全等三角形证明判定方法分类总结
1.5.2+三角形全等的判定(SAS))+课件++2024-2025学年浙教版八年级数学上册
__①___和__②___全等（填序号即可）.
2 100º 3 ①
32º
48º 2
3
②
2
48º 32º
3 ③
例题解析
【例1】如图，AC与BD相交于点O．已知OA＝OC，OB＝OD．求证：
△AOB≌△COD．
分还证析能明:找: 在到在△什△A么AOO条BB和件和△？△CC对OO顶DD中中角,,∠已A有O哪B=些∠已C证((13知O))三公等D条角共角件形角 加？全相 (或等等减时;)等,常角见(仍2的)对得A隐顶等含角角的O相; 等等角; 有:B
【思考】“SSA”能不能判定两个三角形全等？
合作探究
画△ABC 和△DEF，使∠A =∠D=40°， BC EF=2.5 cm ，AC =DF =3.5 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？
C
F
A 40° B
40°
D
E
两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
！ 必须是两边及其夹角对应相等
学以致用
OA=OC (已知)
(4)角平分线得两D等角;
C
∵
∠AOB=∠COD (对顶角相等) OB=OD (已知)
(5)同角(或等角)的余角、补角相等;
∴ △AOB≌△COD (SAS)
(6)平行线得同位角、内错角相等;
(7)垂直定义得两角相等.
例题解析
如图，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和
“SSA”不能判定两个三角形全等.
（1）已知两边，必须找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直 平分线,简称中垂线. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
全等三角形判定经典
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
三角形全等的判定SAS
03
三角形全等的其他判定方 法
SSS判定定理
总结词
三边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
SSS判定定理，即边边边全等定理，是 三角形全等判定的一种方法。如果两 个三角形的三组对应边分别相等，则 这两个三角形全等。
ASA判定定理
总结词
两角及夹角对应相等的两个定理， 也是三角形全等判定的一种方法。如 果两个三角形的两组对应角分别相等， 并且这两组对应角的夹边相等，则这 两个三角形全等。
每种判定定理都有其特定的适用范围和条件，使用时需要根据实际情况选择合适 的判定方法。
02
SAS判定定理
什么是SAS判定定理
总结词
SAS判定定理是三角形全等判定的一种重要方法，它基于三角形的两边和夹角 来判断两个三角形是否全等。
详细描述
SAS判定定理，即Side-Angle-Side判定定理，是指在两个三角形中，如果一个 三角形的两边与另一个三角形的两边相等，并且这两个相等的边所夹的角也相 等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 根据一组复杂的边角条件，构 造一个全等的三角形，并解决相 关的几何问题。
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THANKS
三角形全等的重要性
01
三角形全等是几何学中的基本概 念之一，是研究几何图形性质的 基础。
02
在解决实际问题中，如测量、绘 图、建筑等领域，三角形全等定 理的应用十分广泛。
三角形全等的分类
根据不同的判定条件，三角形全等可以分为SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全 等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）和HL（直角边斜边全 等）等五种类型。
2. 利用SAS判定定理证明 两个三角形全等，并找出 对应边和对应角。
全等三角形
全等三角形【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法根据对应顶点找：如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
根据已知的对应元素寻找：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
A、翻折如图，∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；B、旋转如图，∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；C、平移如图，∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5.判定三角形全等的方法：SSS、ASA、SAS、AAS6.注意问题：在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；不能证明两个三角形全等的是：a、三个角对应相等，即AAA；b、有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用1.证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.2.证明线段（直线）平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF ≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD. 3.证明线段（角度）的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段（或者两个角度）相等例3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD 中位线这个条件。
全等三角形证明判定方法分类归纳
全等三角形证明判定方法分类归纳一、直接证明法直接证明法是指通过对已知条件进行计算和推理，直接得出两个三角形全等的结论。
常用的直接证明法有以下几种：1.SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SSS判定法可知，只需要证明∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE即可。
这个可以通过角的和为180°进行计算和推理得到。
2.SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两个边分别相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SAS判定法可知，只需要证明BC=EF即可。
这个可以通过边与角关系进行计算和推理得到。
3.ASA判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角的夹边相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过ASA判定法可知，只需要证明AB=DE即可。
这个可以通过角与角关系进行计算和推理得到。
二、间接证明法间接证明法是指通过假设两个三角形不全等，然后推出与已知条件矛盾的结论，从而得出两个三角形全等的结论。
常用的间接证明法有以下几种：1.矛盾法假设三角形ABC和DEF不全等，然后通过对已知条件进行计算和推理，得出一个与已知条件矛盾的结论，进而推出两个三角形全等的结论。
2.割取法假设三角形ABC和DEF不全等，然后取一个边分别作其平行线或垂线，进而构造出等腰三角形或等边三角形，从而推出两个三角形全等的结论。
三、利用全等条件证明法利用全等条件证明法是指在已知两个三角形之间有一个或多个角、边、角边相等的关系时，可以根据全等条件推出两个三角形全等的结论。
全等三角形证明判定方法分类情况总结.docx
.\全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（ 1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如ABC与DEF 全等，记作ABC ≌DEF（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“ =”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“ SSS”．AB DEA D如图，在ABC 和DEF 中BC EFAC DFB C E FABC ≌DEFA 50 , BC 9cm,CE 5cm ，求EDF 的度数及CF的长．例 3．如图，已知：AB=AD， AC=AE，BC=DE，求证：BAE CADABDEC例4．如图 AB=DE， BC=EF，AD=CF，求证：（1）ABC≌DEF（ 2） AB//DE， BC//EF ADB C【典型例题】A 例 1．如图，ABC ≌ADC ，点B与点D是对应点，BAC26，且B20， S ABC1，求CAD , D ,ACD 的度数及ACD 的面积．B CD例 2．如图，ABC ≌DEF，EF A D.\例 5．如图，在ABC中 C90 , D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（ 1）DE AB ；（ 2） BD平分ABC（角平分线的相关证明及性质）AEDBC【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）A、①④B、①②C、②③D、③④2 ．如图，ABD ≌CDB ，且AB和CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（）A、ABD和 CDB 的面积相等ADB、ABD和 CDB 的周长相等C、A ABD C CBD B CD、 AD//BC 且 AD=BC3 ．如图，ABC ≌BAD ，A和B以及C和D分别是对应点，如果D CC 60 ,ABD35 ，则BAD 的度数为（）A、85B、 35C、60D、 804 ．如图，ABC ≌ DEF ，AD=8，BE=2，则AE等于（）A 、6B、 5C、 4D、 3CEA BBAFD EA E DB C第 5 题图C第 6 题图DF第 4 题图5．如图，要使ACD ≌ BCE ，则下列条件能满足的是（）A 、AC=BC， AD=CE， BD=BE B、 AD=BD， AC=CE， BE=BDC 、DC=EC， AC=BC， BE=AD D 、AD=BE，AC=DC， BC=EC6．如图，ABE≌DCF ，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB=，A，AE=，CE=，AB//，若AEBC ，则DF与BC的关系是．7 ．如图，ABC ≌AED ，若B40 ,EAB30 , C45 ,则 BAC，D，DAC．DC BAE DCAEFB D E C第 9 题题图8．如图，若 AB=AC，BE=CD，AE=AD，则ABE ACD，所以AEB，B第 8第 7 题图题图，BAD．BAE9．如图，ABC ≌ DEF ，C90 ，则下列说法错误的是（）A 、C与 F互余B、 C与 F互补C、A与E互余D、 B与 D 互余10．如图，ACF≌DBE，E30 ,ACF 110 , AD 9cm,CD 2.5cm，求 D 的度数及BC的长．E FA B C D 11．如图，在ABC 与ABD 中，AC=BD，AD=BC，求证：ABC ≌ABDD CA B全等三角形（一）作业1．如图，ABC ≌CDA ，AC=7cm，AB=5cm.，则AD的长是（）A、7cmB、5cmC、8cmD、无法确定.\2．如图，ABC ≌DCE ，A48 ,E62 ，点B、C、E在同一直线上，则ACD 的度数为（）A、 48 B 、38C、 110D、 623．如图，ABC ≌DEF ，AF=2cm,CF=5cm，则AD=．4．如图，ABE ≌ACD ， A 100 , B 25 ，求BDC 的度数．AD EB C5．如图，已知，AB=DE， BC=EF， AF=CD，求证： AB//CDA BFCE D.\6．如图，已知AB=EF， BC=DE， AD=CF，求证：①ABC ≌FED②AB//EFED FA CB7．如图，已知AB=AD， AC=AE， BC=DE，求证：BAD CAEABECD.\全等三角形（二）AD=AE，∠ 1=∠ 2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【知识要点】定义： SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示A D 【例 3】如图已知： AE=AF，AB=AC，∠ A=60°，∠ B=24°，求∠ BOE的度数 .BEB C E FO如图，在ABC 和 DEF 中，ACAB DEF【例 4】如图， B，C， D 在同一条直线上，△ABC，△ ADE是等边三角形，B E ABC ≌ DEF (SAS)BC EF求证：① CE=AC+DC；②∠ ECD=60°.E【典型例题】A【例 1】已知：如图， AB=AC， AD=AE，求证： BE=CD.ABDC【例 5】如图，已知△ ABC、△ BDE均为等边三角形。
