用极限定义证明极限
极限 定义证明
极限：定义与证明极限是数学中一个基本概念，在高等数学、微积分等领域都有广泛应用。
在本文中，我们将介绍极限的定义和证明方法。
定义首先，我们先来看一下极限的定义：对于一个无穷序列 $\\{a_n\\}$，如果存在一个实数L，满足对于任意小的正数 $\\epsilon$，都存在一个正整数N，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$，那么我们说序列 $\\{a_n\\}$ 的极限是L，记作 $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$。
我们可以简化一下这个定义，将其翻译成人话：如果一个序列越来越接近某个实数L，并且对于任意小的正数 $\\epsilon$，序列的后面的项与L的距离都小于 $\\epsilon$，那么我们就认为这个序列的极限是L。
证明接下来，我们将展示如何证明一个序列的极限。
证明方法一：$\\epsilon-N$ 语言在这种证明方法中，我们将利用上面定义中的 $\\epsilon$ 和N的符号来证明极限。
Step 1：选择 $\\epsilon$我们首先选择一个小的正数 $\\epsilon$，我们可以先随意选择一个值，比如$\\epsilon=0.0001$。
Step 2：找到N接下来，我们要找到对于该正数 $\\epsilon$，序列 $\\{a_n\\}$ 中的后面的项与极限L的距离都小于$\\epsilon$ 的位置N。
具体的，我们需要找到一个整数N，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$。
这个N可以通过观察序列的性质和极限的值来得到。
比如，如果L=0，而序列 $\\{a_n\\}$ 是一个在正负之间震荡的序列，那么我们可以通过观察来得到N的值。
一般来说，找到这个N的方法是将a n−L的绝对值逐渐变小，直到小于所选的 $\\epsilon$。
也就是说，我们需要找到一个满足 $|a_n-L|<\\epsilon$ 的最小的整数N。
高等数学常用极限求法[1]1.
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求函数极限的方法和技巧摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。
本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0=→x f x x(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim 0⋅→ 解: 由 0lim 0=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim 0=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
极限证明定义
极限证明定义
极限证明的定义是一种严格的数学推理过程，用于证明一个数列或函数在某一点或无穷远处的极限存在性和具体取值。
具体来说，对于数列的极限证明，定义如下：
设{an}是一个数列，如果存在常数l，使得对于任意给定的正
数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an - l| < ε成立，则称常数l为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=l或
an→l。
极限证明通常需要利用数学定义和逻辑推理方法，包括使用
ε-δ方法、数列收敛性的性质、数学定理等手段，具体步骤一
般为：
1. 给出要证明的极限表达式，例如要证明lim(n→∞)an=l。
2. 根据定义，对于任意给定的ε>0，要找到一个正整数N，使
得当n>N时，不等式|an - l| < ε成立。
3. 根据数列的特性和极限定义，将给定的不等式转化为可以进行估计和推导的形式。
4. 利用数学工具和方法，展开推导，找到合适的N，使得不等式满足。
5. 使用数学定理和推理方法，证明该N的存在和可行性。
6. 根据上述步骤进行逻辑推理和数学推导，得出结论
lim(n→∞)an=l成立。
通过以上步骤，可以严格证明一个数列的极限存在且具体取值。
极限证明是数学分析中重要的一部分，对于数列和函数的性质和运算具有重要的理论和实际应用价值。
如何证明极限存在
如何证明极限存在？
证明极限存在的常用方法有以下几种：
一、从用极限的定义来证明，即用ε- δ语言来证明。
