第二章层次分析法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总目标的权值为：
∑
B
m
j =1
a j b ij
L Bn : a1bn1 + a2bn 2 + L ambnm
B层的层次 总排序
A
A1 , A 2 , L , A m
a1 , a 2 ,L , a m
m
B1 B2 M Bn
b11 b12 b21 b22 M M bn1 bn2
b1m b2m M bnm
1、“和法”
（1）将矩阵 A = (aij ) min 的每一列向量的归一化得：
aij ~ Wij = n ∑ aij
i =1
n ~ ~ Wi = ∑ Wij j =1
（2）对按行求和得：
Wi =
~ Wi
（3）将行归一化，即有：
W1 则有特征向量： ~ W =L W n
~ Wi ∑
i =1
n
（4）计算与特征向量 的近似值： λmax
W1 W =L W n
对应的最大特征根 λ max
1 n ( AW ) i = ∑ n i =1 Wi
实际上是将的列向量归一化后取平均值作为的 特征向量。
2、“根法”
（1）将矩阵 A = (aij ) min的每一列向量的归一化得：
由上述定义知，成对比较矩阵 A = a ij 满足以下性质 则称为正互反阵 正互反阵。 正互反阵 的影响两两比较结果如下： Z A1 A2 A3 A4 A5 A1 1 2 A2 1/2 1 A3 4 7 1 2 3 A4 3 5 A5 3 5
( )
n× n
aij > 0
a ij
1 = a ji
a ii = 1
1
2 1 1 7 1 5 1 5
4 7 1 2 3
3 5 1 2 1 1
3 5 1 3 1 1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。 问题： 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
三、一致性检验
从一个简单的例子看： 例如 一块石头重量记为1，打碎分成
3. A的各行成比例，则rank ( A) = 1 4 . A 的最大特征根（值）为 λ = n , 其余 n-1个
特征根均等于 0。
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
2. AT 也是一致阵
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 n 的归一化特征向量 {w1 , w2 ,L, wn }，且 ∑ w i = 1
第二节、 第二节、层次分析法的模型与基本步骤 一、建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层 目标层，最下面为方案层 方案层，中 目标层 方案层 间是准则层或指标层 准则层或指标层。 准则层或指标层 例1 买钢笔的层次结构模型 买钢笔 目标层
质 量
颜 色
价 格
外 形
实 用 准则层
笔
方案层
例2选择旅游地层次结构模型 选择旅游地层次结构模型 选择旅游地
二、层次分析法的基本原理 选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4
质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔
与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
1.基本思想 把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过 俩俩比较，得出各因素的权数重，通过从低到 高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目 标的权数，权数最大的方案为最优方案。 2.基本假设 层次之间存在递进结构 3.基本方法 建立层次结构模型 4.一致性检验 检验决策者构造判断矩阵时判断思维是否具有 一致性
由于 λ 连续的依赖于 aij ，则 λ 比 n 大得越多， A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大， 引起的判断误差越大。因而可以用
λ − n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标 一致性指标 (Consistency Index） ）
选择 景 色 用 费 旅游地 居 住 饮 食 途 旅 准则层A 目标层Z
方案层B
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
二、构造成对比较矩阵（判断矩阵） 构造成对比较矩阵（判断矩阵）
设某层有 n个因素，
X = {x1 , x2 ,L, xn }
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上 层某一目标的影响程度排序） 上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。 1~9尺度。 1~9尺度 用
aij表示第
i 个因素相对于第 j 个因素的比较结果，则
1 a ij = a ji
面临各种各样的方案，要进行比较、 面临各种各样的方案，要进行比较、判 断、评价、最后作出决策。这个过程主观因 评价、最后作出决策。 素占有相当的比重，给用数学方法解决问题 素占有相当的比重， 带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年 带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年 等人在20 代提出了一种能有效处理这类问题的实用方 法。
确定权值W 四、层次单排序—确定权值 层次单排序 确定权值
层次单排序： 层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影 响程度的过程。 即根据判断矩阵计算对于上一层某元素而言本 层次与之有联系的元素重要性次序的权值。 用权值表示影响程度。 实质上是计算判断矩阵的最大特征根及其特征 向量。 求特征根的近似求法： “和法”、“根法”
Z
A1 B1 A2
B2
A层m个因素A1 , A2 ,L, Am ,
对总目标Z的排序为
L L
Am
a1 , a2 ,L, am
B层n个因素对上层A中因素为A j
的层次单排序为
Bn
b1 j , b2 j ,L, bnj
( j = 1,2,L, m)
B 层的层次总排序为： B1 : a1b11 + a2b12 + L amb1m 即 B 层第 i 个因素对 B : a b + a b + L a b 2 1 21 2 22 m 2m
