文科第13题5分已知实数x，y满足约束条件{3x−y−3⩽0 x−2y+4⩾03x+4y+12⩾0，则z=2x−y的最大值是．14、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第14题5分2016年高考真题江苏卷2017~2018学年11月北京西城区北京市第四中学高三上学期月考理科第9题5分2018~2019学年湖南长沙雨花区雅礼中学高三月考2019~2020学年3月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三下学期月考文科第13题5分已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1+a22=−3，S5=10，则a9的值是．15、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第15题5分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第15题5分在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且btanB+btanA=−2ctanB，a=8，△ABC 的面积为4√3，则b+c的值为．16、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第16题5分已知函数f(x)=sinx⋅sin2x，x∈[0,2π]，下列有关f(x)的说法中，正确的是．（填写你认为正确的序号）．①不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<π4或3π4<x<π}；②f(x)在区间[0,2π]上有四个零点；③f(x)的图象关于直线x=π对称；；④f(x)的最大值为4√39⑤f(x)的最小值为−√3．2三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第17题12分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第17题12分网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．(1) 根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关(2) 若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列．）（附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第18题12分2017~2018学年陕西西安长安区西安市长安区第一中学高二上学期期末文科第20题12分2019~2020学年10月重庆黔江区黔江新华中学校高三上学期月考理科第20题12分2017~2018学年陕西西安长安区西安市长安区第一中学高二上学期期末理科第18题12分2021年四川内江高三一模文科第18题12分相切．已知函数f(x)=alnx−bx2，a，b∈R．若f(x)的图象在x=1处与直线y=−12(1) 求a，b的值．,e]上的最大值．(2) 求f(x)在[1e19、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第19题12分)+2cos2x．设函数f(x)=sin(2x−π6]时，求函数f(x)的值域．(1) 当x∈[0,π2(2) 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f(A)=3，√2a=√3b，c=1+√3，2求△ABC的面积．20、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第20题12分2020年河北保定高三三模理科第18题12分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第20题12分2018~2019学年11月广东广州黄埔区广州市第二中学科学城校区高三上学期月考理科第21题12分2020年河北保定高三三模文科第18题(n∈N∗)．已知数列{a n}满足：a1+3a2+32a3+⋯+3n−1a n=n+13(1) 求数列{a n }的通项公式． (2) 设b n =13n+1(1−an )(1−a n+1)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与716的大小．21、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第21题12分 2015~2016学年四川成都武侯区成都第七中学高三上学期期中 2016~2017学年四川成都武侯区成都市第七中学高三上学期期中 已知函数f (x )=λe x −x 2，g (x )=−x 2+μ2x −152(μ>0)，其中e =2.71828...是自然对数底数．(1) 若函数f (x )有两个不同的极值点x 1，x 2，求实数λ的取值范围．(2) 当λ=1时，求使不等式f (x )>g (x )在一切实数上恒成立的最大正整数μ．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第22题10分已知曲线C 1的参数方程为{x =2t +1y =2t −3，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2：ρ=2acosθ（a >0）关于C 1对称． (1) 求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程． (2) 已知曲线C 3：x 24a+y 23a=1与两坐标轴正半轴交于A 、B 两点，P 为C 3上任一点，求△ABP 的面积的最大值．【选修4-4：不等式选讲坐标系与参数方程】23、【来源】 2021年四川内江高三一模理科第23题10分 2020年广西南宁高三一模文科第23题10分 2020年广西南宁高三一模理科第23题10分2020~2021学年四川内江高三上学期期末模拟理科第23题10分 已知函数f (x )=|x +2|+|x −1|． (1) 求不等式f (x )⩾x +8的解集．(2) 记函数y=f(x)的最小值为k，若a，b，c是正实数，且3ka +32kb+1kc=1，求证：a+2b+3c⩾9．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 D;10 、【答案】 A;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】3;14 、【答案】 20;15 、【答案】4√5;16 、【答案】③④;17 、【答案】 (1)可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关．;(2);18 、【答案】 (1) a=1，b=12．;(2) f(1)=−12．;19 、【答案】 (1) [12,2]．;(2) 3+√32．;20 、【答案】 (1) a n={23(n=1)13n(n⩾2)．;(2) S n<716．;21 、【答案】 (1) 0<λ<2e．;(2) μ=14．;22 、【答案】 (1) C1：ρsin(θ−π4)+2√2=0，C2：(x−4)2+y2=16．;(2) 4√3+4√6．;23 、【答案】 (1) 不等式的解集为x∈(−∞,−3]∪[7,+∞)．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。
四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可. 【详解】解：显然()2x f x e mx =-是偶函数 所以只需()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令20x e mx -=，则2xe m x = 令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x xf e x e mx mx ==--有且只有2个零点， 只需24e m > 故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以1122222222284222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题. 3．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a -=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ） A ．23 B ．3C ．23 D ．33【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.4．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④ 【答案】D【解析】【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直.【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.5．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．32【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 7．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
2021届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}1,2,3,4A B =，则实数m 为（ ）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．3或4【答案】D【解析】根据并集的运算结果可得出实数m 的值. 【详解】集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}1,2,3,4A B =，3m ∴=或4.故选：D. 【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()12221211212555i i i i z i i i i -+====+++-， 因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πC D 【答案】B【解析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=， 所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为3π. 故选：B. 【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A ．10- B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】分析：先求出二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出k 的值，即可求得展开式中4x 的项的系数.详解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项()()()552135155C 1C k k k k k k k T x x x ----+=-=-， 、令354k -=，可得3k =， ∴()()5533551C 1C 10kk---=-=．故选C ．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．函数()y f x =在()()1,1P f 处的切线如图所示，则()()11f f '+=（ ）A ．0B ．12C ．32D ．12-【答案】A【解析】由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率()1f '和切线方程,然后求出(1)f ,即可得到()()11f f '+的值.【详解】解:因为切线过(2,0)和(0,1)-,所以011(1)202f +=-'=, 所以切线方程为112y x =-,取1x =,则12y ,所以1(1)2f =-, 所以()()1111022f f '+=-+=.故选:A . 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合思想,属基础题. 6．已知等比数列{}n a 是递增数列，22a =，37S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A ．31 B ．31或314C ．3116D ．3116或314【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出1a 和q 的值，并确定出等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得()21231217a a q S a q q ==⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 由于等比数列{}n a 是递增数列，则11a =，2q，1111112n n n na a a q a ++∴===，且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公比的等比数列， 因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为511131211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2221xf x x x =--+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据()f x ,求出(0)f ,即可排除错误选项. 【详解】解:因为()2221xf x x x =--+,所以(0)0f =,排除ACD .故选:B . 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数的图象,解题关键是特殊值的选取,属基础题.8．已知向量()2cos ,2sin a θθ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【答案】C【解析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 【详解】 解:因为()2cos ,2sin a θθ=,()0,1b =,所以2sin cos ,sin ||||2a b a b a b θ⋅<>===,因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,2a b πθ<>=-,所以向量a 与b 的夹角为2πθ-.故选:C . 【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.9．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】由程序框图可得， 1n =时， 4462242a b =+=>⨯==，继续循环； 2n =时，6692482a b =+=>⨯==，继续循环； 3n =时， 9279281622a b =+=<⨯==， 继续循环；结束输出3n =.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错. 