全等三角形的判定边角边
题中的两个三角形是否全等?
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
例2
如图，在△AEC和△ADB
中，已知AE=AD，AC=AB。请说明
△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
AE =_A__D_(已知)
D
_∠__A_= _∠__A__( 公共角)
A
E
B
_A_C___= AB ( 已知 )
答：不能
把你画的三角形与同桌画的三角形进行比较，你们
的三角形全等吗？
动画演示
三角形全等的判定方法（1）：
这是一个 公理。
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么
这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
几何语言：
在△ABC与△A’B’C’中 ∵ AB=A’B’
∠B=∠B’
A
B
C
A’
BC=B’C’
B’
2
O
1
D
B
OA = OB(已知） ∠1 =∠2（对顶角相等） OD = OC （已知）
∴△OAD≌△OBC (S.A.S)
一题多变
让学生加深对“证明两个角相等或者两条 线段相等，可以转化为证它们所在的三角形全 等而得到”的理解，
并培养学生综合应用新旧知识的能力
突破难点
问题：
有一块三角形的玻璃打碎成如图 的两块，如果要到玻璃店去照样 配一块，带哪一块去？
中，AB=AB，
AC=AD， ∠B=∠B
它们全等吗？
B
A
C
D
注：这个角一定要是这两边所夹的角
课堂小结
今天你学到了什么? 1、今天我们学习了哪种方法判定两个三角形全等？
人教版初二数学上册：直角三角形全等判定(基础)知识讲解
直角三角形全等判定（基础）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 【要点梳理】【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”. 【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ＝90° 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB ＝∠CBD ∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. 举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】 【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴∠DAE ＝∠CBA ＝90° 在Rt △DAE 与Rt △CBA 中， ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ） ∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90° 即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ） （4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等； （4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C ． 解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．3、（2016春•深圳校级月考）如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ）OB CDAA ．∠A=∠DB ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【答案与解析】解：∵AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ∴∠A=∠D=90°（A 正确） 又∵AC=DB ，BC=BC ∴△ABC ≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB （B 正确） ∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB ≌△DOC(AAS) ∴OA=OD （D 正确）C 中OD 、OB 不是对应边，不相等． 故选C ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、已知：如图1，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90° 求证：Rt△ABC 和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC 和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A 与点A′重合，点C 与点C′重合．）（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．【答案与解析】解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．（2）如图：图②使点A与点A′重合，点B与点B′重合图③使点A与B′重合，B与点A′重合．（3）在图②中，∵A和A′重合，B和B′重合，连接CC′．∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACB﹣∠ACC′=∠A′C′B′﹣∠AC′C，即∠BCC′=∠BCC′，∴BC=B′C′．在直角△ABC和直角△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【总结升华】本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用等腰三角形的性质是关键．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决； (2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
全等三角形证明判定方式分类总结
全等三角形证明判定方式分类总结全等三角形是指具有完全相同形状和大小的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否全等是一种重要而基础的推理方法。
全等三角形的证明判定方式主要有三种：SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。
接下来我将分别介绍这三种定理的内容及具体应用。
1.SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
SSS全等定理的证明方法主要是通过边的长度作为条件来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的三条边的长度分别相等时，可以直接通过SSS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的三边分别等于3cm、4cm、5cm时，即可判定这两个三角形全等。
2.SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等，则这两个三角形全等。
SAS全等定理的证明方法主要是通过一条边、夹角和另一条边的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个夹角和两条边分别相等时，可以直接通过SAS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个夹角为60度，两个边分别等于4cm和6cm时，即可判定这两个三角形全等。
3.ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等，则这两个三角形全等。
ASA全等定理的证明方法主要是通过一条角、边和另一条角的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个角和两条边分别相等时，可以直接通过ASA全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个角为30度，两个边分别等于5cm和7cm时，即可判定这两个三角形全等。
全等三角形证明判定方法分类总结汇总
全等三角形证明判定方法分类总结汇总第一类：SSS判定法（边边边判定法）SSS判定法是指通过边长的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的三条边长度分别相等时，可以推断这两个三角形全等。
这是最常用的全等三角形的证明方法。
第二类：SAS判定法（边角边判定法）SAS判定法是指通过边长的相等和两边夹角的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两条边长度分别相等，且这两边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。
第三类：ASA判定法（角边角判定法）ASA判定法是指通过角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。
第四类：AAS判定法（角角边判定法）AAS判定法是指通过两个角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的一边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。
第五类：HL判定法（斜边高判定法）HL判定法是指通过边长的相等和一条边上的高线相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的一条边和这条边上的垂线长度分别相等，且这条边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。
第六类：SSA判定法（边边角判定法）SSA判定法是指通过两个边长的相等和这两个边之间的夹角相等来判定两个三角形全等。