二、应用定理：单调有界数列必定收敛。
三、应用夹逼准则证明。
四、应用柯西收敛准则：基本数列必定收敛。
五、可以应用反常积分和级数中的比较判别法。
六、极限存在等价于：左极限等于右极限。
一、应用夹逼定理证明
如果有函数f(x),g(x),h(x),满足g(x)≤f(x)≤h(x), Limg(x)= Limh(x)=A，则Limf(x)=A。
用夹逼定理时，由给出的数列放大、缩小，在放大、缩小时，不要改变起主要作用的n最高次方项，并且要求放大、缩小后的表达式极限相等，是夹逼定理的关键。
二、应用单调有界定理证明
若数列递增且有上界，或数列递减且有下界，极限存在。
单调有界定理对函数的极限也成立。
三、从用极限的定义入手来证明
以数列为例，设{xn}为一个无穷实数数列的集合。
如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限。
四、应用极限存在的充要条件证明
即函数左极限等于右极限，数列奇子列极限等于偶子列极限。
求极限的几种方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x=2lim-→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x(II)M x g ≤)( (M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim⋅→ 解: 由 0lim=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
用极限定义证明例题
用极限定义证明例题极限定义是一种基于序列或函数逼近的方法来证明极限存在或不存在的工具。
下面我将给出一个极限的例题，并使用极限定义来证明。
例题：证明极限\[ \lim_{x \to 2}(2x+1) = 5 \]证明：根据极限定义，我们需要证明对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0 < |x - 2| < δ 时，有|2x + 1 - 5| < ε。
首先，我们需要确定一个δ的取值。
考虑函数2x + 1 - 5，我们可以将其重写为2(x-2)。
现在我们需要寻找一个δ，使得当|x - 2| < δ时，有|2(x-2)| < ε。
我们可以通过以下方式确定δ的取值：|2(x-2)| < ε可得：2|x-2| < ε由于我们需要证明的是对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ，所以我们可以假设ε > 0。
然后，我们尝试推导出一个关于δ的不等式，使得当0 < |x - 2| < δ 时，有2|x - 2| < ε。
通过简单的变换，我们得到：|x - 2| < ε/2因此，我们可以选择δ的取值为δ = ε/2。
这样，当0 < |x - 2| < δ时，有2|x - 2| < 2(ε/2) = ε。
因此，通过极限定义，我们可以证明对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ = ε/2，使得当0 < |x - 2| < δ 时，有|2x + 1 - 5| < ε。
因此，根据极限定义，我们可以得出结论：\[ \lim_{x \to 2}(2x+1) = 5 \]。
用极限定义证明数列极限的几种方法
用极限定义证明数列极限的几种方法作者：***来源：《科技风》2019年第28期摘要：在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，是研究微积分的必备工具，也是我们的教学中的重难点之一。
本文简单介绍了数列极限定义证明数列极限的四种方法：直接法、适当放缩法、适当放大条件法、反证法。
关键词：极限;放缩;反证我们知道初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。
极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正六边形的面积来推算圆面积的方法——割圆术[1]，就是极限思想在几何上的应用。
在本文中主要介绍了几种不同的方法来加深对数列极限定义的理解和掌握.但在实际的教学中我们看到，学生在运用数列极限定义证明极限存在还是有一定的困难，这是由于学生对极限ε-N 定义中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a<ε”等术语及它们之间的关系了解的还不够完整，深刻。