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：任意1x ，()212x x x ∈[0,+∞)≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()32log 31212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()32log 1321log 2log 29f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()332log log 1212log 229f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()32log 13212log 2log 9f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】根据条件可知()f x 在[0,)+∞上单调递减,然后结合()f x 的奇偶性比较函数值的大小即可. 【详解】解:由任意1x ,()212[,+)x x x ∈0∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,知()f x 在[0,)+∞上单调递减,又()f x 为R 上的偶函数,所以32log (2()3)f f =<31(log )(2)(2)9f f f =-=<12(log 2)(1)f f -=,即()32log 31212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:A . 【点睛】本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.11．函数()()()()128f x x x S x S x S =---，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n a n n =+，则()0f '=（ ）A ．112B ．14C ．18D ．19【答案】D【解析】先利用裂项相消法求出n S ,再求出()f x ',进一步求出(0)f '的值.【详解】 解:因为()11n a n n =+,所以111n a n n =-+,所以11111[(1)()()]2231n S n n =-+-++-+=1111nn n -=++. 由()()()()128f x x x S x S x S =---,得()()()()()()128128()+x [ ] f x x S x S x S x S x S x S ''=------,所以1281281(0)2399S S f S =='⨯⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了导数的运算和利用裂项相消法求数列的前n 项和,属中档题.12．已知函数222,0()|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③1234102x x x x <+++<，④123401x x x x <<，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得122x x +=-，341x x =，数形结合求出12210x x -<<-<<,341122x x <<<<，进而可得结果. 【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图，得出122x x +=-，341x x =，①错、②正确；且12210x x -<<-<<，341122x x <<<<， 344415(2,)2x x x x +=+∈， 则123444112(0,)2x x x x x x +++=-++∈，③正确； 因为221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈， 所以123412(0,1)x x x x x x =∈④正确.故选C. 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题13．已知随机变量ζ服从正态分布()22,N δ，则()2P ζ<=___________.【答案】12【解析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可. 【详解】解:因为随机变量ζ服从正态分布()22,N δ,所以正态曲线关于2ζ=对称,所以()122P ζ<=.故答案为:12. 【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题. 14．设函数()()lg 1f x x =-，则函数()()f f x 的定义域为___________.【答案】（-9，1）【解析】先求出(())f f x ,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域. 【详解】解:因为()()lg 1f x x =-,所以()()lg(1())lg[1lg(1)]ff x f x x =-=--.由1lg(1)010x x -->⎧⎨->⎩,得1101x x -<⎧⎨<⎩,所以91x -<<,所以函数()()ff x 的定义域为(9,1)-.故答案为:(9,1)-. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15．已知函数()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=.若()11f =，则()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.【答案】0【解析】根据()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=,得到(0)0f =和()f x 的周期,再结合(1)1f =,求出(1)f ,(1)f ,(3)f 和(4)f 的值,进一步得到答案.【详解】解:因为()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=, 所以(0)0f =,(1)(3)(3)f x f x f x -=---=+, 则()(4)f x f x =+,所以()f x 的周期4T=,又()11f =,所以(3)(1)(1)1f f f =-=-=-,(4)(0)0f f ==,令1x =-,则(31)(2)2(2)0f f f -++-=-=,所以(2)0f -=,所以(2)(2)0f f =--=, 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=504[(1)(2)(3)(4)]0f f f f ⨯+++=. 故答案为:0. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的应用,考查了转化思想和计算能力,属中档题. 16．对于函数()13f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω）：①若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=；②若函数()y f x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的范围为110,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若2ω=，则()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为210y --=；④若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；⑤若2ω=，则函数1y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象.其中正确命题的序号有_______.（把你认为正确的序号都填上）【答案】①④【解析】①根据条件,可得44T π=,然后利用周期公式求出ω;②根据()f x 在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,可得332432ωπππωπππ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩,然后求出ω的范围;③当2ω=时,求出f (0)和f (x )的导函数,然后求出()()0,0f 处的切线方程的斜率()k f x '=,再求出切线方程即可;④根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,直接利用整体法求出f (x )的值域,从而得到f (x )的最小值;⑤直接求出函数1y x =+的图象向右平移3π个单位的解析式即可. 【详解】解:①若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π,则 44T π=,所以T π=,所以22T πω==,故①正确;②当(,)34x ππ∈-,则(,)33343x πωππωππω-∈---, 因为0>ω,所以若函数()y f x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,则332432ωπππωπππ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩,所以12ω≤,又0>ω,所以102ω<≤,故②错误; ③当2ω=时,())13f x x π=-+,则1(0)2f =-, ())3x x f π'=- ,所以切线的斜率(0)f k ='=,所以()y f x =在点()()0,0f处的切线方程为210y --=,故③错误; ④当2ω=时,())13f x x π=-+,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ2π2[,]333x -∈-,所以当(2)[32sin x π-∈-,所以1()(122min f x =-+=-,故④正确; ⑤当2ω=时,())13f x x π=-+,若1y x =+的图象向右平移3π个单位,则2)]1)1()33y x x f x ππ=-+=-+≠,故⑤错误. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.三、解答题17．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.【答案】（1）60；（2）ABC ∆面积的最大值为，此时ABC ∆为等边三角形. 【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出1cos 2A =，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值； （2）对a 利用余弦定理，利用基本不等式求出bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c =，可判断出此时ABC ∆的形状.【详解】 （1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，()22b c a bc ∴-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，0180A <<，60A ∴=；（2）由余弦定理和基本不等式得222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，236bc a ∴≤=，当且仅当6b c a ===时，等号成立，ABC ∆∴的面积113sin 369322ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=.此时，由于6b c ==，60A =，则ABC ∆是等边三角形. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n da bc K a c b d a b c d -=++++（其中n a b c d =+++）【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，43. 【解析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算2K ,再对照表得出结论;(2)先确定甲班人数X 的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X 的分布列和数学期望. 【详解】解:(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示,根据22⨯列联表中的数据,得()22401041610 3.956 3.84126142020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6. 由题意可知X 的取值分别为X 0=,1X =,2X =,则()22261015C P X C ===；()1124268115C C P X C ⋅===；()24266215C P X C ===. ∴X 的分布列为其数学期望EX =18640121515153⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题. 19．已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln x x x x e e<-成立.【答案】（1）()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的递增区间和递减区间；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，证明出()()max min f x g x ≤，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可. 【详解】 （1）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x-'=. 令()0f x '>，即ln 1x <，解得0x e <<；令()0f x '<，即ln 1x >，解得x e >. 因此，函数()y f x =的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，其中0x >.由（1）知，函数()ln x f x x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1f x f e e==. ()2x x g x e e =-，()1x x g x e-'∴=.令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >.所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. 则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g e==. ()()maxmin f x g x ∴≤，所以，ln 2x x x x e e <-，因此，22ln x x x x e e<-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．