但应注意，当只知道两个边的长度和它们之间的夹角时，并不能推断这两个三角形全等。
需要注意的是，以上列举的全等三角形证明判定法是充分条件而不是必要条件。
如果满足了一些判定条件，则可以推断两个三角形全等，但如果不满足判定条件，则并不能推断两个三角形不全等。
因此，在证明中还需要注意辅助线的使用和合理的推理过程。
除了上述分类的判定法，还可以根据题目给出的条件和限制灵活运用相关的定理和性质进行推理。
例如，利用平行线的性质、欧几里得几何的基本定理等进行推理。
综上所述，全等三角形的证明判定方法主要包括SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法、HL判定法和SSA判定法。
三角形全等的判定(综合)
灵活运用
在解题过程中，应根据实 际情况灵活运用不同的判 定方法，以提高解题效率。
验证结论
在得出结论前，应验证结 论是否符合已知条件和推 理过程，确保结论正确。
常见错误与注意事项
混淆判定方法
在解题过程中，应注意区 分不同的判定方法，避免 混淆。
忽视已知条件
在解题过程中，应充分考 虑已知条件，确保推理过 程符合题意。
作已知角的平分线
同样利用三角形全等，可以作出已知 角的平分线，通过构造全等三角形并 利用对应角相等这一性质。
05 练习与提高
CHAPTER
基础练习题
总结词
掌握三角形全等的基本判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL。
详细描述
基础练习题应包括各种三角形全等的基本判定方法，如给定三边长度判断三角形是否全等，或给定两 边及夹角判断三角形是否全等。这些题目旨在帮助学生熟悉和掌握三角形全等的基本概念和判定方法 。
ASA判定定理
总结词
两角和夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角和它们的夹边分别相等，则这两个三角形全等。这个 定理可以由SAS判定定理推导出来。
AAS判定定理
总结词
两角和非夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角和一组非夹 边分别相等，则这两个三角形全等。 这个定理可以由ASA判定定理推导出 来。
HL判定定理
总结词
直角边斜边公理，即一直角边和斜边分别等于另一个三角形 的直角边和斜边，则这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有一个直角边和斜边分别相等，则这两个三 角形全等。这是三角形全等判定中专门用于直角三角形的方 法。
浙教版八上第一章1.4全等三角形的判定
1.4 全等三角形的判定知识点梳理1、全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2、线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．题型梳理题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF12．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（）①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）14．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是．（填序号）3．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC ≌△DEF．4．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．5．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．8．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．9．如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE ≌△CFE．题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过秒时，△DEB与△BCA全等．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．5．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，△ABP 和△DCE 全等．6．（多选）如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为 cm /s ．A .13；B .1；C .1.5；D .2．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A →C →B 路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为2cm /s 和3cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE ⊥l 于点E ，QF ⊥l 于点F ，设运动时间为t 秒，则当t ＝ 秒时，△PEC 与△QFC 全等．8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D 运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．9．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．题型四全等判定的实际应用1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS4．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块5．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．①B．②C．③D．④7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ8．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS10．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．12．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第块去．（填序号）13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．15．如图所示，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带．16．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．17．公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？题型五垂直平分线的性质与应用1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°3．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．9．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．10．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为．答案与解析题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D ．3．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【解答】解：∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC ＝EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加∠ACB ＝∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；故选：D ．4．如图，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠D D ．BC ＝AD【分析】根据全等三角形的判定：SAS ，AAS ，ASA ，可得答案．【解答】解：由题意，得∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，A 、∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，AC ＝BD ，（SSA ）三角形不全等，故A 错误；B 、在△ABC 与△BAD 中，{∠ABC =∠BADAB =BA ∠CAB =∠DBA，△ABC ≌△BAD （ASA ），故B 正确；C 、在△ABC 与△BAD 中，{∠C =∠D∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （AAS ），故C 正确；D 、在△ABC 与△BAD 中，{BC =AD∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （SAS ），故D 正确；故选：A ．5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：C．10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．故选：A．11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．【解答】解：（1）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故A 正确；（2）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE BC =EF AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；故B 正确；（3）在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AB =DE ∠B =∠E，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）；故C 正确；（4）无法证明△ABC ≌△DEF ，故D 错误；故选：D ．12．如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：其中正确的结论有（ ）①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN ；⑤△AFN ≌△AEM ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①正确．可以证明△ABE ≌△ACF 可得结论．②正确，利用全等三角形的性质可得结论．③正确，根据ASA 证明三角形全等即可．④错误，本结论无法证明．⑤正确．根据ASA证明三角形全等即可．【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，∠BAE＝∠CAF，∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，∴∠1＝∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，CD＝DN不能证明成立，故④错误∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，故选：C．