用极限定义证明极限

例1、用数列极限定义证明：22lim 07

n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712

n n n n n n n n n n n n n

n ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是22；不等号（4）成立的条件是4[]n ε

>，故取N=max{7, 4[]ε}。这样当n>N 时，有n>7，4[]n ε

>。 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为4

[]n ε

>，所以不等式（4）能成立，因此当n>N 时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N 时，22|

0|7n n ε+-<-。 在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n 或2

n 的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．可．把它放大为．．．．．kn ．．（．k ．为大于零的常数）的形式．．．．．．．．．．．

例2、用数列极限定义证明：24lim 01

n n n n →∞+=++ (1)422224422|0|111n n n n n n n n n n n n n n

ε>+++-=<<=<++++++时 不等号（1）成立的条件是2[]n ε>,故取N=max{4, 2[]ε

},则当n>N 时，上面的不等式都成立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．

如： 22

222211(1)1

n n n n n n

n n n n n n ++>++>-<+>+

例3、已知2(1)(1)

n

n a n -=+，证明数列a n 的极限是零。 证明：0(01)εε∀><<设，欲使(1)(2)22(1)11|0|||(1)(1)1

n n a n n n ε--==<<+++成立 由不等式11n ε<+解得：11n ε

>-，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整数n 都是成立的，因此取1[1]N ε

=-，则当n>N 时，不等号（2）成立，进而上述系列等式和不等式均成立，所以当n>N 时，|0|n a ε-<。

在上面的证明中，设定01ε<<，而数列极限定义中的ε是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N 是一个正整数，此题如若不设定01ε<<，则1

[1]N ε

=-就有可能不是正整数，例如若ε＝2，则此时N ＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01ε<<，这样就能保证N 是正整数了。

那么对于大于1的ε，是否能找到对应的N ？能找到。按照上面已经证明的结论，当ε＝0.5时，有对应的N 1，当n>N 1时，|0|n a -＜0.5成立。因此，当n ＞N 1时，对于任意的大于1的ε，下列式子成立：

|0|n a -＜0.5＜1＜ε，亦即对于所有大于1的ε，我们都能找到与它相对应的N=N 1。因此，在数列极限证明中，ε可限小．．．

。只要对于较小的ε能找到对应的N ，则对于较大的ε就自然能找到对应的N 。

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