已知数列(){}()*2log 1n a n N -∈为等差数列，且13a=，39a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意*n N ∈，总有43n m S -<，求m 的取值范围. 【答案】（1）21nn a =+；（2）[)10,+∞. 【解析】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，利用1a 、3a 求出d 的值，可求出数列(){}2log 1n a -的通项公式，再利用对数式化指数式可求出n a ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用定义判断数列{}n b 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出n S ，可求出n S 的取值范围，即可得出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，则()()2321222log 1log 1log 8log 22d a a =---=-=，解得1d =，()212log 1log 21a -==，()()2log 1111n a n n ∴-=+-⨯=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+；（2）1221122n n n n b a -===-，11112121222n n n n n n b b -+-∴===，且11b =， 所以，数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11112211212n n n S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-， 由于数列{}n S 单调递增，11S =，12n S ∴≤<， 对任意*n N ∈，总有43n m S -<，423m -∴≥，解得10m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)10,+∞. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前n 项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()f x 满足：()()()12102x f f x x x e f x -'=-+. （1）求()f x 的解析式；（2）若()()212g x f x x =-，且当0x >时，()()10x k g x x '-++>，求整数k 的最大值. 【答案】（1）()212xe xf x x =-+；（2）2.【解析】(1)直接对f (x )求导,然后令x =1,求出(0)f ',再令x =0,求出(1)f ',从而得到f (x )的解析式; (2)先求出g (x )的解析式,然后利用分离参数法求出k 的范围,进一步得到整数k 的最大值. 【详解】解:(1)∵()()()12102x f f x x x e f x -'=-+, ∴()()()10x x f x x f ef -''=-+,令1x =得,()01f =,即()()12112x f e f x x x -'=-+, 令0x =得,(1)e f ,∴函数()f x 的解析式为()212xe xf x x =-+. (2)由(1)有()xg x e x =-,则()1xg x e '=-,∴()()()()111xx k g x x x k e x '-++=--++,故当0x >时,()()10x k g x x '-++>等价于()101xx k x x e +<+>-①, 令()1(0)1x h x x x x e +=+>-,则()()()()2221111x x x x xh x e e x xe e e ----=+=-'-, 令函数()2xe x H x =--,易()H x 在()0,∞+上单调递增,而()01H <,()02H >,所以()H x 在()0,∞+内存在唯一的零点, 故()h x '在()0,∞+内存在唯一的零点,设此零点为0x ,则()01,2x ∈. 当()00,x x ∈时,()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时,()0h x '>.∴()h x 在()0,∞+内的最小值为()0h x .又由()00h x '=可得002xe x =+∴()()00000112,31x x x x h x e +=+=+∈-,∴k 2≤, ∴()101xx k x x e +<+>-恒成立,则整数k 的最大值为2. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值. 【答案】（1）圆的普通方程为()()22129x y -++=；0x y m ；（2）2m=-32.【解析】试题分析：(Ⅰ)消去参数可得圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程分别为()()22129x y -++=,0x y m -+= ；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得3m =-±试题解析：（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=.πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得 sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=. （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，2=，解得3m =-±.23．函数()2f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]2,3-；（2）(][),62,-∞-+∞.【解析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，然后分1x ≤-、12x -<<、2x ≥三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式()5f x ≤，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数()2f x x a x =++-的最小值为2a +，由题意可得出24a +≥，解出该不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()12f x x x =++-.当1x ≤-时，()()()12215f x x x x =-++-=-+≤，解得2x ≥-，此时21x -≤≤-； 当12x -<<时，()1215f x x x =-+-=≤成立，此时12x -<<； 当2x ≥时，()12215f x x x x =++-=-≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤. 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]2,3-；（2）由于不等式()4f x ≥在R 上恒成立，则()min 4f x ≥.由绝对值三角不等式可得()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+，24a ∴+≥，即24a +≤-或24a +≥，解得6a ≤-或2a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟考试 数学(理)
内江市高中2020届第－次模拟考试题数学(理科)1.本试卷包括第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答第I 卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II 卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3.考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置。
)1.已知集合A ＝{1，2，m}，B ＝{3，4}，若A ∪B ＝{1，2，3，4}，则实数m 为A.1或2B.2或3C.1或3D.3或42.已知复数21i z i =+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416。
在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为A.1πB.3πC.3πD.332π 4.在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 A.－10 B.10 C.－5 D.55.函数y ＝f(x)在P(1，f(1))处的切线如图所示，则f(1)＋f′(1)＝A.0B.12C.32D.－126.已知等比数列{a n }是递增数列，a 2＝2，S 3＝7，则数列{1n a }的前5项和为 A.31B.31或314C.3116D.3116或3147.函数f(x)＝x 2－2x －2|x －1|＋1的图像大致为8.已知向量(2cos ,2sin ),(,),(0,1)2a b πθθθπ=∈=r r ，则向量a r 与b r 的夹角为 A.32πθ- B.2πθ+ C.2πθ- D.θ 9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。
2020年四川省内江市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =U ( ) A.{|0}x x > B.{|12}x x << C.{|12}x x ≤< D.{|0x x >且1}x ≠2.已知复数z 在复平面内对应的点为()0,1，则1iz+=（ ） A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --3.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知tan 3,2ααπ=∈(0,),则sin 2cos()αα+π-的值为( )5.函数2()sin cos f x x x =+的部分图象符合的是( )A. B.C. D.6.已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则()3f -=( ) A.2-B.1-C.2D.17.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派3位专家对2个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.16B.14 C. 13D.128.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且, 2ACB π∠≠,,为中点.过点作交所在直线于,则AQ uuu r 在方向上投影的最大值是( )3BAC π∠=1BC =P BC P PQ BC ⊥AC Q BC uuurA.13B.12D.239.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( ) A.12512B.3512C.274D.23410.在ABC △中,3,4,5AB BC AC ===,过B 点作AC 的垂线，垂足为,D 以BD 为折痕将ABD △折起使点A 到达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P BDC -的外接球的表面积为( ) A.25πB.16πC.48πD.48125π 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过右焦点2F 作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若22F P PM =u u u u r u u u u r ，且12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )D.12.已知函数2()(1)(0)f x ax x x a =-+>，方程[]()f f x b =对于任意[]1,1b ∈-都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( ) A.(1,)+∞ B.(2,)+∞C.(3,)+∞D.(4,)+∞二、填空题 13.若92()a x x+的二项展开式中的6x 的系数为9，则a =__________ 14.在直角坐标系xOy 中，记0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点00(,)M x y ，0031x y -≥的概率P =_________．15.已知点,,A B C 均位于同一单位圆O 上，且2BA BC AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，若3PB PC ⋅=u u u r u u u r，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的取值范围为__________．16.已知函数311()e ,()ln 3x f x g x x -==+，若()()f m g n =，则n m -的最小值为__________． 三、解答题17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，1237a a a ++=，数列{}n n b a -的前n 项和为2n S n =1.求n a ；2.求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中,,//,AB PC AD BC AD CD ⊥⊥，且222PC BC AD CD PA =====．1.证明：PA ⊥平面ABCD ；2.在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理由．19.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单提成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单提成6元，大于40单的部分每单提成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表0.05的前提下认为“繁忙日”与公司有关？ 2.若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++A与抛物线24x y=的焦点重合．1.求椭圆C的方程；2.是否存在直线l，使得直线l与椭圆C交于,M N两点，且椭圆C的右焦点F恰为AMN△的垂心(三条高所在直线的交点)？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．21.已知函数()(1)ln(1)1f x ax b x x=-+++，曲线在点(0,(0))f处的切线方程为x y b-+=．1.求,a b的值；2.若当0x≥时，关于x的不等式2()1f x kx x≥++恒成立，求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线:2x tly t=⎧⎪⎨=⎪⎩(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos240ρθ+=．