13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC ＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，{∠B =∠E BA =ED，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；若添加∠BAC ＝∠EDF ，∵BC ∥EF ，∴∠B ＝∠E ，∵BD ＝AE ，∴BD ﹣AD ＝AE ﹣AD ，即BA ＝ED ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E BA =ED ∠BAC =∠EDF，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故答案为：BC ＝EF 或∠BAC ＝∠EDF14．如图，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是 ∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ． ．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS ．所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD ＝∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{AB =BC∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ）；②AD ＝CD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{BD=BDAD=CD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC＝BC（答案不唯一）．【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC＝BC（答案不唯一），∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中{∠ADC=∠BEC ∠C=∠CAC=BC，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC＝BC（答案不唯一）．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是②（只填序号）．【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：②．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B＝∠C或AE＝AD（添加一个条件即可）．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．【解答】解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B＝∠C或AE＝AD．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：②．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴添加①∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEC；∴添加②BC＝EC，利用SAS得出△ABC≌△DEC；∴添加④∠BCE＝∠ACD，得出∠ACB＝∠DCE，利用AAS得出△ABC≌△DEC；故答案为：②．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是①③④．（填序号）【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：因为∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，①AB ＝CD ，根据SAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．②AC ＝DB ，无法判断△ABC ≌△DCB ．③∠A ＝∠D ，根据AAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．④∠ACB ＝∠DBC ，根据ASA 可以判定△ABC ≌△DCB ．故答案为：①③④．3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先根据AF ＝DC ，可推得AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ；再根据已知AB ＝DE ，BC ＝EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS ，即可证明△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵AF ＝DC ，∴AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中，{AC =DF AB =DE BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．4．如图，∠C ＝∠E ，AC ＝AE ，点D 在BC 边上，∠1＝∠2，AC 和DE 相交于点O ．求证：△ABC ≌△ADE ．【分析】先利用三角形外角性质证明∠ADE ＝∠B ，然后根据“AAS ”判断△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠ADC ＝∠1+∠B ，即∠ADE +∠2＝∠1+∠B ，而∠1＝∠2，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC 和△ADE 中，{∠C =∠E ∠B =∠ADE AC =AE∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．5．已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°，求证：△ABC ≌△EAD ．【分析】由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°，再由AB ∥DE ，证得∠CAB ＝∠E ，再结合已知条件AB ＝AE ，可利用AAS 证得△ABC ≌△EAD ．【解答】证明：由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°又∵∠D ＝110°∴∠ACB ＝∠D∵AB ∥DE∴∠CAB ＝∠E在△ABC 和△EAD 中，{∠CAB=∠EAB=AE，∴△ABC≌△EAD（AAS）．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中：∵{∠A=∠FCE ∠ADE=∠F DE=EF，∴△ADE≌△CFE（AAS）．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C，再证明AF＝CE，然后根据“ASA”可判断△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中{AF =CE ∠1=∠2，∴△ADF ≌△CBE （ASA ）．8．如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】由BE ＝CF 知BC ＝EF ，结合AB ＝DE 、AC ＝DF ，利用“SSS ”即可得证．【解答】解：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵{AB =DE(已知)AC =DF(已知)BC =EF (已证)， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．9．如图，已知AB ∥CF ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，若AB ＝BD +CF ，求证：△ADE ≌△CFE ．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB ＝BD +CF ，又∵AB ＝BD +AD ，∴CF ＝AD∵AB ∥CF ，∴∠A ＝∠ACF ，∠ADF ＝∠F在△ADE 与△CFE 中{∠A =∠ACF CF =AD ∠ADF =∠F，∴△ADE≌△CFE（ASA）题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为2或3．【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，∵点D为AB的中点，∴BD=12AB＝6cm，∵BD＝PC，∴BP＝8﹣6＝2（cm），∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP＝CQ＝2cm，∴v＝2÷1＝2；当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，∵BD＝6cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∵BC＝8cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2（s），∴v＝6÷2＝3（m/s），故答案为：2或3．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过0，4，12，16秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC 或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；此时AE＝3t，分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，△DEB≌△BCA，则BE＝AC，∴24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①△DEB≌△BCA，BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②△EDB≌△BCA，BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；综上所述，点E经过0秒，4秒，12秒，16秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：0，4，12，16．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝10时；②当AP＝CA＝20时；由HL证明Rt△ABC ≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，{AB=PQBC=AP，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，{AB=PQAP=AC，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．5．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为1或7秒时，△ABP和△DCE全等．【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA 上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，当点P在线段BC上时，∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此时有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；当点P在线段AD上时，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝6，CD＝4，∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，∴AP＝16﹣2t，此时有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．故答案为：1或7．6．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s。
