排列组合与二项展开式
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（1）A51 A25=5x5x4=100 （2）5x6x6=180
（3）A31 A14x4=3x4x4=48 （4）A52+A21 A14XA14=20+32=52 （5）A52+ A14XA14=20+16=36
例2、（分书问题）现有6本不同的书，下列各有多少种分法。 （1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本 （2）分成三份，一份4本，其余两份各1本； （3）平均分成三份； 思考1、：若将上述三种分好的书再分给三个人又该怎么分？ 2、若现有六本相同的书，分给三个人，每人至少一本又该怎么 分？ 解 （1）C61 C25xC33=6x5x4x1/2=60 （2）C64 C12xC11/2!=6x5x2x1/(2x2）=15 （3）C62 C24xC22/3!=15x6x1/6=15
② 、通项公式：Tk+1= Cn a b 其中（k=0，1，…，n）叫做第k+1项的二项式系数。 ③ 、二项式性质： n+1 （1）二项式展开共 项； （2）当n为偶数时， 中间一 项的二项式系数 最大； 中间两项 （3）当n为奇数时， 项二项式系数最大； （4）二项式展开时系数何为 ； 2n
二、典型例题
例1、（数码类型问题）从0-5这6个数码中取出互 不相同的3个数码。 （1）无重复：能组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可重复：能组成多少个可重复的三位数？ （3）奇数：能组成多少个无重复数字的三位奇数？ （4）偶数：能组成多少个无重复数字三位偶数？ （5）整除：能组成多少个能被5整除的无重复数字 的三位数？ 解：
排列组合与二项展开式 （复习）
旅管系 张燕
一、知识点梳理
1、记数方法： 用数字或字母代替事物，按一定顺序穷举所有可 （1）列举法： 能的方法 结果情况为有限个，且无法用其它方法记数的题 适合题型
把复杂的问题拆分成简单的问题，然后累加以达穷举的方 （2）累加法： 法。 适合题型 几何图形中，不走回头路的最短路径问题 ：完成一件事，有A、B两类方式，在A类方式中有种不同 的方法，在B类方式中有种不同的方法，则完成这件事共 （3）加法原理： 有A+B种方法。
②Cnn= 1
⑤增一法则：Cmn+ Cm+1n= Cm+1n+1 4、二项式定理： ① (a+b)n=
C a
0 n
n
b
0
C a
1 n源自文库
n 1
b
1
... C a
k n
k n k k
nk
b ... C
k
n n
a
0 n
b (n N * )
适合题型 凡可以分类记数的问题 （4）乘法原理： 完成一件事，需要分成A、B两个步骤，步骤A有种
不同的方法，做步骤B有种不同的方法，则完成这件 事共有A.B种方法。
适合题型：
凡可以分步记数的问题
2、排列： 从n个不同的元素中取出m个元素，按照一定 的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取 （1）定义： 出m个元素的一个排列， 记作：Anm 。 m An n(n 1)( n 2) (n m 1) （2）计算： （3）性质：① A 0n= 1 ②Ann= nx(n-1)x(n-2)x…x2x1
7
三、学生练习
完成讲义中打钩部分习题
作业
1、完成例2的思考及练习中没打勾部分 2、做完并上交讲义：统计与概率
7 7 6
2 C (3x) ( ) C 3 (2) X x
k 6 k k 6 K K 6 6
k
6 K
K 2
（2）令x=1 得( 3x 1) a7 x a6 x ... a1 x a0 =
a7 a6 ... a1
=
(3 1 1) 2
7
6
(2） 6 6 5 4 3 2 1 720 A
6
1 (3) 6 A6 6 720 4320 A
6
1 5 720 3600 (4) A5A6 (5)
(6)
AA
6
6
2 2
720 2 1440
AA
5
5
2
6
120 30 3600 (7) A7 2 5040 2 2520
从n个不同的元素中取出m个不同元素并在一 3、组合： （1）定义： 组，叫做从n个不同的元素中取出m个不同元 素的一个组合 m 记作： C n 。 （2）计算： Cmn = nx(n-1)x(n-2)x…x(n-m+1)/m!