层次分析法（ 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、 AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层 这是一种定性和定量相结合的 次化的分析方法。 次化的分析方法。 层次分析法是把复杂问题分解为若干层次，在最 低层次通过俩俩比较，得出各因素的权数重，通过从 低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标 的权数，权数最大的方案为最优方案。
即， a ik ⋅ a kj = a ij
i, j = 1,2,L, n
a 23 ≠ a 21 ⋅ a13
但在例2的成对比较矩阵中，a 23 = 7 , a 21 = 2, a13 = 4 在正互反矩阵 A 中，若 a ik ⋅ a kj = a ij ,则称 A为一致阵。 一致阵的性质： 1 1 . a ij = , a ii = 1 , i , j = 1 , 2 , L , n a ji
CI =
λ −n
n −1
其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
定义随机一致性指标 随机一致性指标
RI
随机一致性指标 RI 的数值：
n RI 1 2 0 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.51
第二章 层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
第一节 思想与原理
一 问题的提出 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的 标准选择某一种方案。 标准选择某一种方案。 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、 价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的 因素选择某种饭菜。 因素选择某种饭菜。
∑ ∑ ∑
m m
j =1
a j b 1 j = b1 a jb2 j = b2 a j b nj = b n
j =1
j =1
层次总排序的一致性检验 设 B 层 B1 , B2 ,L, Bn 对上层( A 层)中因素 A j ( j = 1,2,L, m) 的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 RI j ， 则层次总排序的一致性比率为：
Biblioteka Baidu
n 各小块，各块的重量
1 w 2 则可得成对比较矩阵 A = w1 M 由右面矩阵可以明显看出， wn wi wi wk w = ⋅ 1 w w w
j k j
分别记为： w1, w2 ,L, wn
w1 w2 1 M wn w2
L L M L
w1 wn w2 wn M 1
A = (aij )n× n
A 则称为成对比较矩阵 成对比较矩阵。 成对比较矩阵
a11 a12 a21 a22 = L L a n1 an 2
L L L L
a1n a2 n L ann
比较尺度：（1~9尺度的含义） 比较尺度：（1~9尺度的含义） ：（1~9尺度的含义 尺度 １ ３ ５ 含义 第i 个因素与第 j 个因素的影响相同 第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明显强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强 2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的影响介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义， 1 根据 a ij = 。 a ji
i =1 n
wi表示下层第 i 个因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty Saaty等人建议用其最大 Saaty 特征根对应的归一化特征向量作为权向量
w ，则
Aw = λw
w = {w1 , w2 ,L , wn }
（为什么？） 这样确定权向量的方法称为特征根法. 特征根法. 特征根法
（4）计算与特征向量 的近似值： λmax
W1 W =L W n
对应的最大特征根 λ max
1 n ( AW ) i = ∑ n i =1 Wi
注：“根法”是将“和法”中求列向量的算术 平均值改为求几何平均值。
五、层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 称为层次总排序 层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设：
比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z A Z
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
1/4 1/7 1/3 1/5 1/3 1/5
1/2 1/3 1 1 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1 2 1 A= 4 13 1 3
一致性比率 CR
CI CR = RI
CI 一般，当一致性比率 CR = < 0 . 1 时，认为 A RI
的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量 作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 A 加 以调整。 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 一致性检验 及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷 假期旅游，是去风光秀丽的苏州， 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林， 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般 会依据景色、费用、食宿条件、 会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择 去哪个地方。 去哪个地方。 例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业 等单位可以去选择，一般依据工作环境、 等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资 待遇、发展前途、住房条件等因素择业。 待遇、发展前途、住房条件等因素择业。
aij ~ Wij = n ∑ aij
i =1
1 n
（2）按行“求积”并开次
n
（3）将行归一化，即有：
~ n ~ Wi 方根得： = ∏Wij j =1
Wi = ~ Wi ~ Wi ∑
