江苏省海门中学2010届北大清华自主招生选拔试题(时间90分钟)

海门中学2010届北大清华自主招生选拔试题
（考试时间90分钟）
命制人：方伟
一、思维拓展题：
1、陈奕迅有首歌叫《十年》、吕珊有首歌叫《3650夜》，那现在问,十年可能有_______天?
2、1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到_____瓶汽水？
3、1，11，21，1211，111221，下一个数是_____________。

4、10箱黄金，每箱100块，每块一两。

有贪官，把某一箱的每块都磨去一钱。

请称一次找到不足量的那个箱子。

_______________________________________________________ ____________________________________________________________________________.
5、老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师，一个是职员，一个是工人，一个是干部，还知道（1）张、刘为邻居，每天骑车上班；（2）老刘比老李年纪大；（3）老张教老赵打太极拳；（4）教师每天步行上班；（5）职员的邻居不是干部；（6）干部和工人不认识；（7）干部比职员和工人年纪都大，那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为_______________________________________________.
二、综合测评题：
1、 平面坐标系逆时针旋转θ角，求),(00y x p 在新坐标系下的坐标。

(其中)2
0π
θ<<
2、),,min(42
2
2
2
2
2
b a a
c c b S +++≤（其中S 是△ABC 的面积,a 、b 、c 为三边长）
3、求证：如果p 和p+2都是大于3的素数，那么6是p+1的因数。

4、Let N={0,1,2,…..}.Determine all functions ：f N →N
such that )()()()(22y x f y x x yf y xf ++=+ for all x and y in N （Note: The answer can be in Chinese.）
5、设}{n a 是满足≤≤≤=2101a a a … ①的实数序列,而}{n b 是由下式定义的实数列
∑
=--
=
n
k k
k
k n a a a b 1
11)
1(,,2,1=n …， ②
证明：（1）对任意,3,2,1=n …，20<≤n b 成立。

（2）对于20<≤c 中的任意c ，存在具有性质①的序列}{n a ，使得由它构成的序列②中有无穷多个下标n 满足c b n >。

6、关键词：数学作文
理论背景：从2000年开始，我国已把“探索型课题学习”列入教学计划，并规定了教学时间。

2001年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文”这个概念，它类似于国外学生做的“Project ”，结合我国的实际，“数学作文”是“探索型课题”研究过程和结果的展现形式。

它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“双基”的延伸。

通过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。

请你用200-300字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。

（注意：数学语言的运用）
参考答案:
一、
1，十年可能包含2-3个闰年，3652或3653天。

2，40瓶，20+10+5+2+1+1=39，这时还有一个空瓶子，先向店主借一个空瓶，换来一瓶汽水喝完后把空瓶还给店主。

3，312211。

（三个1两个2一个1）
4，第一箱子拿1块，第二箱子拿2块，第n 箱子拿n 块，然后放在一起称，看看缺了几钱，缺了n 钱就说明是第n 个箱子。

5，张、刘、赵、李 二、
1、相对于新教材属研究性学习的内容，与高等数学接轨。

勇初等的方法：向量、复数、坐标都可以解决。

当然用行列式会更直接。

答：)sin cos ,sin cos (0000θθθθy x y x +-
2、为解决min 这个符号，可利用“不妨设”化解。

结合基本不等式和三角形面积公式易证。

3、简单的一个数论问题。

4、原题：设N={0,1,2,…..}，求所有的：f N →N ，使得对任意N y x ∈,，
均有)()()()(2
2y x f y x x yf y xf ++=+ 提示：设有)()(y f x f ≤，
则)()
()()()
)
()()
(()()(2
2y f y
x y yf y xf y x f y x x yf y xf y
x x f y x xf x f =++≤
+=++≤
++=
即)()()()(02
2
x f y f x f y x f -≤-+≤，因为N y x ∈, 易得：c x f =)( N c ∈
5、解：由题设易知11)
1(01≤-
≤-k
k
k a a a ，
求前n 项和，显然0≥n b ，但无法保证22<b ，因此可将n b 作恒等变形。

∑
∑
=---=---
+
=
-
=
n
k k
k k
k k
k n
k k
k k
k n a a a a a a a a a a b 1
1
1
11
11
)11)(
11(
)
11(
∑
∑==----<-
=-≤-
+
=
n
k n
k n
k
k k
k k
k k
k a a a a a a a a a a 1
1
1
1
112)11
(
2)11(
2)11
)(
(
为证问题（2），关键是选取}{n a ，以便计算}{n b ，可将}{n a 特殊化，取
k
k a a 1-为常数，此
时
k
a 1为等比数列。

因而对10<<a ，取n
n a a 2-=，
则∑=-+=-=
n
k n
k
n a a a a
a
b 1
2
)1)(1()1(，此时)1(lim a a b n n +=∞
→，只要c a a >+)1(
就有无穷多个下标n ，使c b n >。

因此，当20<≤c 时，取12
<<a c ，
就有c a a >+)1(，故证得满足题设条件的系列}{n a 存在。

6、纲要（1）数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳。

（2）数学归纳法的定义（或者解题步骤）（3）重难点突破：奠基的重要性及注意点，在证明P （K+1）时一定要用到归纳假设P （K ）（4）适用范围：可以证明与正整数相关的命题。

（5*）其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等。