1.写出曲线C的直角坐标方程；2.已知点A，直线l与曲线C相交于点M N、，求11||||AM AN+的值．23.已知函数2()2f x x x=-，()g x a x b=-.1.当1,2a b==，求不等式()()f xg x£的解集；2.若函数()g x满足(1)(1)g x g x+=-，且()3()f xg x+?恒成立，求a的取值范围.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：B解析：复数z 在复平面内对应的点为()0,1，则1i 1i i 11i i 1z ++-===--．故选：B ． 3.答案：C 解析： 4.答案：D 解析： 5.答案：B解析：函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，(0)sin 0cos01f =+=排除C ，22()sin cos sin 02424f ππππ=+=>，排除A ，D ， 故选：B ． 6.答案：A 解析：7.答案：A解析：4个专家分为3组，2,1,1，方法数有24C 种，再排到3个县区，故基本事件的总数有2343C A 36⋅=种. “甲，乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数为33A 种，故“甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率” 为61366=. 8.答案：C 解析： 9.答案：A解析：设A 学生答对题的个数为m ，得分5m ，则1(12,)4m B :，139()12444D m =⨯⨯=，9225()2544D X ∴=⨯=．设B 学生答对题的个数为n，得分5n ，则1(12,)4n B :，128()12333D n =⨯⨯=，8200()2533D Y ∴=⨯=．200225125()()3412D Y D X ∴-=-=． 故选：A ． 10.答案：D解析：3,4,5,AB BC AC ===且BD AC ⊥， 可得1216,55BD DC ==， 从而95PD AD ==， 在三棱锥P BDC -中，,,DB DC DP 两两垂直， 可知其为长方体的一部分，其外接球直径2R 5==，故其表面积为：2481425ππ⨯=⎝⎭，故选：D ． 11.答案：A解析：2(,0)F c ，渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，2F M b ∴==，2222,3bF P PM PF =∴=u u u u r u u u u r Q ， 由双曲线定义可知：12122,23bPF PF a PF a -=∴=+， 又12122,120F F c F PF =∠=︒，在12PF F △中，由余弦定理可得：222422214(2)2(2)()93332b b b bc a a =++-⨯⨯+⨯-， 又222c a b =+，23b a ∴=，即32b a =．e 2a ∴===． 故选：A ．12.答案：D解析：因为方程[]()f f x b =对于任意[]1,1b ∈-都有9个不等实根， 不妨令0b =，则方程[]()0f f x =有9个不等实根，令2()(1)0f x ax x x =-+=，解得：1230,x x x ===所以12(),()0,()f x x f x f x x ===都要有3个不同的根 由2()(1)(0)f x ax x x a =-+>可得：22()()(()1)()(1)()f x a x x x ax x x f x ⎡⎤-=---+-=--+=-⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，又22'()(1)213(1)f x a x ax x ax a =-+⋅+=--，由1()f x x =有3个不等实根，可得()f x 不是单调函数，即：1a >令'()0f x =，解得：x = 作出,'(),()x f x f x 的关系如下表：作出的简图如下：要使得1()f x x =有3个根，至少要满足1f x <，即：213a a ⎛⎫⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.05a >≈. 即： 3.05a >，排除,,A B C . 故选：D.13.答案：1解析：92()a x x+∵的二项展开式的通项公式为9319r r rr T C a x -+=⋅⋅， 令936r -=，求得1r =，可得展开式中的6x 的系数为99a =，1a =∴， 故答案为：114.答案：45解析：根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足0031x y -≥的是黑色部分，在中任取一点0000(,),31M x y x y -≥的概率P,即为黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,A B C ,2221(,),(2,1),(0,1)31155x y x yA B C y x x y ==⎧⎧⇒⇔-⎨⎨=-=+⎩⎩, 1111,225BOC B AOC A S OC x S OC x =⨯⨯==⨯⨯=,112121422515122P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯ 故答案为：45. 15.答案：[]5,7解析：由2BA BC AB ⋅=u u u r u u u r u u u r 可得：22()BA AC AB BA AC AB AB ⋅-=⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以0BA AC ⋅=u u u r u u u r ，所以BA AC ⊥u u u r u u u r，即线段BC 为单位圆的直径. 以圆心为原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图：则(1,0)B -，(1,0)C设(,)P x y ，则(1,),(1,)PB x y PC x y =---=--u u u r u u u r由3PB PC ⋅=u u u r u u u r 可得：224x y +=，所以点P 在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，因为3PA PB PC PO OA PO OB PO OC PO OA ++=+++++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3PA PB PC PO OA ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=又1cos ,1PO OA -≤≤，PA PB PC ≤++≤u u u r u u u r u u u r 57PA PB PC ≤++≤u u u r u u u r u u u r.16.答案：2ln 33+ 解析：17.答案：1.设等比数列{}n a 的公比qQ1237a a a ++=即217q q ++=，解得：2q =或3-又{}n a 的各项为正，0q \>，故2q =\12n n a -=2.设n n n c b a =-，数列{}n c 前n 项和为2n S n =.由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得21n c n =-.21n n b a n \-=-121212n n n b n a n -\=-+=-+112[13(21)](122)n n n T a a a n -\=+++=+++-+++L L L22122112nn n n -=+=+--解析：18.答案：1.∵在底面ABCD 中，//,AD BC AD CD ⊥，且22BC AD CD ===， ∴2AB AC ==，BC = ∴AB AC ⊥，又,,AB PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂Q 平面,PAC PC ⊂平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ，又PA ⊂Q 平面PAC ，∴AB PA ⊥，2,PA AC PC PA AC ===∴⊥Q ，又,,PA AB AB AC A AB ⊥⋂=⊂Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．2.在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则//MN PA ，又由1得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ，又∵ABCD 平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N ⋂=，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PM x PD=，则(1)22,22MN x AP x ON AN xAD x =-=-===， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即22tan tan 60MN x MON ON x -∠===︒=即4PM x PD==-∴满足要求的点M 存在，且4PM PD =- 解析：19.答案：1.依题意得，公司与“繁忙日”列联表222()100(15252535) 4.17()()()()50504060n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯,4.17 3.841>， 所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“繁忙日”与公司有关.2.①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以，X 的所有可能取值为228,234,240,247,254，X 的分布列为：11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=（元）,因为238.8241.8<，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘． 解析：20.答案：1.∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，它的一个顶点A 与抛物线24x y =的焦点重合．抛物线24x y =的焦点坐标为(0,1)1b =∴，由已知得2c a =，再由222a b c =+，解得a = ∴椭圆方程为2212x y +=． 2.设1122(,),(,),(1,0),(0,1)M x y N x y F B ，1BF k =-∴，F ∵是垂心，1MN k =∴∴设MN 的方程为y x t =+，代入椭圆方程后整理得：2234220x tx t ++-=1243t x x +=-∴，将x y t =-代入椭圆方程后整理得：223220y ty t -+-=， 1223t y y +=∴， F ∵是垂心，MF BN ⊥∴，1122(1,),(,1)MF x y BN x y =-=-u u u r u u u r ，1212(1)(1)0MF BN x x y y ⋅=---=u u u r u u u r ∴，整理得：1212120x x x x y y t +--+=， 224220333t t t t 2-----+=∴， 2340t t +-=∴43t =-∴或1t =(舍) ∴存在直线l ，其方程为43y x =-使题设成立． 解析：21.答案：1.函数()(1)ln(1)1f x ax b x x =-+++，导数为'()(ln(1)1)f x a b x =-++，曲线在点(0,1)处的切线方程为0x y b -+=，可得1,1a b b -==,则2a =，即有2,1a b ==；2.当0x ≥时，关于x 的不等式2()1f x kx x ≥++恒成立，可得22(1)ln(1)11x x x kx x -+++≥++恒成立，即有2(1)ln(1)0kx x x x -+++≤对0x ≥恒成立，可设2()(1)ln(1)g x kx x x x =-+++，导数为'()2ln(1)g x kx x =++，设()2ln(1),0h x kx x x =++≥， 1'()21h x k x =++， 当20k ≥时，'()0h x >，()h x 在0x ≥递增，可得()(0)0h x h ≥=，则()g x 在0x ≥递增，()(0)0g x g ≥=，与题设矛盾；当20k <，'()0h x =，可得112x k=--，①当12k ≤-时，1102k--<，在0x ≥时，'()0h x ≤，()h x 递减，可得()(0)0h x h ≤=， 则()y g x =在0x ≥递减，可得()(0)0g x g ≤=恒成立；②当12k >-时，1102k -->，1(0,1)2x k∈-- 上()h x 递增， 在1(1,)2x k∈--+∞递减，且(0)0h =， 所以在1(0,1)2x k ∈--上()(0)0h x h >=，故在1(0,1)2x k ∈--上()g x 递增， ()(0)0g x g ≥=，与题设矛盾．综上可得，k 的范围是1(,]2-∞-解析：22.答案：1.2cos 240ρθ+=∵． 2222cos sin 40ρθρθ-+=∴，2240x y -+=∴，224y x -=∴；2.将直线l的参数方程化为标准形式为：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入曲线C 的方程得234105t t ++=， 1212205,33t t t t +=-⋅=∴， 则1212121111||4||||||||t t AM AN t t t t ++=+==． 解析：23.答案：1.当1,2a b == ，()()f x g x ≤Q222x x x ∴-≤-等价于2222x x x x ≥⎧⎨-≤-⎩ 或2222x x x x <⎧⎨-≤-+⎩解得12x -≤≤所以原不等式的解集为{|12}x x -≤≤2.因为()()11g x g x +=- ，所以函数()g x 的图像关于直线1x =对称， 1b ∴=因为()()3f x g x +≥恒成立， 等价于2231x x a x -+≥-恒成立， 令1x t -=，当1x ≠时，22()t φt t +=2t t=+ ，可知0,()t φt >?；原不等式等价于min()a φt ?；当1x =时，R a ∈ ；综上，a 的取值范围为 (,-∞. 解析：。