全等三角形的判定【题目与答案】
全等三角形的判定一、5种判定方法1、SSS（边边边）2、SAS（边角边）3、ASA（角边角）4、AAS（角角边）5、HL（直角三角形专用）二、注意事项【思考】①要证明两个三角形全等，条件中必须要有“边”吗？至少要有几条边？②要证明两个三角形全等，条件中必须要有“角”吗？至少要有几个角？③使用“两边一角”证明两个三角形全等时，对“角”有什么特殊要求？④使用“两角一边”证明两个三角形全等时，对“边”有什么特殊要求？⑤证明两个直角三角形全等，只能使用“HL”来判断吗？1、判定两个三角形是否全等，必须要有边！2、用“两边一角”来判定三角形全等，必须是夹角！3、虽然直角三角形可以用“HL”来判断（也应该优先考虑），但不意味着只能用“HL”来判断，直角三角形虽然是特殊三角形，但是本质上依然是三角形，所以适用于所有三角形的前面4种方法依然适用于直角三角形！三、如何由已知条件寻找所需条件已知条件可判定方法寻找条件两边对应相等(SS)SSS或SAS第三边或两边的夹角对应相等角的另一边对应相等或边的另一邻角对一边及其邻角对应相等(SA)SAS、ASA、AAS应相等或边的对角相等一边及其对角对应相等(SA)AAS另一个角对应相等两角对应相等(AA)ASA、AAS两角的夹边或其中一角的对边对应相等四、隐含条件1、对顶角一定是对应角；2、公共角一定是对应角；3、直角一定是对应角；4、公共边一定是对应边.真题精炼1、（17-18学年汇文月考）如图，沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，若∠B=58°，则∠CAD=度．2、（17-18学年求真月考）如图所示，由∠D=∠C，∠BAD=∠ABC推得△ABD≌△BAC，所用的判定定理的简称是（）A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS3、（17-18学年汇文月考）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件．4、（17-18学年南师江宁月考）如图，12∠=∠，要使ABD△，需添加的一个条件△≌ACD是__________（只添一个条件即可）．5、（17-18学年汇文月考）如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BE=CF，AF=DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．6、（17-18学年鼓楼区期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用SAS证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是（）A.∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF7、（17-18学年求真月考）如图，已知AB=AC，AD=AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（）A．BD=CE B．∠ABD=∠ACEC．∠BAD=∠CAE D．∠BAC=∠DAE8、（17-18学年汇文月考）下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边9、（17-18学年栖霞区期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8，D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°10、（16-17学年钟英期末）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个11、（17-18学年南师江宁月考）在下列各组条件中，不能说明ABC △≌DEF △的是（）．A ．AB DE =，B E ∠=∠，C F ∠=∠B ．AC DF =，BC EF =，AD ∠=∠C ．AB DE =，A D ∠=∠，B E∠=∠D ．AB DE =，BC EF =，AC DF=12、（16-17学年致远期中）如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第__________块去配，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是__________．可以用字母简写）13、（17-18学年溧水区期末）如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL14、（17-18学年南师江宁月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出A O B AOB '''∠=∠的依据是（）．A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS15、（17-18学年汇文月考）如图，点A 、E 、F 、D 在同一直线上，若AB ∥CD ，AB =CD ，AE =FD ，则图中的全等三角形有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对16、（17-18学年联合体期末）如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（）A、1组B、2组C、3组D、4组17、（16-17学年南外期中）以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个18、（17-18学年汇文月考）如图，在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC 交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是；（填序号）19、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE 的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm20、（17-18学年栖霞区期中）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：①AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1；②AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠D =∠D 1；③AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1，∠D =∠D 1；④AB =A 1B 1，CD =C 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1．其中能判定四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1全等有（）个A ．1B ．2C ．3D ．421、（17-18学年求真月考）如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为4，则BE =（）A ．1B ．2C ．3D ．4AB C DA 1B 1C 1D122、（16-17学年致远期中）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．求证：ABC △≌ADE △．23、（17-18学年南师新城月考）已知：如图，AC =AE ，∠1=∠2，AB =AD ．求证：BC =DE ．24、（17-18学年建邺区期中）如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD ．求证BC ＝AD ．25、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ．（2）求证：AF 平分∠BAC ．BCDA26、（17-18学年汇文月考）（阅读理解题）如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC．（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；（2）小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD，再证明△ADB≌△AEC 得到AB=AC，然后利用等式的性质得到BE=CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；（3）要得到BE=CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．27、（16-17学年南外期中）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，BC B C ''=，B B '∠=，C C '∠=∠，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．下列四个条件：①A A '∠=∠；②D D '∠=∠；③''AD A D =；④CD C D ''=（1）其中，符合要求的条件是__________．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．全等三角形的判定真题精炼【答案】1、（17-18学年汇文月考）如图，沿直线AD 折叠，△ACD 与△ABD 重合，若∠B =58°，则∠CAD =32度．【解析】解：由题意得：∠B =∠C ，∠ADB =∠ADC =90°，∴∠CAD =90°﹣∠C =32°．故答案为：32．2、（17-18学年求真月考）如图所示，由∠D =∠C ，∠BAD =∠ABC 推得△ABD ≌△BAC ，所用的判定定理的简称是（A ）A ．AASB ．ASAC ．SASD ．SSS3、（17-18学年汇文月考）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL ”判定，还需要加条件AB=AC．【注意】此题绝对不可以写“BD=CD ”，因为要使用“HL ”，就必须要有“一条直角边、一条斜边”——题目中AD 作为公共边，同时也是“直角边”，所以要找的必须是“斜边”！4、（17-18学年南师江宁月考）如图，12∠=∠，要使ABD △≌ACD △，需添加的一个条件是__________（只添一个条件即可）．【答案】BD CD =（或B C ∠=∠，或BAD CAD ∠=∠）【解析】由12∠=∠易得ADC ADB ∠=∠，又知AD AD =，①可添加条件BD CD =⇒由SAS 判定全等；②可添加条件B C ∠=∠或BAD CAD ∠=∠⇒由AAS 判定全等．