首先介绍数列极限ε-N的定义[2]：设xn为以数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛SymboleB@ xn=aε>0，正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。
我们应该注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数ε有关的，它随着ε的给定而选它。
那么，要如何根据ε来确定N？N的取值是唯一的吗？这些问题都将是在解题过程中遇到的。
接下来简单介绍几种常用的解题方法。
一、直接法对常见的一些简单的极限问题可以直接由不等式|xn-a|<ε解出N。
其过程如下：首先对ε>0，从|xn-a|<ε分析出n>φ（ε），然后取N=[φ（ε）]。
SymboleB@ 1n2=0。
极限的求法
极限的求法1、 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：lim x→x 0f (x )=A 的ε−δ定义是指：∀ε>0,∃δ=δ(0x ,ε)>0,0<|x −0x |<δ |f (x )−A |<ε为了求δ可先对x 0的邻域半径适当限制，如然后适当放大|f (x )−A |≤φ(x )(必然保证φ(x )为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≤|x −0x |+|0x +a|<|0x +a|+δ1或|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≥|0x +a|−|x −0x |>|0x +a|−δ1 从φ(x )<δ2，求出δ2后，取δ=min (δ1,δ2)，当0<|x −0x |<δ时，就有|f (x )−A |<ε。
例：设lim n→∞x n =a 则有limn→∞x 1+x 2+...x nn=a 。
证明：因为lim n→∞x n =a ，对∀ε>0,∃N 1=N 1(ε)，当n >N 1时，|x n −a |<ε2于是当n >N 1时，|x 1+x 2+...+x nn−a|=|x 1+x 2+...+x n −na |n0<ε<1其中A =|x 1−a |+|x 2−a |+|x N 1−α|是一个定数，再由An <ε2，解得n >2A ε，故取N =max {N 1,[2Aε]}当n >N 时，|x 1+x 2+...+x nn−α|<ε2+ε2=ε。
2、 直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。
用极限定义证明极限的几种方法
０≤ｋ≤√
ｚ的变化范 围相 比较 ，最后 取 ｚ 的最 大值 或 最 小 值 而得 到所 要证 明 的结果 。
于是有ｌ≤ｎ ＝１＋ｋ≤ｌ＋√
例 ３ 求 证 ｌｉｍ ｚ ＝ ４
证 ：因为 ｚ一一２．所 以不妨设 Ｉｚ一（－２）ｌ— Ｉｚ＋２Ｉ＜１．从而有 Ｉｚ一２Ｉ＜５
于 是 ｌ 一４Ｉ＝ Ｉ．ｒ一２】· Ｉｚ＋２Ｉ＜ ５
例 ｌ 证明ｌｉｍ￣－＝ｌ，其中 “＞１
ｎ ∞
证 ：令 ａ÷一ｌ＝ａ，则 ａ＞０．由伯努 利不 等式推 得
Ⅱ＝ （１＋ｎ） ≥ ｌ＋ 一 ｌ＋ （Ⅱ 一 １）或 ÷一 ｌ＜ ａ－ １
口
对
Ｖ Ｅ＞ Ｏ，总Leabharlann ］～（取Ｎ－
Ｅ＂－
１ ３） ，
则
当
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Ｎ 时 ．就有 ａ 一ｌ＜ｅ，即 Ｉ“÷一ｌ Ｉ＜ｅ
第 ２２卷 第 ２期
Ｖｏｌ＿２２ Ｎｏ．２
湖 北 农 学 院 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈ ｕｂｅｉ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ－Ｃｏｌｌｅｇｅ
文 章 编 号 ：１００４—３８８８（２００２）０２— ０１７０－０３
用极限定义证明极限的几种方法’
２００２年 ４月
Ａ Ｄｒ． ２００２
就 叫 函数 Ｙ一，（ ），当 一 。。时 的极 限 ，记 作 ｌｉｍｆ
…
（ ）一 Ａ
定 义 ３：设 ，（ ）在 点 ｘｏ的某 个 空 心 领 域 内
有定 义 ，如 果 ＶＥ＞Ｏ，总存在 ＞ ０，对 于遥 台 不 等
式 ０＜ Ｉ 一 如 ＜ 的一 切 所对 应 的 函 数值 恒 有不等式 Ｉｆ（ｘ）一ＡＩ＜Ｅ成立 ，则常数 Ａ就叫做
用函数极限的定义证明极限例题
