(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

解三角形
一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：
1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝2
3AC ＝( ) A ．3 B ．22 C 332.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．非钝角三角形
3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )
A ．无解
B ．只有一解
C ．有两解
D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 5
5.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )
A ．90°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )
A. 100m
B. 3m
C. 2m
D. 200m 7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )
A ．1
B ．2 C. 2 D. 3
8.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
A. 3 B ．5 3 C ．6 3
D ．7 3 9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C
的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35
10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是
( )A ．5(6＋2) km
B ．5(6－2) km
C ．10(6＋2) km
D ．10(6－2) km
11.△ABC 的周长为20，面积为3A ＝60°，则BC 的长等于( )
A ．5 B.6 C ．7 D ．8
12.在ABC △中，角
A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，
若120,2C c a ∠=︒=，则（ ） A ．a b > B ．a b <
C ．a b =
D ．a 与b 的大小关系不能确定
二、填空题（共4小题，每小题5分）：
13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752
=--x x 的根，则此三角形
的面积是 。

14.△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三条边的对角，如果b ＝2a ，B ＝A ＋60°，那么A ＝__________.
15.在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sin A ：sin B ：sin C ＝________. 16.江岸边有一炮台高30
m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45︒和60︒，而且
两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距 m ． 三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤)：
17．(本题满分10分)
在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2
＝b(b ＋c)．
(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．
18．(本题满分12分)
△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A a .
(1)求
b a ； (2)若
c 2＝b 2a 2，求B .
19．（本题满分12分）
锐角△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知4
12cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当2=a
，C A sin sin 2=时，求b 的长及△ABC 的面积．
21．（本题满分12分）
在△ABC 中，已知内角A ＝
π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y . (1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；(2)求y 的最大值．
22．（本题满分12分）
△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B
，sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；
(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .
解三角形 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）： 1.B 2. C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.D 11.C 12.A 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共4小题，每小题5分）： 13.6 14.30° 15. 11：9：7 16.10
3 三、解答题（共
6题，要求写出解答过程或者推理步骤；)：
17．解:(1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，
由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sin A 2sin B
， ∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin 2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.
若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.
(2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.
故△ABC 为直角三角形．
18．(1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以
b a ＝2. (2)由余弦定理及
c 2＝b 2＋
3a 2，得()13cos 2a B c +=. 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋
3)a 2，所以cos 2B ＝12. 又cos B >0，故cos B ＝2，∴ B ＝45°. 19．（1）因为21cos212sin ,042
C C C π=-=-<<
，所以10sin 4C =． （2）当2,2sin sin a A C ==时，由sin sin a c A C
=，解得4c =． 由21cos22cos 14C C =-=-，及02
C π<<得6cos 4C =， 由2222cos c a b ab C =+-，得26120b b --=，
解得26b =（负值舍去），sin 152ABC S ab C ∆==.
20．（1）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理得，
()290040023020cos 9030S t t =+-⨯⨯︒-︒
2
219006004009003003t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故13
t =
时，min 103S =，1033033
v ==， 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． （2）设小艇与轮船在 处相遇，
由题意可知()()()22
2203022030cos 9030vt t t =+-⋅⋅⋅︒-︒，
化简得222400600139004006754v t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 由于102t <≤，所以12t
≥， 所以当12t
=时，v
取得最小值
，即小艇航行速度的最小值为海里/小时． （3）存在.由（2）知22400600900v t t
=-+， 设()10u u t
=>，于是224006009000u u v -+-=. 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即 ()22260016009000,9000,
v v ⎧-->⎪⎨->⎪
⎩
解得30v <，所以v
的取值范围是()．
21．解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0，得0<B <2π3.应用正弦定理，得
AC ＝BC
sin A ·sin B ＝23sin π
3
·sin x ＝4sin x .
AB ＝BC sin A sin C ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2
π
3－x .
∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，
∴y ＝4sin x ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＋23⎝⎛⎭⎫0<x <2
π3.
(2)y ＝4(sin x ＋3
2cos x ＋1
2sin x )＋2 3
＝43sin(x ＋π
6)＋2 3.
∵π
6<x ＋π6<5π6，∴当x ＋π6＝π
2，
即x ＝π
3时，y 取得最大值6 3.
22．解 (1)因为tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，
即sin C cos C ＝sin A ＋sin
B
cos A ＋cos B ，
所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，
即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )．
所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(舍)，
即2C ＝A ＋B ，得C ＝π
3，所以B ＋A ＝2π
3.
又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，
则B －A ＝π
6，或B －A ＝5π
6(舍去)．
得A ＝π
4，B ＝5π
12.所以A ＝π
4，C ＝π3.
(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋2
8ac ＝3＋3，
又a sin A ＝c
sin C ，即a
22＝c
32
.
得a ＝22，c ＝2 3.。