5、（17-18学年汇文月考）如图，已知B 、E 、F 、C 在同一直线上，BE =CF ，AF =DE ，则添加条件∠AFB =∠DEC 或AB =DC，可以判断△ABF ≌△DCE ．【解析】由BE =CF 易得BF=CE 已知两边——BF=CE 和AF =DE要想证明两个三角形全等，只需要再加一组对应边（SSS ）或一组对应角（SAS ，必须是夹角）！6、（17-18学年鼓楼区期末）如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，要用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，可以添加的条件是（C ）A.∠A ＝∠DB ．AC ∥DFC ．BE ＝CFD ．AC ＝DF【解析】∵AB //DE ∴∠ABC =∠DEF∴要想使用SAS 来证明△ABC ≌△DEF 就必须保证BC =EF但是题目的4个选项中却没有BC =EF ！但是，因为EC 是BC 、EF 的公共部分，所以只需要保证BE =CF 即可！7、（17-18学年求真月考）如图，已知AB=AC，AD=AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（B）A．BD=CE B．∠ABD=∠ACEC．∠BAD=∠CAE D．∠BAC=∠DAE【解析】已知“AB=AC，AD=AE”——已知两边，要想保证两个三角形全等 要么再找一条边，要么再找一个角（必须是夹角）！8、（17-18学年汇文月考）下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（C）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边【提示】用“两边一角”来判断时，必须是夹角！9、（17-18学年栖霞区期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（C）A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8，D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°10、（16-17学年钟英期末）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（C）A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】∵点A与l上的各点连线中，垂线段最短——AD=2（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），所以AC最小为2.11、（17-18学年南师江宁月考）在下列各组条件中，不能说明ABC △≌DEF △的是（B ）．A ．AB DE =，B E ∠=∠，C F ∠=∠B ．AC DF =，BC EF =，AD ∠=∠C ．AB DE =，A D ∠=∠，B E∠=∠D ．AB DE =，BC EF =，AC DF=【解析】A 、C 、D 分别为AAS ，ASA ，SSS ；B 为SSA 不可判定全等．12、（16-17学年致远期中）如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第__________块去配，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是__________．可以用字母简写）【答案】③，ASA【解析】因为第③块中有完整的两个角及其夹边，利用ASA 可证三角形全等，故应带第③块．13、（17-18学年溧水区期末）如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（A）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL14、（17-18学年南师江宁月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出A O B AOB '''∠=∠的依据是（D）．A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【解析】由作法易得OD O D ''=，OC O C ''=，CD C D ''=，依据SSS 可判定COD △≌C O D '''△，再由全等三角形对应角相等得到COD C O D '''∠=∠，即AOB A O B '''∠=∠．15、（17-18学年汇文月考）如图，点A、E、F、D在同一直线上，若AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有（C）A．1对B．2对C．3对D．4对16、（17-18学年联合体期末）如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（C）A、1组B、2组C、3组D、4组【解析】此题的难度不在于会不会判断，而是能不能快速找全4种组合情况.从4个条件中选3个条件出来，如何才能保证把所有情况都找全——“任选三个条件”的另一层含义也就是“任意不选1个条件”：①不选AB＝DE⇒选BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F⇒ASA②不选BC＝EF⇒选AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F⇒AAS③不选∠B＝∠E⇒选AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F⇒角不是夹角，错！④不选∠C＝∠F⇒选AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E⇒SAS17、（16-17学年南外期中）以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（B）．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】务必注意“高”的特殊性——高可以在三角形内部、可以在三角形边上也可以在三角形外部！①错误，反例（要否定一个命题，只需要举出一个反例）如下：AC=A’C’，BC=B’C’，AD=A’D’②错误，反例如下：AB=A’B’，AC=A’C’，AD=A’D’③④是正确的.18、（17-18学年汇文月考）如图，在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC 交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是①②③；（填序号）【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∠O为公共角，∴△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，又∠APC=∠BPD，∴∠ACP=∠BDP，OA﹣OC=OB﹣OD，即AC=BD，∴△APC≌△BPD，∴AP =BP ，连接OP ，即可得△AOP ≌△BOP ，得出∠AOP =∠BOP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上．故题中结论都正确．故答案为：①②③．19、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AC =8cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（C）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【解析】∵AD ⊥BC ∴∠ADB =90°∵∠ABC =45°∴∠BAD =∠ABC =45°∴AD =BD在Rt △ADC 中，∠DAC +∠C =90°在Rt △BEC 中，∠DBF +∠C =90°∴∠DAC =∠DBF 在△FBD 和△CAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠AD BD CDA FDB CAD FBD 90∴△FBD ≌△CAD （AAS ）∴BF =AC =8cm20、（17-18学年栖霞区期中）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：①AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1；②AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠D =∠D 1；③AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1，∠D =∠D 1；④AB =A 1B 1，CD =C 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1．其中能判定四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1全等有（C）个A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】（1）除三角形之外，其他多边形要想全等，就必须同时满足“所有的边对应相等和所有的角对应相等”；（2）题目给的4组条件，看似给的都是3组对应角相等，但是根据四边形内角和为360°，所以其实告诉的是4组对应角相等，所以我们只需要再保证4组对应边对应相等即可；（3）我们在课本上只学习了三角形全等的判定条件，没有学习四边形全等的判定条件——这其实意味着我们要想办法把四边形“转化”为我们熟悉的三角形！怎么办？连接对角线，分别证明对角线两侧的两组三角形对应全等即可！（4）能够保证两个四边形全等是①②③.21、（17-18学年求真月考）如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为4，则BE =（B）A ．1B ．2C ．3D ．4AB C DA 1B 1C 1D1【解析】解：如图，过B 点作BF ⊥CD ，与DC 的延长线交于F 点，∵∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD ，∴四边形EDFB 是矩形，∠EBF =90°，∴∠ABE =∠CBF ，∵在△BCF 和△BAE中，∴△BCF ≌△BAE （ASA ），∴BE =BF ，∴四边形EDFB 是正方形，∴S 四边形ABCD =S 正方形BEDF =4，∴BE ==2．22、（16-17学年致远期中）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．求证：ABC △≌ADE △．【答案】见解析【解析】证明：∵BAE DAC ∠=∠，∴BAE CAE DAC CAE ∠-∠=∠-∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC △和ADE △中，BAC DAE C EAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌(AAS)ADE △．23、（17-18学年南师新城月考）已知：如图，AC =AE ，∠1=∠2，AB =AD ．求证：BC =DE ．【解析】∵∠1=∠2∴∠1+∠EAB =∠2+∠EAB ，即∠CAB =∠EAD在△CAB 和△EAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BA EAD CAB EA CA △CAB ≌△EAD （SAS ）∴BC =DE24、（17-18学年建邺区期中）如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD ．求证BC ＝AD ．【证明】∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠C ＝∠D ＝90°．在Rt △ABC 和Rt △BAD中，＝BA ，＝BD ．∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )．∴BC ＝AD ．B CD A25、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于F．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：AF平分∠BAC．【解析】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）．（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE=AD，在Rt△AEF和Rt△ADF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴∠EAF=∠DAF，∴AF平分∠BAC．26、（17-18学年汇文月考）（阅读理解题）如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC．（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；（2）小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD，再证明△ADB≌△AEC 得到AB=AC，然后利用等式的性质得到BE=CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；（3）要得到BE=CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．【解析】解：（1）图中有4对全等三角形，有△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，△EOB≌△DOC．（2）正确，理由是：∵AO平分∠BAC，∴∠EAO=∠DAO，∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEO=∠ADO=90°，∴在△AEO和△ADO中∴△AEO≌△ADO（AAS），∴AE=AD，在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（ASA），∴AB=AC，∵AE=AD，∴BE=CD．（3）有，理由是：∵AO 平分∠BAC ，OE ⊥AB ，OD ⊥AC ，∴OE =OD ，∠BEO =∠CDO =90°，在△BEO 和△CDO中∴△BEO ≌△CDO （ASA ），∴BE =CD ．27、（16-17学年南外期中）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，BC B C ''=，B B '∠=，C C '∠=∠，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．下列四个条件：①A A '∠=∠；②D D '∠=∠；③''AD A D =；④CD C D ''=（1）其中，符合要求的条件是__________．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．【解析】（1）①②④（2）选④证明：连接AC 、A C ''，在ABC △和A B C '''△中，AB A B B B BC B C ⎧''=⎪⎪'∠=∠⎨⎪''=⎪⎩，∴ABC △≌(SAS)A B C '''△，∴AC A C ''=，ACB A C B '''∠=∠，∵BCD B C D '''∠=∠，∴BCD ACB B C D A C B ''''''∠-∠=∠-∠，∴ACD A C D '''∠=∠．在ACD △和A C D '''△中，AC A C ACD A C D CD C D ⎧''=⎪⎪'''∠=∠⎨⎪''=⎪⎩，∴ACD △≌A C D '''△，∴D D '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，DA D A ''=，∴BAC DAC B A C D A C ''''''∠+∠=∠+∠，即BAD B A D '''∠=∠，∴四边形ABCD 和四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，BC B C ''=，AD A D ''=，DC D C ''=，B B '∠=∠，BCD B C D '''∠=∠，D D '∠=∠，BAD B A D '''∠=∠，∴四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．。
三角形全等的判定方法
三角形全等的判定方法——SSA——探究SSA 三角形全等的判定方法的可行情况通过学习三角形全等，我们可以知道，三角形全等的判定方法只有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”四种，“SSA ”的判定方法是不可行的，但是在某些情况下，“SSA ”是成立的，下面开始分类讨论。
一、直角三角形的SSA 全等判定有一个特殊的名字——“HL ”定理1、定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2、定理证明HL 定理可以用勾股定理证明如图，已知Rt △ABC 与Rt △DEF, ∠B=∠E=90°，AC=DF,AB=DE在Rt△ABC 中，BC=， 在Rt△DEF 中，EF=，∵AC=DF，AB=DE.∴BC=EF在△ABC 与△DEF 中 ∵∴△ABC≌△DEF（SSS ）这样HL 定理成立了，我们在后续证明中需要运用到HL 定理。
A B C D E F那么，当两个三角形都为锐角三角形时，SSA 成立吗锐角三角形有三种情况，但三种情况都是相同的，所以在这里只选择一种证明。
二、锐角三角形如图，已知锐角△ABC 与锐角三角形DEF 中，∠A=∠D ，AB=DE,BC=EF证明△ABC ≌△DEF作AG ⊥BC,EH ⊥DF∵AG ⊥BC,EH ⊥DF∴∠AGB=∠EHD=90°在△ABG 与△DEH 中 ∵∴△ABG ≌△DEH （AAS ）∴BG=EH （全等三角形对应边相等）在Rt △BGC 与Rt △EHF 中BC=EFBG=EH∴△BGC ≌△EHF(HL)∴∠C=∠F （全等三角形对应角相等）在△ABC 与△DEF 中 A B CD EFG H ∵∵∴△ABC ≌△DEF （AAS ）通过上述证明，我们可以知道，在两三角形都为锐角三角形的情况下，SSA 成立。
那么问题来了，在直角、锐角三角形中都成立的SSA 证明方法在钝角三角形中会不会成立呢因为钝角三角形有三条高，且位置各不相同，所以需要分类讨论。
全等三角形判定ASA和AAS经典实用
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可 以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一 样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适? 你能说明其中理由吗?
利用“角怎边么角办？定可理以”帮帮可知,带B
A
块去，可以配我到吗？一个与原来全
等的三角形玻璃。
B
•全等三角形判定(ASA和AAS)
CF
E
“AAS”）。
•全等三角形判定(ASA和AAS)
知识要点： (1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
复习回顾：
我们前面学习了哪几种判定三角形全等的方法 SSS SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等．（SAS）
•全等三角形判定(ASA和AAS)
继续探讨三角形全等的条件： 两角一边
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角
与这条边的位置上有几种可能性呢？
A
B 图1
C
在图1中， 边AB是∠A与∠B 的夹边，我们称这种位置关系
D
E
∠A= ∠A （公共角）
O
AE=AD （已知）
B
C ∴ △ABE ≌△ACD（AAS）
∴ BE=CD （全等三角形对应边相等）
•全等三角形判定(ASA和AAS)
例2. 如图,O是AB的中点，A= B， AOC与 BOD全等吗? 为什么？
C
两角和夹
边对应相
A
等
O
(完整版)精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA D例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8，AE=AD ，则ABE ∆ACD ∆，所以=∠AEB，D 第3题图第4题图第5题图B第6题图第8题图 第9题题图=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 、互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ）A 、7cmB 、5cmC 、8cmD 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CDAEAD CAB CDEAF6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠FE全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DEAB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
人教版初二数学上册：全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】【高清课堂：379109 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】 要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一）同步练习4】1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）． 即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、（2016•泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CE=CD ，BC=AC ，∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ECB=∠DCA ，在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量. 举一反三： 【变式】（2014•房县三模）如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．求证：△ACD ≌△BCE ．【答案】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ，∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ACD=∠ECD ，∠BCE=∠ECD ， ∴∠ACD=∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案与解析】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2014秋•兰州期末）如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．【思路点拨】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC.要证明角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．【答案与解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ADC=∠BDC，即DC为∠ADB的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决．举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？【答案】证明：在△OPE与△OPD中∵OE OD OP OP PE PD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OPE≌△OPD （SSS）∴∠EOP＝∠DOP(全等三角形对应角相等)∴ OP平分∠AOB.附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