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.已知集合A＝{1, 2, m}，B＝{3, 4}，A∪B＝{1, 2, 3, 4}，则m＝（）A.0B.3C.4D.3或42.已知复数z=i2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416．在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（）A.1πB.3πC.√3πD.3√32π4.在二项式(x2−1x)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A.−10B.10C.−5D.55.函数y＝f(x)在P（1, f(1)）处的切线如图所示，则f(1)+f′(1)＝（）A.0B.12C.32D.−126.已知等比数列{a n}是递增数列，a2＝2，S3＝7，则数列{1a n}的前5项和为（）A.31B.31或314C.3116D.3116或3147.函数f(x)＝x2−2x−2|x−1|+1的图象大致为（）A. B.C. D.8.已知向量a →=(√2cosθ, √2sinθ)，θ∈(π2, π)，b →=(0, 1)，则向量a →与b →的夹角为（ ） A.3π2−θ B.π2+θ C.θ−π2D.θ9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n ＝（ ）A.5B.4C.3D.210.定义在R 上的偶函数f(x)满足：任意x 1，x 2∈[0, +∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，则（ ）A.f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122)B.f(−log 122)<f(log 319)<f(2log 23)C.f(log 319)<f(−log 122)<f(2log 23)D.f(2log 23)<f(−log 122)<f(log 319)11.函数f(x)＝x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n=1n(n+1)，则f′(0)＝（）A.112B.19C.18D.1412.已知函数f(x)={−x2−2x,x≤0|log2x|,x>0，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论：①x1+x2＝−1，②x3x4＝1，③0< x1+x2+x3+x4<12，④0<x1x2x3x4<1，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.已知随机变量ξ服从正态分布N(2, δ2)，则P(ξ<2)＝________．14.设函数f(x)＝lg(1−x)，则函数f（f(x)）的定义域为________．15.已知函数y＝f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数满足f(−3−x)+f(x−1)＝0．若f(1)＝1，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2020)＝________．16.对于函数f(x)=√3sin(ωx−π3)+1（其中ω>0）：①若函数y＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，则ω＝2；②若函数y＝f(x)在（一π3，π4）上单调递增，则ω的范围为[12, 103]；③若ω＝2，则y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为√3x−2y−1＝0；④若ω＝2，x∈[0, π2]，则y＝f(x)的最小值为一12；⑤若ω＝2则函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位可以得到函数y＝f(x)的图象．其中正确命题的序号有________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设(sinB−sinC)2＝sin2A−sinBsinC．（1）求A；（2）当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含6的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：K2=n(da−bc)2（其中n＝a+b+c+d）(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)19.已知函数f(x)=lnxx．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx<2xe −x2e x成立．20.已知数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，且a1＝3，a3＝9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−1，S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N∗，总有S n<m−43，求m的取值范围．21.已知函数f(x)满足：f(x)＝f′(1)e x−1−f(0)x+12x2．（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)＝f(x)−12x2，且当x>0时，(x−k)g′(x)+x+1>0，求整数k的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分．22.（15年福建）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=1+3costy=−2+3sint（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为√2ρsin(θ−π4)=m，(m∈R)．（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．23.设函数f(x)＝|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围．2020年四川省内江市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.已知集合A＝{1, 2, m}，B＝{3, 4}，A∪B＝{1, 2, 3, 4}，则m＝（）A.0B.3C.4D.3或4【解答】∵A＝{1, 2, m}，B＝{3, 4}，A∪B＝{1, 2, 3, 4}，∴m＝3或m＝4，2.已知复数z=i2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解答】解：∵z=i2i+1=i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=25+15i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(25,15)，位于第一象限．故选A.3.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416．在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（）A.1πB.3πC.√3πD.3√32π【解答】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为2π÷12=π6，腰为1的等腰三角形，∴该正十二边形的面积为S＝12×12×1×1×sinπ6=3，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为3π，4.在二项式(x2−1x)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A.−10 B.10 C.−5 D.5【解答】解：对于T r+1=C5r(x2)5−r(−1x)r=(−1)r C5r x10−3r，对于10−3r=4，∴r=2，则x4的项的系数是C52(−1)2=10.故选B.5.函数y＝f(x)在P（1, f(1)）处的切线如图所示，则f(1)+f′(1)＝（）A.0B.12C.32D.−12【解答】∵切线过点(2, 0)与(0, −1)，∴f′(1)=−1−00−2=12，则切线方程为y=12x−1，取x＝1，得f(1)=−12，∴f(1)+f′(1)=−12+12=0．故选：A．6.已知等比数列{a n}是递增数列，a2＝2，S3＝7，则数列{1a n}的前5项和为（）A.31B.31或314C.3116D.3116或314【解答】等比数列{a n}是递增数列，且公比设为q，a2＝2，S3＝7，可得a1q＝2，a1+a1q+a1q2＝7，解得a1＝1．q＝2，或a1＝4，q=12（舍去），则1a n =12，数列{1a n}的前5项和为1+12+⋯+116=1−1251−12=3116．7.函数f(x)＝x2−2x−2|x−1|+1的图象大致为（）A. B.C. D.【解答】f(x)＝x 2−2x −2|x−1|+1＝(x −1)2−2|x−1|， 则函数关于x ＝1对称，排除A ，C ， f(0)＝−2+1＝−1<0，排除D ，8.已知向量a →=(√2cosθ, √2sinθ)，θ∈(π2, π)，b →=(0, 1)，则向量a →与b →的夹角为（ ） A.3π2−θ B.π2+θC.θ−π2D.θ【解答】∵向量a →=(√2cosθ, √2sinθ)，θ∈(π2, π)，b →=(0, 1)， 设向量a →与b →的夹角为α，α∈[0, π)，∴cosα=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√2sinθ√2⋅1=sinθ＝cos(θ−π2)，故α＝θ−π2，9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n ＝（ ）A.5B.4C.3D.2【解答】 当n ＝1时，a =152，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a =454，b ＝8满足进行循环的条件，当n ＝3时，a =1358，b ＝16满足进行循环的条件， 当n ＝4时，a =40516，b ＝32不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4，10.定义在R 上的偶函数f(x)满足：任意x 1，x 2∈[0, +∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，则（ ）A.f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122)B.f(−log 122)<f(log 319)<f(2log 23)C.f(log 319)<f(−log 122)<f(2log 23)D.f(2log 23)<f(−log 122)<f(log 319) 【解答】任意x 1，x 2∈[0, +∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，∴函数在[0, +∞)上单调递减，根据偶函数的对称性可知，函数在(−∞, 0)上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，∵f(2log 23)=f(3)，f(log 319)=f(−2)＝f(2)，f(−log 122)=f(1)，则f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122)．故选：A ．11.函数f(x)＝x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n =1n(n+1)，则f′(0)＝（ ） A.112 B.19C.18D.14【解答】∵f(x)＝x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，∴f′(x)＝[(x −S 1)(x −S 2)...(x −S 8)]+x[(x −S 1)(x −S 2)...(x −S 8)]′， 则f′(0)＝S 1S 2...S 8， ∵a n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴S n ＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1，则S 1S 2...S 8=12×23×⋯×89=19，12.已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤0|log 2x|,x >0 ，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则下列结论：①x 1+x 2＝−1，②x 3x 4＝1，③0<x 1+x 2+x 3+x 4<12，④0<x 1x 2x 3x 4<1，其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解答】作出函数f(x)={−x 2−2x,x ≤0|log 2x|,x >0 的图象如图，则x 1+x 2＝−2，故①错误；由f(x 3)＝f(x 4)，得|log 2x 3|＝|log 2x 4|，∴−log 2x 3＝log 2x 4， 则log 2(x 3x 4)＝0，即x 3x 4＝1，故②正确； x 1+x 2+x 3+x 4＝−2+x 3+x 4=x 3+1x 3−2，由log 2x ＝−1，得x =12，则12<x 3<1，∴x 3+1x 3−2∈(0, 12)，即0<x 1+x 2+x 3+x 4<12，故③正确；x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2＝x 1(−2−x 1)=−x 12−2x 1， ∵−2<x 1<1，∴−x 12−2x 1∈(0, 1)， 即0<x 1x 2x 3x 4<1，故④正确． ∴正确命题的个数是3个．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 已知随机变量ξ服从正态分布N(2, δ2)，则P(ξ<2)＝________． 【解答】∵随机变量ξ服从正态分布N(2, δ2)， ∴正态曲线的对称轴是x ＝2 ∴P(ξ<2)＝0.5设函数f(x)＝lg(1−x)，则函数f （f(x)）的定义域为________． 【解答】要使函数有意义，则1−x >0，得x <1，即函数f(x)的定义域为(−∞, 1)， 要使函数f （f(x)）有意义，则f(x)<1， 即lg(1−x)<1，得0<1−x <10， 得−9<x <1，即函数f（f(x)）的定义域为(−9, 1)，已知函数y＝f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数满足f(−3−x)+f(x−1)＝0．若f(1)＝1，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2020)＝________．【解答】∵y＝f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数满足f(−3−x)+f(x−1)＝0，∴f(x−1)＝f(x+3)，∴f(x)＝f(x+4)，即f(x)的周期为4，∵f(1)＝1，且f(0)＝0，∴由f(x)＝f(x+4)得，f(3)＝f(−1)＝−f(1)＝−1，f(2)＝f(−2)＝−f(2)，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝−1，f(4)＝0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝0，且2020＝4×504，∴f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2020)＝0．故答案为：0．对于函数f(x)=√3sin(ωx−π3)+1（其中ω>0）：①若函数y＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，则ω＝2；②若函数y＝f(x)在（一π3，π4）上单调递增，则ω的范围为[12, 103]；③若ω＝2，则y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为√3x−2y−1＝0；④若ω＝2，x∈[0, π2]，则y＝f(x)的最小值为一12；⑤若ω＝2则函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位可以得到函数y＝f(x)的图象．