2021年新高考数学分类专练：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

2021年新高考数学分类专练充分条件与必要条件、全称量词与存在量词A 级——夯基保分练1．(2019·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p ：存在常数列不是等比数列，则命题綈p 为( )A ．任意常数列不是等比数列B ．存在常数列是等比数列C ．任意常数列都是等比数列D ．不存在常数列是等比数列解析：选C 因为特称命题的否定是全称命题，命题p ：存在常数列不是等比数列的否定命题綈q ：任意常数列都是等比数列，故选C.2．(2020·佛山模拟)已知p ：x ＝2，q ：x －2＝2－x ，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当x －2＝2－x 时，两边平方可得(x －2)2＝2－x ，即(x －2)(x －1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝1.当x ＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x ＝2.所以p 是q 的充要条件，故选C.3．(2019·河南八所重点高中第二次联合测评)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集．若命题p ：∀f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( )A ．∀f (x )∈A ，|f (x )|∉BB ．∀f (x )∉A ，|f (x )|∉BC ．∃f (x 0)∈A ，|f (x 0)|∉BD ．∃f (x 0)∉A ，|f (x 0)|∉B解析：选C 全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p ：∀f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，得綈p 为∃f (x 0)∈A ，|f (x 0)|∉B ，故选C.4．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)＜0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0解析：选C 易知f ′(x )＝cos x －1＜0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，∵f (0)＝0，∴f (x )＜0， ∴命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)＜0是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0，故选C. 5．已知p ：x ，y ∈R ，x 2＋y 2＜2，q ：x ，y ∈R ，|x |＋|y |＜2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 如图，不等式x 2＋y 2＜2表示图中圆面O (不包括边界)，不等式|x |＋|y |＜2表示正方形ABCD 内部．可知p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p是q 的充分不必要条件，故选A.6．已知函数f (x )＝3x －3－x ，∀a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 因为f (x )＝3x －3－x ，所以函数f (x )＝3x －3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a ＞b ”可得“f (a )＞f (b )”，由“f (a )＞f (b )”可得“a ＞b ”，即“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的充分必要条件，故选C.7．(多选)已知a ，b ，c 是实数，下列结论正确的是( )A ．“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的充分条件B ．“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的必要条件C ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的充分条件D ．“|a |＞|b |”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件解析：选CD 对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但是a ＜b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但是a 2＜b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2＞bc 2得c ≠0，则有a ＞b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |＞|b |成立，但是a ＜b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但是|a |＜|b |，所以必要性也不成立，故“|a |＞|b |”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件．故选C 、D.8．(多选)下列命题说法错误的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R ,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1解析：选ABC 根据指数函数的性质可得e x ＞0，故A 错误；x ＝2时，2x ＞x 2不成立，故B 错误；当a ＝b ＝0时，a b 没有意义，故C 错误；因为“x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故选A 、B 、C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为_____________． 解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件． 解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z .∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要11．若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是____________．解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ,3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：[－3，3]12．(一题两空)已知p ：|x |≤m (m >0)，q ：－1≤x ≤4，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为________；若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________．解析：由|x |≤m (m >0)，得－m ≤x ≤m .若p 是q 的充分条件⇒⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1m ≤4⇒0<m ≤1. 则m 的最大值为1.若p 是q 的必要条件⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1m ≥4⇒m ≥4.则m 的最小值为4.答案：1 4B 级——提能综合练13．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 B.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－43，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，43 解析：选D 由|x －m |<1，得m －1<x <1＋m .因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <12，所以⎩⎨⎧ m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43.经检验m ＝－12，m ＝43均符合题意，故m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. 14．已知D ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，给出下列四个命题：p 1：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋y 0≥0；p 2：∀(x ，y )∈D ，x －y ＋1≤0；p 3：∀(x ，y )∈D ，⎪⎪⎪⎪y x ＋2≤12； p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 20＋y 20≥2.其中真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 3，p 4D ．p 2，p 4解析：选B 区域D 表示的平面区域是以点(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(包含边界)，当x ＝1，y ＝0时，(1,0)∈D ，x ＋y ≥0，p 1是真命题；当x ＝0，y ＝－1时，(0，－1)∈D ，x －y ＋1＝2>0，p 2是假命题；∀(x ，y )∈D ，－12≤y x ＋2≤12，⎪⎪⎪⎪y x ＋2≤12，p 3是真命题；∀(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤1，p 4是假命题，故选B.15．能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为__________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为__________．解析：(1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．答案：(1)[3，＋∞) (2)(1，3]。