用函数极限的定义证明极限例题要用函数极限的定义来证明极限，首先得聊聊极限这个概念。
极限，哎，就是我们在数的世界里，看到一个数值不断靠近某个特定的值。
就像一只小猫追着一个移动的玩具，越追越近，最终可能就能碰到它。
你可以想象，当自变量逐渐逼近某个点，函数的值也慢慢逼近另一个数。
这可不是随便说说的，而是有数学基础的。
举个简单的例子，咱们用 ( f(x) = 2x ) 来说明一下。
如果我们想证明 ( lim_{x to 3 f(x) = 6 )，得从定义出发，简单来说就是要确保无论你选择多小的距离 ( epsilon )（就是目标值和函数值之间的差距），总能找到一个合适的 ( delta )（自变量的距离），让 ( |f(x) 6| < epsilon )。
这话听起来有点拗口，但说白了，就是让你可以放心大胆地靠近这个极限值。
所以，咱们先来看看 ( |f(x) 6| ) 这部分。
把 ( f(x) = 2x ) 代进去，变成了 ( |2x 6| )。
这就像是在说：你离目标值6有多远？再简单点，算算 ( |2(x 3)| )，这里的关键就是看( x ) 逼近3的速度。
你瞧，问题就变得简单多了。
为了让这个表达式小于 ( epsilon )，我们得解一下不等式。
换句话说，我们需要让( |2(x 3)| < epsilon )，再简单点，变成 ( |x 3| < frac{epsilon{2 )。
所以只要我们选定一个( delta = frac{epsilon{2 )，就能保证不管你选择多小的 ( epsilon )，都有对应的 ( delta ) 让这俩条件同时成立。
是不是挺简单的？再说说这过程的美妙，就像在跑步比赛中，参赛者不断逼近终点，尽管有时会稍微偏离，但只要沿着正确的路线，最终都会冲过终点线。
极限的世界也是这样，函数值就像这些跑步的选手，始终在追赶那个理想的目标。
咱们换个角度，想想这极限的意义。
利用数列极限定义证明
利用数列极限定义证明数列极限定义是数学中非常重要的概念，它是解决各种数学问题的关键。
数列极限定义是指当数列的项数趋近于无穷大时，数列中的每一项都趋近于一个常数。
利用数列极限定义可以证明各种数学定理，如函数极限、微积分等。
首先，我们来看一个简单的例子。
设数列$a_n$为$frac{1}{n}$，我们要证明$limlimits_{ntoinfty}a_n=0$。
根据数列极限定义，我们需要证明对于任意的$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-0|<epsilon$。
我们可以假设$epsilon=frac{1}{k}$，其中$k$是任意正整数。
根据这个假设，我们需要找到一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|frac{1}{n}-0|<epsilon$，即$frac{1}{n}<frac{1}{k}$，从而得到$n>k$。
因此，我们可以取$N=k$，那么当$n>N$时，$|frac{1}{n}-0|<epsilon$成立，也就是$limlimits_{ntoinfty}frac{1}{n}=0$。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。
设数列$a_n$为$sqrt{n^2+n}-n$，我们要证明$limlimits_{ntoinfty}a_n=frac{1}{2}$。
根据数列极限定义，我们需要证明对于任意的$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-frac{1}{2}|<epsilon$。
我们可以将$a_n$化简为$frac{1}{sqrt{n^2+n}+n}$。
因为$n^2<n^2+n<(n+1)^2$，所以$2n<(n^2+n)+nsqrt{n^2+n}<(n+1)^2+nsqrt{n^2+n}$。
由于$sqrt{n^2+n}<sqrt{n^2+n^2}=nsqrt{2}$，所以$2n<frac{1}{sqrt{n^2+n}+n}<frac{1}{nsqrt{2}}+frac{1}{n}$。
用极限定义证明极限的几种方法
用极限定义证明极限的几种方法在数学中，极限是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的邻近区域内的行为。
极限的定义是严格的，而且它的证明方法多种多样。
在本文中，我们将探讨用极限定义证明极限的几种方法。
一、直接代入法直接代入法是最简单的证明极限的方法之一。