i =1 n
W1 则有特征向量： ~ W =L W n
∑
B
m
j =1
a j b ij
L Bn : a1bn1 + a2bn 2 + L ambnm
B层的层次 总排序
A
A1 , A 2 , L , A m
a1 , a 2 ,L , a m
m
B1 B2 M Bn
b11 b12 b21 b22 M M bn1 bn2
b1m b2m M bnm
1、“和法”
（1）将矩阵 A = (aij ) min 的每一列向量的归一化得：
aij ~ Wij = n ∑ aij
i =1
n ~ ~ Wi = ∑ Wij j =1
（2）对按行求和得：
Wi =
~ Wi
（3）将行归一化，即有：
W1 则有特征向量： ~ W =L W n
~ Wi ∑
i =1
n
（4）计算与特征向量 的近似值： λmax
W1 W =L W n
对应的最大特征根 λ max
1 n ( AW ) i = ∑ n i =1 Wi
实际上是将的列向量归一化后取平均值作为的 特征向量。
2、“根法”
（1）将矩阵 A = (aij ) min的每一列向量的归一化得：
由上述定义知，成对比较矩阵 A = a ij 满足以下性质 则称为正互反阵 正互反阵。 正互反阵 的影响两两比较结果如下： Z A1 A2 A3 A4 A5 A1 1 2 A2 1/2 1 A3 4 7 1 2 3 A4 3 5 A5 3 5
( )
n× n
aij > 0
a ij
1 = a ji
a ii = 1
1
2 1 1 7 1 5 1 5
4 7 1 2 3
3 5 1 2 1 1
3 5 1 3 1 1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。 问题： 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
三、一致性检验
从一个简单的例子看： 例如 一块石头重量记为1，打碎分成
3. A的各行成比例，则rank ( A) = 1 4 . A 的最大特征根（值）为 λ = n , 其余 n-1个
特征根均等于 0。
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
2. AT 也是一致阵
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 n 的归一化特征向量 {w1 , w2 ,L, wn }，且 ∑ w i = 1
第二节、 第二节、层次分析法的模型与基本步骤 一、建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层 目标层，最下面为方案层 方案层，中 目标层 方案层 间是准则层或指标层 准则层或指标层。 准则层或指标层 例1 买钢笔的层次结构模型 买钢笔 目标层
质 量
颜 色
价 格
外 形
实 用 准则层
笔
方案层
例2选择旅游地层次结构模型 选择旅游地层次结构模型 选择旅游地
二、层次分析法的基本原理 选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4
质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔
与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
1.基本思想 把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过 俩俩比较，得出各因素的权数重，通过从低到 高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目 标的权数，权数最大的方案为最优方案。 2.基本假设 层次之间存在递进结构 3.基本方法 建立层次结构模型 4.一致性检验 检验决策者构造判断矩阵时判断思维是否具有 一致性
由于 λ 连续的依赖于 aij ，则 λ 比 n 大得越多， A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大， 引起的判断误差越大。因而可以用
λ − n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标 一致性指标 (Consistency Index） ）
选择 景 色 用 费 旅游地 居 住 饮 食 途 旅 准则层A 目标层Z
方案层B
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
二、构造成对比较矩阵（判断矩阵） 构造成对比较矩阵（判断矩阵）
设某层有 n个因素，
X = {x1 , x2 ,L, xn }
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上 层某一目标的影响程度排序） 上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。 1~9尺度。 1~9尺度 用
aij表示第
i 个因素相对于第 j 个因素的比较结果，则
1 a ij = a ji
面临各种各样的方案，要进行比较、 面临各种各样的方案，要进行比较、判 断、评价、最后作出决策。这个过程主观因 评价、最后作出决策。 素占有相当的比重，给用数学方法解决问题 素占有相当的比重， 带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年 带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年 等人在20 代提出了一种能有效处理这类问题的实用方 法。
确定权值W 四、层次单排序—确定权值 层次单排序 确定权值
层次单排序： 层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影 响程度的过程。 即根据判断矩阵计算对于上一层某元素而言本 层次与之有联系的元素重要性次序的权值。 用权值表示影响程度。 实质上是计算判断矩阵的最大特征根及其特征 向量。 求特征根的近似求法： “和法”、“根法”
Z
A1 B1 A2
B2
A层m个因素A1 , A2 ,L, Am ,
对总目标Z的排序为
L L
Am
a1 , a2 ,L, am
B层n个因素对上层A中因素为A j
的层次单排序为
Bn
b1 j , b2 j ,L, bnj
( j = 1,2,L, m)
B 层的层次总排序为： B1 : a1b11 + a2b12 + L amb1m 即 B 层第 i 个因素对 B : a b + a b + L a b 2 1 21 2 22 m 2m