其中正确命题的序号有________（把你认为正确的序号都填上）．【解答】对于①，∵函数y＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，即T4=π4，得T＝π，∴2πω=π，则ω＝2，故①正确；对于②，由−π2+2kπ≤ωx−π3≤π2+2kπ，得−π6ω+2kπω≤x≤5π6ω+2kπω，k∈Z．取k＝0，可得−π6ω≤x≤5π6ω，由函数y＝f(x)在（一π3，π4）上单调递增，得{−π3≥−π6ωπ4≤5π6ω，解得0<ω≤12，故②错误；对于③，由ω＝2，得f(x)=√3sin(2x−π3)+1，得f′(x)＝2√3⋅cos(2x−π3)，则f′(0)=√3，又f (0)）=−12，∴y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为y+12=√3x，即2√3x−2y−1=0，故③错误；对于④，ω＝2，则f(x)=√3sin(2x−π3)+1，∵x∈[0, π2]，∴2x−π3∈[−π3, 2π3]，则当2x−π3=−π3时，y＝f(x)的最小值为−12，故④正确；对于⑤，ω＝2，则f(x)=√3sin(2x−π3)+1，而函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位，得到y=√3sin2(x−π3)+1=√3sin(2x−2π3)+1，故⑤错误．∴正确命题的序号是①④．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设(sinB−sinC)2＝sin2A−sinBsinC．（1）求A；（2）当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．【解答】根据题意，(sinB−sinC)2＝sin2A−sinBsinC，由正弦定理可得：(b−c)2＝a2−bc，变形可得：b2+c2−a2＝bc，则cosA=b 2+c2−a22bc=12，又由0<A<π，则A=π3；根据题意，若a＝6，则a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc＝36，变形可得：bc≤36，则有S=12bcsinA=√34bc≤9√3，当且仅当b＝c时等号成立，此时△ABC为等边三角形．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含6的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：K2=n(da−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)（其中n＝a+b+c+d）【解答】列出二维联表：得K 2=40×(10×4−10×16)226×14×20×20≈3.956>3.841所以能在犯错误的概率不超过0.05的前期下认为成绩优良与教学方式有关； 由题意可知X 的取值为0，1，2， 则P(X ＝0)=C 22C 62=115；P(X ＝1)=C 21C41C 62=815；P(X ＝2)=C 42C 62=25．E(X)＝0×115+1×815+2×25=43． 已知函数f(x)=lnx x．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx <2x e−x 2e x 成立．【解答】函数的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)>0，解得0<x <e ，令f′(x)<0，解x >e ， ∴函数f(x)的增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)； 证明：lnx <2x e−x 2e x 等价于lnx x <2e −x e x ，即证f(x)<2e −xe x ，由（1）知，f(x)≤f(e)=1e ，当x ＝e 时取等号， 令m(x)=2e −xe ，则m ′(x)=x−1e ，易知函数m(x)在(0, 1)递减，在(1, +∞)递增，∴m(x)≥m(1)=1e，当x＝1时取等号，∴f(x)<m(x)对一切x∈(0, +∞)都成立，则对一切x∈(0, +∞)，都有lnx<2xe −x2e x成立．已知数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，且a1＝3，a3＝9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−1，S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N∗，总有S n<m−43，求m的取值范围．【解答】数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，设公差为d，a1＝3，a3＝9，可得log2(9−1)＝log2(3−1)+2d，即3＝1+2d，解得d ＝1，则log2(a n−1)＝1+n−1＝n，即a n＝1+2n；b n=2a n−1=22+1−1=(12)n−1，S n=1−1 2n1−12=2(1−12n)<2，对任意n∈N∗，总有S n<m−43，可得m−43≥2，解得m≥10，可得m的取值范围是[10, +∞)．已知函数f(x)满足：f(x)＝f′(1)e x−1−f(0)x+12x2．（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)＝f(x)−12x2，且当x>0时，(x−k)g′(x)+x+1>0，求整数k的最大值．【解答】∵f(x)＝f′(1)e x−1−f(0)x+12x2，∴f′(x)＝f′(1)e x−1−f(0)+x，令x＝1可得f(0)＝1，即f(x)＝f′(1)e x−1−x+12x2，令x＝0可得，f′(1)＝e，∴f(x)＝e x−x+12x2，由（1）可得g(x)＝e x−x，g′(x)＝e x−1，∴(x−k)g′(x)+x+1＝(x−k)(e x−1)+x+1，当x>0时，由(x−k)g′(x)+x+1>0可得，k<x+1e x−1+x(x>0)，①令ℎ(x)=x+1e x−1+x，则ℎ′(x)=−(xe x+1)(e x−1)2+1=e x(e x−x−2)(e x−1)2，令H(x)＝e x−x−2，易得H(x)在(0, +∞)上单调递增，而H(1)<0，H(2)>0，\故H(x)在(0, +∞)内存在唯一的零点，设为x0，在x0∈(1, 2)，当x∈(0, x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)在(0, +∞)上的最小值ℎ(x0)=1+x0e x0−1+x0=1+x0∈(2, 3)，∵k<x+1e x−1+x恒成立，故整数k的最大值为2．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分．（15年福建）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=1+3cost y=−2+3sint（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为√2ρsin(θ−π4)=m，(m∈R)．求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【解答】略略设函数f(x)＝|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围．【解答】（1）a＝1时，f(x)＝|x+1|+|x−2|≤5，故{x≥2x+1+x−2≤5或{−1<x<2x+1+2−x≤5或{−x−1+2−x≤5x<−1，解得：−2≤x≤3，故不等式的解集是[−2, 3]；(2)|x+a|+|x−2|≥|x+a−x+2|＝|a+2|≥4，故a+2≥4或a+2≤−4，解得：a≥2或a≤−6，故a∈(−∞, −6]∪[2, +∞)．。
2023_2024学年四川省内江市高三一模数学(理)测检测模拟试题(附解析)
．．．．A ．8种B ．14种11．设函数是定义在()f x ()(,0-∞⋃，则使得ln ()()0x x f x f x '⋅+>(x x +A ．(](),20,1-∞-根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程3．D【分析】根据流程图的作用得，即可结合选项逐一代入求解()()222,12,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩()22,1x x ⎧+≥⎪【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大z x y =+值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设得，z x y =+y x z =-+平移直线，y x z =-+由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，y x z =-+A y x z =-+此时最大．z 由，解得，即，502x y x -+=⎧⎨=⎩27x y =⎧⎨=⎩(2,7)A 代入目标函数得．z x y =+279z =+=即目标函数的最大值为z x y =+9故选：C ．5．A对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求1x =()1f '()1f '()f x '()f x '得的值.()2f '【详解】函数，则，()()231f x x xf '=+()()231f x x f ''=+令代入上式可得，则，1x =()()1231f f ''=+()11f '=-所以，()()23123f x x x '=+⨯-=-则，()22231f '=⨯-=因为.且0a b <<()()f a f b =所以且ln ln a b=01,1a b <<>所以，所以ln ln a b -=1ab =所以22222a b ab +≥=其图象的右端点的横坐标在[(0,2)π可能有2或3个极小值点（2）证明：不妨设，由得，120x x <<()()12f x f x =，11122211sin ln 1sin ln 12222m mx x x x x x --+=--+()()1ln ln sin sin m x x x x x x ∴-=---由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.故存在实数m∈[－2，2]使不等式成立．本小题主要考查利用基本不等式证明不等式，考查利用基本不等式求最值，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.。
内江市高中2020届第一次模拟考试题理科数学参考答案及评分意见
（） （ ） 分 ２
ｂｎ
＝
２ ａｎ － １
＝ ２ｎ
２ ＋１ －１
＝
１ ２ ｎ －１
＝
１ ２
ｎ－１ ８
（ ） … （ ） （ ） （ ） 分 ∴ Ｓｎ
＝１＋
１ ２
＋
１ ２＋ ２
１－ １ ｎ
＋ １ ｎ－１ ＝ ２
２ １－ １
＝２－
１ ２
ｎ－１ ＜ ２
１０
２
任意 ，总有 ， ，即 ∵
５
（２）由（１）有ｇ（ｘ）＝ ｅｘ － ｘ
（ ） （） （ ）（ ） 分 ∴ ｘ － ｋ ｇ′ ｘ ＋ ｘ ＋ １ ＝ ｘ － ｋ ｅｘ － １ ＋ ｘ ＋ １ ６
故当 时，（ ） （） 等价于 （ ） 分 ｘ ＞ ０ ｘ － ｋ ｇ′ ｘ ＋ ｘ ＋ １ ＞ ０
所以能在犯错误的概率不超过０． ０５ 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” ６ 分
（２）由题意可知Ｘ 的取值分别为Ｘ ＝ ，０ Ｘ ＝ ，１ Ｘ ＝ ２，则
（ ） ；（ ） · ；（ ） 分 Ｐ Ｘ ＝ ０ 的分布列为 ∴ Ｘ
＝
Ｃ２２ Ｃ２６
＝
１ １５
Ｐ
Ｘ
＝１
＝
Ｃ１２ Ｃ１４ Ｃ２６
＝
８ １５
１２
解：（）设等差数列｛ （ ）｝的公差为，由题意有 ２０． １
ｌｏｇ２ ａｎ － １
ｄ
（ ） （ ） ，即 分 ｌｏｇ２ ９ － １ ＝ ｌｏｇ２ ３ － １ ＋ ２ｄ ｄ ＝ １ ３
（ ） （ ） ，即 分 ∴ ｌｏｇ２ ａｎ － １ ＝ １ ＋ ｎ － １ × １ ＝ ｎ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １ ６
１
四川省内江市高中2021届高三数学上学期第一次模拟试题 文(含解析).doc
四川省内江市高中2021届高三数学上学期第一次模拟试题 文（含解析）第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．) 1.已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}1,2,3,4A B =，则实数m 为（ ）A. 1或2B. 2或3C. 1或3D. 3或4【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的运算结果可得出实数m 的值. 【详解】集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}1,2,3,4AB =，3m ∴=或4.故选：D.【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数21iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()12221211212555i i i i z i i i i -+====+++-， 因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.向量a ，b 满足||1a =，||4=b 且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角的大小为（ ）． A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】分析：根据两个向量数量积的定义，求出a 与b 的夹角的余弦值，再根据两个向量夹角的范围，求出两个向量的夹角. 详解：=1=4=2a b a b ⋅，，, 21cos ,142a b a b a b ⋅∴===⨯⋅ 又,a b 的范围为[0,]π, ,=3a b π∴故选C.点睛：本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.4.割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A.1πB.3πC.πD.2π【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=， 所以，半径为1圆的内接正十二边形的面积为21121sin326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为3π. 故选：B.【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.5.函数()22ln f x x x =-的单调减区间是( )A. (]0,1B. [)1,+∞ C. (],1(0-∞-⋃，1] D. [)(]1,00,1-【答案】A 【解析】【详解】求解函数的导数可得()2'2f x x x =-，求22x x-<0，由x >0，解得1x <．所以x 的取值范围为(]0,1． 