它适用于那些可以直接计算出函数值的情形。
如果我们知道函数在某一点的极限值，那么我们只需要将该点的值代入函数，然后证明该值等于极限值即可。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在x=2处的极限为4，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道f(2)=4。
2.接下来，我们选择一个足够小的正数ε，例如ε=0.1。
3.然后，我们找到一个足够小的正数δ，例如δ=0.1。
4.对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们有|f(x)-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|<δ|x+2|。
5.由于|x-2|<δ=0.1，所以1.9<x<2.1，所以|x+2|<4.1。
6.所以|f(x)-4|<0.1×4.1=0.41<ε=0.1。
7.所以，对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们都有|f(x)-4|<ε，这就证明了f(x)在x=2处的极限为4。
二、利用极限的四则运算法则如果我们要证明的函数是由其他函数通过四则运算得到的，那么我们可以利用极限的四则运算法则来证明该函数的极限。
这些法则包括：1.和差的极限等于极限的和差：lim(f(x)±g(x))=lim f(x)±lim g(x)。
2.乘积的极限等于极限的乘积：lim(f(x)g(x))=lim f(x)×lim g(x)。
3.商的极限等于极限的商：lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x)，其中limg(x)≠0。
例如，我们要证明函数f(x)=(2x-1)/(3x+2)在x=1处的极限为1/5，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道函数f(x)是由两个函数g(x)=2x-1和h(x)=3x+2通过除法得到的。
用极限定义证明极限
例1、用数列极限定义证明：22lim 07n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712n n n n n n n n n n n n nn ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。
第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2<n ；不等号（2）成立的条件是7<n ；不等号（3）成立的条件是12n <，即n>2；不等号（4）成立的条件是4[]n ε>，故取N=max{7, 4[]ε}。
这样当n>N 时，有n>7，4[]n ε>。
因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为4[]n ε>，所以不等式（4）能成立，因此当n>N 时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N 时，22|0|7n n ε+-<-。
在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n 或2n 的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．可把它放大为．．．．．．kn ．．（．k ．为大于零的常数）的形式．．．．．．．．．．．例2、用数列极限定义证明：24lim 01n n n n →∞+=++ (1)422224422|0|111n n n n n n n n n n n n n nε>+++-=<<=<++++++时 不等号（1）成立的条件是2[]n ε>,故取N=max{4, 2[]ε},则当n>N 时，上面的不等式都成立。
注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
．如： 22222211(1)1n n n n n nn n n n n n ++>++>-<+>+例3、已知2(1)(1)nn a n -=+，证明数列a n 的极限是零。
用极限定义证明极限的几种方法
文章编号:1004-3888(2002)02-0170-03用极限定义证明极限的几种方法X郑文杰(湖北民族学院预科部,湖北恩施445000)摘要:在微积分中,极限是最重要的概念之一,而且微分、积分、级数等概念都是由极限来定义的。
