空间图形的基本关系与公理

[解析] 本题考查线线角，考查学生的作图能力和计算能 力．
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分别取 AA1、BA、A1C1 的中点 E、F、G，联结 EF、FG、 EG.
第8章 第二节
高考数学总复习
则∠FEG 或∠FEG 的补角是 BA1 与 AC1 所成的角，
设 BA＝AC＝AA1＝1，
则 EF＝ 22，EG＝ 22，FG＝
BC，BB1，AA1，C1D1，共 5 条．
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大
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高考数学总复习
(理)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC
＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( )
A．30°
B．45°
北
C．60°
D．90°
师 大
[答案] C
版
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A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
北
师
[答案] C
大
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[解析] a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a.因而 c 不与 b
பைடு நூலகம்
平行，否则，若 c∥b，则 a∥b，与已知矛盾，因而 c 不与 b
平行．
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(理)给出下列命题：
①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；
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空间图形的基本
第二节
关系与公理
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考纲解读
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
北
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形
师 大
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的位置关系的简单命题．
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师
交；对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面．
大
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3．用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下
列命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c; ②若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c； 北
师
③若 a∥γ，b∥γ，则 a∥b; ④若 a⊥γ，b⊥γ，则 a∥b.
大
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师
N，可证明 PMQNRS 为平面图形，且 PMQNRS 为正六边形． 大
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考向预测
1．以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推
理能力与空间想象能力．
北
师
2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共 大
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面的问题．
3．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答
题中，属低中档题．
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异面直线 a，b 所成的角．
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②范围：0，π2 .
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3．直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内
三种情况．
4．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
北
师
5．定理
大
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空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两
个角相等或互补.
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2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线平相行交直直线线 异面直线：不同在任何一个平面内
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(2)异面直线所成的角
①过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b 的平行线
l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是 北
知识梳理
1．平面的基本性质
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 北
师
直线上所有的点都在这个平面内．
大
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公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有
一条 通过该点的公共直线．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
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又易知△A1BD1 为正三角形，
∴∠A1BD1＝60°，
∴BA1 与 AC1 成 60°的角．
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5．下列各图是正方体和正四面体．P、Q、R、S 分别是所 在棱的中点，过四个点共面的图形是________．
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[答案] ①②③
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[解析] 在④选项中，可证 Q 点所在棱与 PRS 平行，因此， P、Q、R、S 四点不共面．可证①中 PQRS 为梯形；③中可证 PQRS 为平行四边形，②中如右图取 A1A 与 BC 的中点为 M、 北
④垂直于同一平面的两直线互相平行．
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大
故①，④正确．
版
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4．(文)平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也
与 CC1 共面的棱的条数为( )
A．3
B．4
北
C．5
D．6
师
大
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[答案] C
[解析] 如下图，与 AB 共面也与 CC1 共面的棱有 CD，
其中真命题的序号是( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
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[答案] C [解析] 本题主要考查平面几何，立体几何的线线，线面
的关系．
北
①平行关系的传递性．
师
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②举反例：
a⊥b，b⊥c，则 a∥c.
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③举反例：
a∥γ，b∥γ，则 a 与 b 相交．
北
基础自测
师
大
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1.(教材改编题)若点 M 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 M，
b，β 之间关系可表示为( )
A．M∈b∈β
B．M∈b β
北
C．M b β
D．M b∈β
师 大
[答案] B
版
[解析] 用集合语言表示，只有 B 正确．
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2．(文)已知 a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( )
1＋
2 2
2＝
26，
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∴cos∠FEG＝2×21＋2212×－4622 ＝－112＝－12，
∴BA1 与 AC1 所成的角为 60°.
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解法二：如下图，可补成一个正方体 ABCD－A1B1C1D1，
∴AC1∥BD1.
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∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1.
②三条两两相交的直线在同一个平面内；
北
师
③有三个不同公共点的两个平面重合；
大
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④两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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[答案] A
[解析] 对于①两条直线可以异面；对于②三条直线若交
于一点，则可以异面；对于③这三点若共线，则两平面可以相 北