故选A.6.已知等比数列{}n a 是递增数列，22a =，37S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A. 31 B. 31或314C.3116D.3116或314【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出1a 和q 的值，并确定出等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得()21231217a a q S a q q ==⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 由于等比数列{}n a 是递增数列，则11a =，2q，1111112n n n na a a q a ++∴===，且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公比的等比数列，因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为511131211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 7.函数()22xf x x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性以及()0f 的符号来判断出函数()y f x =的图象. 【详解】函数()22xf x x =-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，该函数为偶函数，排除C 、D 选项.又()010f =-<，排除A 选项. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题. 8.已知3cos (33παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭为锐角)，则sin α=（ ）A.63B.36- C.223+ D.2236- 【答案】A 【解析】试题分析：63sin sin sin cos cos sin 3333336ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角恒等变换.9.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】由程序框图可得，1n =时，4462242a b =+=>⨯==，继续循环；2n =时，6692482a b =+=>⨯==，继续循环；3n =时，9279281622a b =+=<⨯==， 继续循环；结束输出3n =.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错. 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（ ） A. 193 B. 192C. 174D. 173【答案】A 【解析】 【分析】归纳出第n 行最后一个数的表达式，可求出该数阵第19行最后一个数的值，再加上3即为所求的值.【详解】第1行最后一个数为1，第2行最后一个数为312=+，第3行最后一个数为6123=++，第4行最后一个数为101234=+++， 由上可知，第n 行最后一个数为()11232n n n +++++=， 所以，该数阵第19行最后一个数的值为19201902⨯=， 因此，第20行从左向右的第3个数为1903193+=. 故选：A.【点睛】本题考查数阵中的归纳推理，解题的关键就是推导出数阵中每一行最后一个数的规律，考查推理能力，属于中等题.11.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对0x >总有()0f x '<，则（ ） A. ()2log 313212log 2log 9f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()2log 31321log 2log 29f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2log 33121log log 229f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.()2log 331212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，函数()y f x =为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数，计算出12log 2-、31log 9、2log 32的值，结合偶函数的性质与单调性得出12log 2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31log 9f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()2log 32f 的大小关系.【详解】由题意知，函数()y f x =为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数，()12log 21f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()()31log 229f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()()2log 323f f =，则()()()321f f f <<，因此，()2log 331212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C 【解析】 【分析】 设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求. 【详解】设在曲线S 上切点为()3,3t t t-，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，21t =31t =因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条. 故选：C.【点睛】本题考查过点引曲线的切线的条数，一般转化为切点个数来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分．) 13.函数()2log 1y x =-的零点为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】解方程0y =，即可得出函数()2log 1y x =-的零点.【详解】令0y =，即()2log 10x -=，得11x -=，解得2x =， 因此，函数()2log 1y x =-的零点为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.14.设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩则1()(2)f f 的值为________． 【答案】1516【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，先求出()f 2的值，从而可得()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为函数()221,1,212,1x x f x x x x ⎧-≤=>⎨+->⎩，所以()222224f =+-=，则()211115124416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为1516. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.15.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1233a a a =，78927a a a =，则456a a a = _________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用等比中项的性质得出312323a a a a ==，3789827a a a a ==，34565a a a a =，再利用等比中项的性质可得出34565a a a a ==456a a a 的值.【详解】由等比中项的性质得出312323a a a a ==，3789827a a a a ==，34565a a a a =，易知，2a 、5a 、8a 成等比数列，则32a 、35a 、38a 成等比数列，345659a a a a ∴====.故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列中项的计算，灵活利用等比中项的性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.16.已知函数()222,0log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论：①121x x +=-；②341x x =；③1234102x x x x <+++<；④123401x x x x <<，其中正确的序号为___________（把你认为正确的结论都填上）. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】作出函数()y f x =图象，并设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则直线y t =与函数()y f x =图象的四个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x ，可得出01t <<，再结合对称性与对数运算可对四个命题的正误进行判断.【详解】如下图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图象知01t <<. 则直线y t =与函数()y f x =图象的四个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x ，二次函数22y x x =--的图象的对称轴为直线1x =-，则点A 、B 关于该直线对称， 所以，122x x +=-，命题①错误；由图象知，301x <<，41x >，由()()34f x f x =，得2324log log x x =，2324log log x x ∴-=，即()2324234log log log 0x x x x +==，解得341x x =，命题②正确；由()()42424log log 0,1f x x x t ===∈，可得412x <<，34441x x x x ∴+=+. 函数1y x x=+在区间()1,2上单调递增，则441522x x <+<，又122x x +=-， 1234102x x x x ∴<+++<，命题③正确； 由图象知，()21,0x ∈-，则()212222222x x x x x x =--⋅=--，函数22y x x =--在区间()1,0-上单调递减，所以，222021x x <--<，即1201x x <<.则123401x x x x <<，命题④正确. 因此，正确命题的序号为②③④.故答案为：②③④.【点睛】本题考查函数零点和与积的范围有关的命题的判断，解题时要充分利用函数的对称性以及对数的运算来进行求解，考查函数思想的应用，属于中等题.三、解答题(共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答．) （一）必考题：共60分17.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.【答案】（1）60；（2）ABC ∆面积的最大值为ABC ∆为等边三角形. 【解析】 【分析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出1cos 2A =，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）对a 利用余弦定理，利用基本不等式求出bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c =，可判断出此时ABC ∆的形状. 【详解】（1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，()22b c a bc ∴-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，0180A <<，60A ∴=；（2）由余弦定理和基本不等式得222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，236bc a ∴≤=，当且仅当6b c a ===时，等号成立，ABC ∆∴的面积11sin 36222ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=此时，由于6b c ==，60A =，则ABC ∆是等边三角形.【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率.附：()()()()()22dKn ad bca b c d a c b-=++++，其中n a b c d=+++）()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）815. 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图中的数据结合题中的信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，然后比较2K 的观测值与3.841的大小，即可对题中结论的正误进行判断；（2）将甲班成绩在60分以下的4个同学分别记为A 、B 、C 、D ，乙班成绩在60分以下的2各同学分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的2人来自不同班级”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意可知，22⨯列联表如下：()22401041016 3.956 3.84120202614K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”； （2）将甲班成绩在60分以下的4个同学分别记为A 、B 、C 、D ，乙班成绩在60分以下的2各同学分别记为a 、b ，从这6名同学中任意抽取2人，所有的基本事件为：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A a 、(),A b 、(),B C 、(),B D 、(),B a 、(),B b 、(),C D 、(),C a 、(),C b 、(),D a 、(),D b 、(),a b ，共15种.其中，事件“所抽取的2人来自不同班级”所包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),B a 、(),B b 、(),C a 、(),C b 、(),D a 、(),D b ，共8种.因此，所抽取的2人来自不同班级的概率为815. 【点睛】本题考查独立性检验思想的基本应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19.