因此,掌握好用极限定义证明部分极限问题的方法大有必要,从极限定义证明极限的方法的特点加以分析,可归纳总结出放大法、乘方法、取点法、夹逼法和反证法等5种方法。
关键词:极限;定义;证明方法中图分类号:O172文献标识码:A1极限的定义定义1:设X n是一个数列,A是一个确定的数,若对任给的正数E,总存在某一个自然数N,使得当n>N时,都有X n-A<E,则称数列X n收敛于A,A称为它的极限。
并记作limn y] X n=A.定义2:设f(x)为定义在(-],+])上的函数,A是一个定数,若对任给正数E,总存在正数X,使得适合x>X的一切x对应的函数值f(x)恒有不等式f(x)-A<E,成立则常数A 就叫函数y=f(x),当x y]时的极限,记作limx y] f(x)=A定义3:设f(x)在点x0的某个空心领域内有定义,如果P E>0,总存在D>0,对于适合不等式0<x-x0<D的一切x所对应的函数值恒有不等式f(x)-A<E成立,则常数A就叫做函数y=f(x),当x y x0时的极限,记作limx y xf (x)=A2用极限定义证明极限问题的方法2.1放大法放大法是将定义中的绝对值不等式X n-A<E或f(x)-A<E适当放大,转化为X n-A<m<n<,,<E或f(x)-A<a<b<,,<E的形式,然后在放大化简的不等式的基础上再讨论极限证明问题。
此类方法主要取决于绝对值不等式放大的程度,放大放小都不易得出结果,只有适度放大才能使解题化繁为简。
在各类型的极限证明中此类方法较常见。
用极限定义证明极限的几种方法
用极限定义证明极限的几种方法为了证明一个函数的极限存在，我们可以使用不同的方法，其中包括极限的ε-δ定义、夹逼定理、柯西收敛准则以及单调有界原理等。
下面将对这些方法逐一进行介绍并进行详细证明。
首先，我们来看极限的ε-δ定义。
设函数f(x)在特定点a的一些邻域内定义，我们说f(x)在x趋近于a时以L为极限，记为lim┬(x→a)f(x)=L，如果对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，总有，f(x)-L，<ε成立。
证明的关键是根据定义中的给定任意ε>0，我们需要找到对应的δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，总有，f(x)-L，<ε成立。
为此，我们可以根据，x-a，<δ，找到一个以a为中心的邻域，使得此邻域内的函数值与L的差距小于ε。
通过推导和分析等数学方法，可以得到满足以上条件的δ值，从而证明了该函数在点a的极限存在。
接下来是夹逼定理。
夹逼定理也称为挤压定理，它是一种特殊的极限求法。
夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在一些点附近能够被两个函数夹住，而这两个函数的极限相等，则原函数也以该极限为极限。
具体来说，设函数f(x)，g(x)，h(x)是定义在点a的一些邻域内的函数，且对于x在该邻域内始终成立g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果lim┬(x→a)g(x)=lim┬(x→a)h(x)=L成立，那么就可以推出lim┬(x→a)f(x)=L。
利用夹逼定理可以有效地证明一些函数极限的存在性，尤其是在函数难以直接处理时。
通过构造合适的上下界函数，从而夹住函数，我们就可以得到所要证明的极限存在性。
其次是柯西收敛准则。
该准则是一种常用的判定函数极限存在的方法。
柯西收敛准则是基于数列极限的概念进行推广而得到的。
设函数f(x)在点a的一些邻域内定义，若对于任给的ε>0，存在一个δ>0，使得当x_1与x_2满足0<，x_1-a，<δ且0<，x_2-a，<δ时，总有，f(x_1)-f(x_2)，<ε成立，则称函数f(x)在点a处柯西收敛。
用函数极限的定义证明
用函数极限的定义证明任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε。
即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。
2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。
函数极限例子lim(sinⅹ/ⅹ)=1(ⅹ→0)证明:以1为半径，ⅹ为角度，画扇形OAB，O为圆心，A、B为弧长端点。
过A作垂线AD垂直OB，作B点切线，延长OA与过B的切线相交与E。