（3）性质：① C0n= 1 ④对偶法则： Cmn = Cnn-m
例3、(排队问题)3个男同学、4个女同学排队，下列 情况各有多少种排放？ （1）7人排一队；（2）甲排第1位；（3）甲不排 第1位；（4）甲不排第1位也不排第7位；（5）甲 与乙必须相邻；（6）甲与乙不能相邻；（7）从排 头算起，甲必须排在乙前面； 7 解（1） A7 7 6 5 4 3 2 1 5040
7
例4、按要求解下列各题。 2 6 （ ） 展开式中第几项为常数项； （1）求 3x
x
（2）已知， 3x 1) 7 a7 x 7 a6 x 6 ... a1 x a0 ( 求 a7 a6 ... a1 的值。 解： （1）设第K+1项为常数项则：
T
K 1
令6-3k/2=0 得 k=4,所以第5项为常数项
（3）A31 A14x4=3x4x4=48 （4）A52+A21 A14XA14=20+32=52 （5）A52+ A14XA14=20+16=36
例2、（分书问题）现有6本不同的书，下列各有多少种分法。 （1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本 （2）分成三份，一份4本，其余两份各1本； （3）平均分成三份； 思考1、：若将上述三种分好的书再分给三个人又该怎么分？ 2、若现有六本相同的书，分给三个人，每人至少一本又该怎么 分？ 解 （1）C61 C25xC33=6x5x4x1/2=60 （2）C64 C12xC11/2!=6x5x2x1/(2x2）=15 （3）C62 C24xC22/3!=15x6x1/6=15
② 、通项公式：Tk+1= Cn a b 其中（k=0，1，…，n）叫做第k+1项的二项式系数。 ③ 、二项式性质： n+1 （1）二项式展开共 项； （2）当n为偶数时， 中间一 项的二项式系数 最大； 中间两项 （3）当n为奇数时， 项二项式系数最大； （4）二项式展开时系数何为 ； 2n
二、典型例题
例1、（数码类型问题）从0-5这6个数码中取出互 不相同的3个数码。 （1）无重复：能组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可重复：能组成多少个可重复的三位数？ （3）奇数：能组成多少个无重复数字的三位奇数？ （4）偶数：能组成多少个无重复数字三位偶数？ （5）整除：能组成多少个能被5整除的无重复数字 的三位数？ 解：
排列组合与二项展开式 （复习）
旅管系 张燕
一、知识点梳理
1、记数方法： 用数字或字母代替事物，按一定顺序穷举所有可 （1）列举法： 能的方法 结果情况为有限个，且无法用其它方法记数的题 适合题型
把复杂的问题拆分成简单的问题，然后累加以达穷举的方 （2）累加法： 法。 适合题型 几何图形中，不走回头路的最短路径问题 ：完成一件事，有A、B两类方式，在A类方式中有种不同 的方法，在B类方式中有种不同的方法，则完成这件事共 （3）加法原理： 有A+B种方法。
②Cnn= 1
⑤增一法则：Cmn+ Cm+1n= Cm+1n+1 4、二项式定理： ① (a+b)n=
C a
0 n
n
b
0
C a
1 n源自文库
n 1
b
1
... C a
k n
k n k k
nk
b ... C
k
n n
a
0 n
b (n N * )
适合题型 凡可以分类记数的问题 （4）乘法原理： 完成一件事，需要分成A、B两个步骤，步骤A有种
不同的方法，做步骤B有种不同的方法，则完成这件 事共有A.B种方法。
适合题型：
凡可以分步记数的问题
2、排列： 从n个不同的元素中取出m个元素，按照一定 的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取 （1）定义： 出m个元素的一个排列， 记作：Anm 。 m An n(n 1)( n 2) (n m 1) （2）计算： （3）性质：① A 0n= 1 ②Ann= nx(n-1)x(n-2)x…x2x1
7
三、学生练习
完成讲义中打钩部分习题
作业
1、完成例2的思考及练习中没打勾部分 2、做完并上交讲义：统计与概率
7 7 6
2 C (3x) ( ) C 3 (2) X x
k 6 k k 6 K K 6 6
k
6 K
K 2
（2）令x=1 得( 3x 1) a7 x a6 x ... a1 x a0 =
a7 a6 ... a1
=
(3 1 1) 2
7
6
(2） 6 6 5 4 3 2 1 720 A
6
1 (3) 6 A6 6 720 4320 A
6
1 5 720 3600 (4) A5A6 (5)
(6)
AA
6
6
2 2
720 2 1440
AA
5
5
2
6
120 30 3600 (7) A7 2 5040 2 2520
从n个不同的元素中取出m个不同元素并在一 3、组合： （1）定义： 组，叫做从n个不同的元素中取出m个不同元 素的一个组合 m 记作： C n 。 （2）计算： Cmn = nx(n-1)x(n-2)x…x(n-m+1)/m!
（3）性质：① C0n= 1 ④对偶法则： Cmn = Cnn-m
例3、(排队问题)3个男同学、4个女同学排队，下列 情况各有多少种排放？ （1）7人排一队；（2）甲排第1位；（3）甲不排 第1位；（4）甲不排第1位也不排第7位；（5）甲 与乙必须相邻；（6）甲与乙不能相邻；（7）从排 头算起，甲必须排在乙前面； 7 解（1） A7 7 6 5 4 3 2 1 5040
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例4、按要求解下列各题。 2 6 （ ） 展开式中第几项为常数项； （1）求 3x
x
（2）已知， 3x 1) 7 a7 x 7 a6 x 6 ... a1 x a0 ( 求 a7 a6 ... a1 的值。 解： （1）设第K+1项为常数项则：
T
K 1
令6-3k/2=0 得 k=4,所以第5项为常数项