层次分析法（ 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、 AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层 这是一种定性和定量相结合的 次化的分析方法。 次化的分析方法。 层次分析法是把复杂问题分解为若干层次，在最 低层次通过俩俩比较，得出各因素的权数重，通过从 低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标 的权数，权数最大的方案为最优方案。
即， a ik ⋅ a kj = a ij
i, j = 1,2,L, n
a 23 ≠ a 21 ⋅ a13
但在例2的成对比较矩阵中，a 23 = 7 , a 21 = 2, a13 = 4 在正互反矩阵 A 中，若 a ik ⋅ a kj = a ij ,则称 A为一致阵。 一致阵的性质： 1 1 . a ij = , a ii = 1 , i , j = 1 , 2 , L , n a ji
CI =
λ −n
n −1
其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
定义随机一致性指标 随机一致性指标
RI
随机一致性指标 RI 的数值：
n RI 1 2 0 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.51
第二章 层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
第一节 思想与原理
一 问题的提出 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的 标准选择某一种方案。 标准选择某一种方案。 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、 价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的 因素选择某种饭菜。 因素选择某种饭菜。
∑ ∑ ∑
m m
j =1
a j b 1 j = b1 a jb2 j = b2 a j b nj = b n
j =1
j =1
层次总排序的一致性检验 设 B 层 B1 , B2 ,L, Bn 对上层( A 层)中因素 A j ( j = 1,2,L, m) 的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 RI j ， 则层次总排序的一致性比率为：
Biblioteka Baidu
n 各小块，各块的重量
1 w 2 则可得成对比较矩阵 A = w1 M 由右面矩阵可以明显看出， wn wi wi wk w = ⋅ 1 w w w
j k j
分别记为： w1, w2 ,L, wn
w1 w2 1 M wn w2
L L M L
w1 wn w2 wn M 1
A = (aij )n× n
A 则称为成对比较矩阵 成对比较矩阵。 成对比较矩阵
a11 a12 a21 a22 = L L a n1 an 2
L L L L
a1n a2 n L ann
比较尺度：（1~9尺度的含义） 比较尺度：（1~9尺度的含义） ：（1~9尺度的含义 尺度 １ ３ ５ 含义 第i 个因素与第 j 个因素的影响相同 第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明显强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强 2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的影响介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义， 1 根据 a ij = 。 a ji
i =1 n
wi表示下层第 i 个因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty Saaty等人建议用其最大 Saaty 特征根对应的归一化特征向量作为权向量
w ，则
Aw = λw
w = {w1 , w2 ,L , wn }
（为什么？） 这样确定权向量的方法称为特征根法. 特征根法. 特征根法
（4）计算与特征向量 的近似值： λmax
W1 W =L W n
对应的最大特征根 λ max
1 n ( AW ) i = ∑ n i =1 Wi
注：“根法”是将“和法”中求列向量的算术 平均值改为求几何平均值。
五、层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 称为层次总排序 层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设：
比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z A Z
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
1/4 1/7 1/3 1/5 1/3 1/5
1/2 1/3 1 1 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1 2 1 A= 4 13 1 3
一致性比率 CR
CI CR = RI
CI 一般，当一致性比率 CR = < 0 . 1 时，认为 A RI
的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量 作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 A 加 以调整。 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 一致性检验 及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷 假期旅游，是去风光秀丽的苏州， 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林， 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般 会依据景色、费用、食宿条件、 会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择 去哪个地方。 去哪个地方。 例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业 等单位可以去选择，一般依据工作环境、 等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资 待遇、发展前途、住房条件等因素择业。 待遇、发展前途、住房条件等因素择业。
aij ~ Wij = n ∑ aij
i =1
1 n
（2）按行“求积”并开次
n
（3）将行归一化，即有：
~ n ~ Wi 方根得： = ∏Wij j =1
Wi = ~ Wi ~ Wi ∑
i =1 n
W1 则有特征向量： ~ W =L W n