ⅹ∈(0，π/2)，AD=sinⅹ，BE=tanⅹ，OAB面积=ⅹ/2。
OAD面积=sinⅹ/2OBE面积=tanⅹ/2OAD<OAB<OBE→sinⅹ/2<ⅹ/2<tanⅹ/2→sinⅹ<ⅹ<tanⅹ→1/sinⅹ>1/ⅹ>cosⅹ/sinⅹ，同乘以sinⅹ→1>sinⅹ/ⅹ>cosⅹ，ⅹ→0⁺，cosⅹ→1，由三明治定理→lim(sinⅹ/ⅹ)=1。
当ⅹ→0⁻，令t=-ⅹ，t→0⁺，sin(-t)/(-t)=-sint/(-t)=sint/t→(-t→0⁻)limsin(-t)/(-t)=(t→0⁺)limsint/tlimcosⅹ=1(ⅹ→0)(ⅹ→0)limtanⅹ/ⅹ=(sinⅹ/cosⅹ)/ⅹ=(sinⅹ/ⅹ)(1/cosⅹ)=1当ⅹ很小的时候，sinⅹ、tanⅹ与ⅹ很接近。
(ⅹ→0)lim(1-cos²ⅹ)/ⅹ²=sin²ⅹ/ⅹ²=(sinⅹ/ⅹ)²=1(ⅹ→0)lim(1-cosx)/ⅹ=((1-cosx)/ⅹ)((1+cosⅹ)/(1+cosⅹ))=(sin²ⅹ/ⅹ)(1/(1+cosⅹ))=sinⅹ(sinⅹ/ⅹ)(1/(1+cosⅹ))=0*1*(1/(1+1))=0。
如何用数列极限定义证明数列极限问题
３条件放大法
在对ｌ ｎ。一口ｌ进行放大时，有时需要对以加
以限制，这就是所谓条件放大法．具体步骤如下：
第一步：将ｌ口。一ａ ｌ作条件放大成ｇ（咒），即
当”＞Ｎｌ时，有Ｉ口。一口ｌ＜ｇ（咒）．
第二步：Ｖ ｅ＞０，寻求使ｇ（７２）＜￡成立竹所
要满足的条件——寻找Ｎ２·
第三步：取Ｎ＝ｍａｘ｛Ｎ１，Ｎ２｝．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ：ｌｉｍｉｔ；ａｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ 【责任编辑王立欣】
万方数据
如何用数列极限定义证明数列极限问题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
罗威 沈阳化工学院,计算机科学与技术学院,辽宁,沈阳,110142
实质的理解仍然模糊不清． 首先将数列极限￡一Ｎ定义叙述如下：
｜ｉｒａａ。＝口甘Ｖ￡＞０，３ Ｎ∈Ｎ＋，Ｖ以＞Ｎ，
ｒｔ—●∞
有Ｉ口。一ａ Ｉ＜Ｅ［４｜． 由上面定义可以看到，用定义证明数列极限 存在的关键是：对Ｖ ｅ＞０，都能找到一个正整数 Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，有Ｉ口。一ｎ Ｉ＜ｅ成立．这里的Ｖ￡ ＞０，由证题者自己给出．因此，关键是找出Ｎ．那 么，如何寻找Ｎ呢？显然，要寻找的Ｎ，一定要满 足当／２＞Ｎ时，有Ｉ口。一ａ Ｉ＜ｅ成立．而ｌ ａ。一口ｌ 可以看成是关于正整数竹的函数，我们可以通过 求解不等式Ｉ ａ。一ａ Ｉ＜ｅ，找到使Ｉ ａ。一口Ｉ＜￡成 立，＂所要满足的条件，亦即不等式Ｉ ａ。一口Ｉ＜ｅ 的解集．该解集是自然数集Ｎ的无限子集．对同 一个ｅ，Ｎ并不惟一，因此，只需在该解集找出一 个作为Ｎ即可．这样寻找Ｎ的工作就转化成求 解不等式Ｉ口。一口Ｉ＜ｅ的问题了．下面介绍几种常 用的方法．
用极限的定义论证极限之例说
用极限的定义论证极限之例说极限，也称为极限量，是指当函数的变量不断接近某个值时，函数的值也不断接近某个值，或者说是一个常量。
一般来说，极限的定义可以表达为：如果一个变量x在一定的范围内逐渐靠近某一值x0，那么这个函数f(x)的值也将逐渐靠近某一值L，那么我们就可以用下面的表达式来表示极限：lim f(x) = Lx→x0以此定义，极限涉及到两个重要概念：一是变量x要靠近但不能等于某个数值x0；其次，函数f(x)的取值要靠近但不能等于某个数值L。
这里的数值x0和L称之为极限值。
极限的论证极限的论证是非常重要的数学问题，它可以帮助我们证明函数的性质，甚至可以证明函数的存在性。
通常情况下，论证极限的方法有平凡法、分解法和暂行判断法。
平凡法是最常用的论证极限方法，它只要验证极限值L即可，而不需要考虑变量x，以此来证明函数f (x)在x0时取极限L。
此外，使用分解法也是一个常用的论证极限的方法。
分解法的基本思想是，对于一个复杂的多元函数，先把它分解为更简单的有限个函数，再针对每一个更简单的函数单独论证极限，最后将它们相加得到复杂函数的论证极限结果。
最后，暂行判断法是以图形和定理作为依据，用几何化的思想来证明函数在某一点处取某个值。
极限的例说这里我们以下面的函数为例来论证极限：f(x) =(1+2x)为了求此函数f(x)的极限，可以使用平凡法，先把原函数量化为 y = (1+2x) ^ (1/2)，再将它们用前面的极限定义表达式替换，最后将极限值L取为2。