设函数()2132x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.（1）求a 和b 的值； （2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）13a =-，1b =-；（2）()f x 在()2,0-和()1,+∞上单调递增；在(),2-∞-和()0,1上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由()20f '-=和()10f '=得出关于a 与b 的方程组，即可解出a 和b 的值；（2）分别解出不等式()0f x '>和()0f x '<，即可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）()2132x f x x e ax bx -=++，()()212232x f x x x e ax bx -'∴=+++，由题意得()()2124013230f a b f a b ⎧-=-=⎪⎨=++=''⎪⎩，解得131a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）由（1）可得()()()()()()212211222121x x x f x x x ex x x x e x x e ---'=+--=+-=+-.解不等式()0f x '>，解得20x -<<或1x >； 解不等式()0f x '<，解得2x <-或01x <<.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()2,0-和()1,+∞，单调递减区间为(),2-∞-和()0,1. 【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题. 20.已知数列(){}()*2log 1n a n N -∈为等差数列，且13a=，39a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意*n N ∈，总有43n m S -<，求m 的取值范围.【答案】（1）21nn a =+；（2）[)10,+∞.【解析】 【分析】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，利用1a 、3a 求出d 的值，可求出数列(){}2log 1na-的通项公式，再利用对数式化指数式可求出n a ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用定义判断数列{}n b 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出n S ，可求出n S 的取值范围，即可得出关于m 的不等式，解出即可.【详解】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，则()()2321222log 1log 1log 8log 22d a a =---=-=，解得1d =，()212log 1log 21a -==，()()2log 1111n a n n ∴-=+-⨯=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+；（2）1221122n n n n b a -===-，11112121222n n n n n n b b -+-∴===，且11b =， 所以，数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11112211212n n n S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-， 由于数列{}n S 单调递增，11S =，12n S ∴≤<， 对任意*n N ∈，总有43n m S -<，423m -∴≥，解得10m ≥. 因此，实数m取值范围是[)10,+∞. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前n 项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.21.已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln x x x x e e<-成立.【答案】（1）()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的递增区间和递减区间；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，证明出()()max min f x g x ≤，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.【详解】（1）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln x f x x -'=. 令()0f x '>，即ln 1x <，解得0x e <<；令()0f x '<，即ln 1x >，解得x e >. 因此，函数()y f x =的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，其中0x >. 由（1）知，函数()ln x f x x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1f x f e e==. ()2x x g x e e =-，()1x x g x e-'∴=.令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >.所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. 则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g e==. ()()maxmin f x g x ∴≤，所以，ln 2x x x x e e <-，因此，22ln xx x x e e <-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.(二)选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分22.已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）31,2{(11;2x t t y t =+=+是参数）（2）2 【解析】【详解】（1）直线的参数方程为1cos6{1sin 6x t y t ππ=+=+，即31{112x ty t=+=+(t 为参数)（2）把直线31{112x t y t=+=+代入得22231(1)(1)4,(31)202t t t +++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为223.函数()2f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]2,3-；（2）(][),62,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，然后分1x ≤-、12x -<<、2x ≥三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式()5f x ≤，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数()2f x x a x =++-的最小值为2a +，由题意可得出24a +≥，解出该不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()12f x x x =++-.当1x ≤-时，()()()12215f x x x x =-++-=-+≤，解得2x ≥-，此时21x -≤≤-； 当12x -<<时，()1215f x x x =-+-=≤成立，此时12x -<<； 当2x ≥时，()12215f x x x x =++-=-≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤. 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]2,3-；（2）由于不等式()4f x ≥R 上恒成立，则()min 4f x ≥.由绝对值三角不等式可得()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+，24a ∴+≥，即24a +≤-或24a +≥，解得6a ≤-或2a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１００ 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各５０ 人；男性６０ 人，女性４０ 人，绘制不同群体中倾
向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选
择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是
Ａ． 是否倾向选择生育二胎与户籍有关 Ｂ． 是否倾向选择生育二胎与性别无关 Ｃ． 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 Ｄ． 倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，满分２０ 分． ）
{ 已知实数， 满足约束条件 １３．
ｘｙ
３ｘ － ｙ － ３ ≤ ０ ｘ － ２ｙ ＋ ４ ≥ ０
，则ｚ ＝ ２ｘ － ｙ 的最大值是
３ｘ ＋ ４ｙ ＋ １２ ≥ ０
．
１４． 已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ 是其前ｎ 项和． 若ａ１ ＋ ａ２２ ＝ ， － ３ Ｓ５ ＝ ，则 １０ ａ９ 的值是
２ ２０２０ ｘ
＋
１
＋
ｓｉｎｘ，其中ｆ′（ｘ）为函数ｆ（ｘ）的导数，则ｆ（２０２０）＋
（ ） （ ） （ ） ｆ － ２０２０ ＋ ｆ′ ２０２１ － ｆ′ － ２０２１ ＝
Ａ． ０Ｂ． ２Ｃ． ０２０Ｄ． ２０２１１２． 已知函数ｆ（ｘ）＝
，（ ｋｘ
１ ｅ
），（） ≤ ｘ ≤ ｅ２ ｇ ｘ ＝
Ｂ． ２１１
Ｃ． ２１０
Ｄ． ２９
７．
函数ｆ（ｘ）＝
（ ） ａｘ ＋ ｂ ｘ ＋ｃ ２
的图像如图所示，则下列结论成立的是
， ， ， ， Ａ． ａ ＞ ０ ｂ ＞ ０ ｃ ＜ ０ Ｂ． ａ ＜ ０ ｂ ＞ ０ ｃ ＞ ０
， ， ， ， Ｃ． ａ ＜ ０ ｂ ＞ ０ ｃ ＜ ０ Ｄ． ａ ＜ ０ ｂ ＜ ０ ｃ ＜ ０
５．
若向量Ａ→Ｂ
＝
（１ ２
，槡２３），Ｂ→Ｃ
＝
（槡３，１），则△ＡＢＣ
的面积为
Ａ． １ ２
槡 Ｂ． ３
Ｃ． １
２
槡 Ｄ． ３
内江一模 高三一模考试数学（理科）试卷第 １ 页（共４ 页）
６． 已知（１ ＋ ）ｘ ｎ 的展开式中第４ 项与第８ 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
Ａ． ２１２
．
在 中，角、、 的对边分别为、、，且 ， ， １５． △ＡＢＣ
ＡＢＣ
ａ ｂ ｃ ｂｔａｎＢ ＋ ｂｔａｎＡ ＝ － ２ｃｔａｎＢ ａ ＝ ８ △ＡＢＣ
的面１积６．为已４知槡３函，则数ｂｆ（＋ｘｃ）的＝值ｓ为ｉｎｘ · ｓ ｉｎ２ ｘ， ｘ
． ∈
［０
，２π］．
下列有关ｆ（ｘ）的说法中，正确的是
答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
３． 考试结束后，监考人将答题卡收回。８
第Ⅰ卷（选择题，共６０ 分）
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置． ）
设集合 ｛ （ ）｝， ｛ ｝，则 １．
内江一模 高三一模考试数学（理科）试卷第 ２ 页（共４ 页）
（填写你认为正确的序号）．
① 不等式ｆ（ｘ）＞ ０ 的解集为｛ｘ ｜
０
＜ｘ
＜
或 π ３π
４４
＜
ｘ
＜
π｝；
②ｆ（ｘ）在区间［０，２π］上有四个零点；
③ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ＝ π 对称；
④ｆ（ｘ）的最大值为４９槡３；
ｅ－
ｘ
＋１ ２
＋ １，若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象上分别
存在点Ｍ、Ｎ，使得Ｍ、Ｎ 关于直线ｙ ＝ ｘ ＋ １ 对称，则实数ｋ 的取值范围是
［ ，］ Ａ． － １ ｅ ｅ
［ ， ］ ［ ， ］ Ｂ．
－
４ ｅ２
２ｅ
Ｃ． － ２ ２ｅ ｅ
［ ， ］ Ｄ． － ３ ３ｅ ｅ
第Ⅱ 卷（非选择题，共９０ 分）
， Ｃ． － ７ ３
， Ｄ． － ７ ３ｉ
３． 已知随机变量Ｘ 服从正态分布Ｎ（ａ，４），且Ｐ（Ｘ ＞ ）１ ＝ ，（ ０． ５ Ｐ Ｘ ＞ ）２ ＝ ０． ３，则
（ ） Ｐ Ｘ ＜ ０ ＝
Ａ． ０． ２
Ｂ． ０． ３
Ｃ． ０． ７
Ｄ． ０． ８
４． 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为
Ｄ． ｆ（ａ）＜ ｆ（ｂ）＜ ｆ（ｃ）
９． 若数列｛ａｎ 列”，且ｂ１ ＋ ｂ２ ＋
｝满足１ － ，则 ａｎ＋１
ｂ３ ＝ １ ｂ６
２ ａｎ ＋
＝ ｂ７
０，则称｛ａｎ
＋ ｂ８ ＝
｝为“梦想数列”，已知正项数列｛１ ｂｎ
｝为“梦想数
Ａ． ４
Ｂ． ８
Ｃ． １６
Ｄ． ３２
１０
．
已知函数ｆ（ｘ）＝
（ ２ｓｉｎ ２ｘ
内江市高中 ２０２１ 届第一次模拟考试题
数 学（理科）
１． 本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４ 页。全卷满分１５０ 分，
考试时间１２０ 分钟。
２． 答第Ⅰ卷时，用２Ｂ 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用０． ５ 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作
８． 已知偶函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ ∞ ）上单调递增，且ａ ＝ ｌｏｇ５２，
ｂ ＝ ， ｌｎ２ ｃ ＝ － ２０．１，则ｆ（ａ），ｆ（ｂ），ｆ（ｃ）满足
（） （） （） Ａ． ｆ ｂ ＜ ｆ ａ ＜ ｆ ｃ
Ｂ． ｆ（ｃ）＜ ｆ（ａ）＜ ｆ（ｂ）
（） （） （） Ｃ． ｆ ｃ ＜ ｆ ｂ ＜ ｆ ａ
Ａ ＝ ｘ ｜ ｙ ＝ ｌｏｇ２ ２ － ｘ
（ ，） （ ，］ （， ） ［， ） Ａ． － ∞ １
Ｂ． － ∞ １
Ｂ ＝ ｘ ｜ ｘ２ － ３ｘ ＋ ２ ＜ ０
Ｂ＝
Ａ
Ｃ． ２ ＋ ∞
Ｄ． ２ ＋ ∞
２．
已知ｉ 是虚数单位，则复数ｚ ＝
３
＋ ｉ
７ｉ
的实部和虚部分别是
， Ａ． ７ － ３
， Ｂ． ７ － ３ｉ
＋
π ６
），现将ｙ ＝
ｆ（ｘ）的图象向左平移１π２
个单位，再将所得图
象上各点的横坐标缩短为原来的１ ２
倍，纵坐标不变，得到函数ｙ
＝
ｇ（ｘ）的图象，则ｇ（ｘ）在
［０，５２π４ ］的值域为 ［ ，］ Ａ． － １ ２
Ｂ． ［０，１］
［ ］ Ｃ． ０． ２
［ ］ Ｄ． － １． ０
１１．
已知函数ｆ（ｘ） ＝
⑤ｆ（ｘ）的最小值为－
槡３；
２
三、解答题（共７０ 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７ ～ ２１ 题为必考题，