lim(1+2x)^(1/2)x→∞= lim2x→∞= 2由此，可以得出结论：当x趋近无穷大时，函数f(x)值也趋近极限值2.结论从上面的论证可以看出，极限是一个很重要的概念，它不仅可以用来表示函数的极值，而且也可以用来证明函数的存在性。
此外，论证极限的方法也有多种，比如平凡法、分解法和暂行判断法等，它们在很多数学问题的研究中都有重要的作用。
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例1、用数列极限定义证明：22lim 07
n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712
n n n n n n n n n n n n n
n ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。
第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2<n ；不等号（2）成立的条件是7<n ；不等号（3）成立的条件是12n <，即n>2；不等号（4）成立的条件是4[]n ε
>，故取N=max{7, 4[]ε}。
这样当n>N 时，有n>7，4[]n ε
>。
因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为4
[]n ε
>，所以不等式（4）能成立，因此当n>N 时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N 时，22|
0|7n n ε+-<-。
在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n 或2
n 的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．可．把它放大为．．．．．kn ．．（．k ．为大于零的常数）的形式．．．．．．．．．．．
例2、用数列极限定义证明：24lim 01
n n n n →∞+=++ (1)422224422|0|111n n n n n n n n n n n n n n
ε>+++-=<<=<++++++时 不等号（1）成立的条件是2[]n ε>,故取N=max{4, 2[]ε
},则当n>N 时，上面的不等式都成立。
注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
．
如： 22
222211(1)1
n n n n n n
n n n n n n ++>++>-<+>+
例3、已知2(1)(1)
n
n a n -=+，证明数列a n 的极限是零。
证明：0(01)εε∀><<设，欲使(1)(2)22(1)11|0|||(1)(1)1
n n a n n n ε--==<<+++成立 由不等式11n ε<+解得：11n ε
>-，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整数n 都是成立的，因此取1[1]N ε
=-，则当n>N 时，不等号（2）成立，进而上述系列等式和不等式均成立，所以当n>N 时，|0|n a ε-<。
在上面的证明中，设定01ε<<，而数列极限定义中的ε是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？
在数列极限定义中，N 是一个正整数，此题如若不设定01ε<<，则1
[1]N ε
=-就有可能不是正整数，例如若ε＝2，则此时N ＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01ε<<，这样就能保证N 是正整数了。
那么对于大于1的ε，是否能找到对应的N ？能找到。
按照上面已经证明的结论，当ε＝0.5时，有对应的N 1，当n>N 1时，|0|n a -＜0.5成立。
因此，当n ＞N 1时，对于任意的大于1的ε，下列式子成立：
|0|n a -＜0.5＜1＜ε，亦即对于所有大于1的ε，我们都能找到与它相对应的N=N 1。
因此，在数列极限证明中，ε可限小．．．。
只要对于较小的ε能找到对应的N ，则对于较大的ε就自然能找到对应的N 。
（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。
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