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1 / 17全等三角形（一）ＳSS【知识要点】1。
全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2.全等图形的性质：（１）全等图形的形状和大小都相同,对应边相等，对应角相等 (2)全等图形的面积相等３。
全等三角形:两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(１）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于" 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3)两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角． (４）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4.全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边"或“SSS"．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===AC BCAB ABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ,且︒=∠20B ，1=∆ABC S ,求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积.例2．如图,ABC ∆≌DEF∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及ＣF 的长。
例3．如图,已知:AB=ＡD,ＡC=AE ，ＢC=ＤE,求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF,求证：（１)ABC ∆≌DEF ∆ (２)ＡＢ//D Ｅ，BC/／EFﻬ例5.如图,在,90︒=∠∆C ABC 中D 、Ｅ分别为AC ＤＥ＝DC ，求证：（１)AB DE ⊥；(2)ＢD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）A DD2 / 17【巩固练习】１．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等,则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ )Ａ、①④ B 、①② C 、②③ Ｄ、③④ 2．如图,ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和ＣD 是对应边,下面四个结论中 不正确的是（ ）Ａ、CDB ABD ∆∆和的面积相等 Ｂ、CDB ABD ∆∆和的周长相等 C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ Ｄ、A Ｄ//B Ｃ且AD ＝B Ｃ3.如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及Ｃ和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ,则BAD ∠的度数为( )A 、︒85B 、︒35C 、︒60 Ｄ、︒804.如图，ABC ∆≌DEF ∆,A Ｄ=8,ＢE=２，则ＡＥ等于（ )A 、６ Ｂ、5 C 、４ D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是( ） Ａ、ＡC=BC,AD=CE ，BD ＝B Ｅ B 、AD=ＢD,ＡC=C Ｅ，BE=ＢＤ C 、ＤC=EC ，A Ｃ=BC ，BE ＝AD D 、A Ｄ=BE ，ＡC ＝ＤC ，BC=EC6．如图,ABE ∆≌DCF ∆,点A 和点Ｄ、点E 和点F 分别是对应点,则ＡB ＝ ,=∠A ,ＡE= ,ＣＥ= ，AB ／/ ，若BC AE ⊥,则DF 与BC 的关系是 . ７.如图，ABC∆≌AED∆,若︒=∠︒=∠EAB B ,30,40=． ８.如图,若A Ｂ=ＡC,BE=CD,AE=AD,则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD 。
９.如图,ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ,则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠Ｃ、互余与E A ∠∠ Ｄ、互余与D B ∠∠第3题图B第7题图第8题图3 / 1710．如图,ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及ＢC 的长.11．如图,在ABD ABC ∆∆与中，A Ｃ=B Ｄ，ＡD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一)作业1.如图，ABC ∆≌CDA ∆，ＡＣ=７ｃｍ，A Ｂ=5cm 。
,则AD 的长是（ ） A 、7c ｍ B 、5cm Ｃ、8ｃｍ Ｄ、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ,点B 、Ｃ、E 在同一直线上,则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48 Ｂ、︒38 C 、︒110 D 、︒623．如图,ABC ∆≌DEF ∆，AF=2ｃm,CF ＝5ｃm ，则AD= ．4.如图，ABE ∆≌ACD ∆,︒=∠︒=∠25,100B A ,求BDC ∠的度数。
5．如图，已知，AB=DE ，BC=ＥF ，AF ＝CD ，求证:ＡB//CDAEAD CAB CDEACDF4 / 176。
如图,已知ＡB=EF ，B Ｃ=DE ，ＡＤ=CF ，求证:①ABC ∆≌FED ∆②AB//ＥF7。
如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=D Ｅ，求证：CAE BAD ∠=∠FE0 / 17 全等三角形(二)【知识要点】定义：SA Ｓ两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“ＳAS ”，几何表示如图,在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DEAB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图,A Ｂ=AC,AD=ＡＥ，求证:B Ｅ=CD ．【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，ＡＤ＝ＡＥ，∠1=∠2,由此你能得出哪些结论？给出证明．【例3】 如图已知：ＡE=AF ，AB ＝A Ｃ，∠A=6０°,∠B=2４°,求∠BO Ｅ的度数．【例4】 如图,Ｂ，Ｃ,Ｄ在同一条直线上,△ABC,△ADE 是等边三角形， 求证：①C Ｅ＝A Ｃ＋D Ｃ； ②∠EC Ｄ=6０°。
【例5】如图，已知△AB Ｃ、△ＢDE 均为等边三角形。
求证:B Ｄ+CD=A Ｄ。
C AD B EC ABCE1 / 17【巩固练习】1.在△ＡBC 和△C B A '''中,若A Ｂ=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A ''',那么你加的条件是( ）A ．∠A ＝∠A ' Ｂ．∠B=∠B 'C 。
∠Ｃ=∠C ' Ｄ．∠A ＝∠B '2．下列各组条件中，能判断△A ＢＣ≌△DE Ｆ的是（ )A.AB ＝DE ，ＢC ＝EF ；ＣA=ＣＤB.CA=ＣD;∠C ＝∠Ｆ；A Ｃ=ＥF C ．ＣA=CD;∠B ＝∠E D 。
A Ｂ=DE ；B Ｃ=EF ，两个三角形周长相等 ３。
阅读理解题:如图：已知AC ，ＢD 相交于O,OA=OB ，OC ＝OD.那么△AOD 与△BOC 全等吗?请说明理由．△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由．小明的解答：ﻩ1∠=∠≌△BOC而△ＢAD=△AOD+△AD Ｂﻩ△AB Ｃ=△ＢOC+ 所以△ＡB Ｃ≌△B ＡＤ (1)你认为小明的解答有无错误；（2)如有错误给出正确解答；4。
如图，点C 是A Ｂ中点，C Ｄ∥BE ，且ＣＤ=BE ，试探究AD 与CE 的关系.5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠A Ｂ=AC(1）若D 是ＡE 上任意一点,则△AB Ｄ≌△ＡCD,说明理由。
(2)若D 是ＡE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由. 6。
如图，已知ＡB ＝AC ，EB=EC,请说明ＢD ＝CD 的理由 ﻬ全等三角形（二）作业DOA=OB OD=OC2 / 171.如图,已知AB ＝ＡC,ＡD=AE ，BF=CF ，求证:BDF ∆≌CEF ∆。
2。
如图，△A ＢＣ，△ＢDF 为等腰直角三角形.求证：（1)CF=ＡD;（2)CE ⊥AD 。
3.如图,AB=AC ，AD=ＡＥ，ＢE 和ＣＤ相交于点O,AO 的延长线交BC 于点F 。
求证：BF=FC 。
4.已知：如图1，AD ∥BC ，A Ｅ=C Ｆ，AD=BC,Ｅ、F 在直线A Ｃ上，求证:DE ∥BF 。
5。
如图，已知ＡB ⊥A Ｃ，AD ⊥ＡE,ＡB=ＡC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC,(2)BE ⊥DC 。
6、已知，如图Ａ、F 、Ｃ、Ｄ四点在一直线上，ＡＦ=C Ｄ,AB//DE ，且A Ｂ＝DE,求证:（1）△ABC ≌△DEF (2)∠ＣB Ｆ=∠FE Ｃﻬ7、 已知:如图，ＡB ＝AC,A Ｄ=AE,∠BA Ｃ=∠DAE 。
求证:BD=C Ｅ8、如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ＥCGF 的边C Ｅ上，连接ＢE 、DG,（1）观察猜想BE 与D Ｇ之间的大小关系，并证明你的结论. (2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在,请说出旋转过程，AB CE D FA C BDE FAD E C B F O 12D C FD A BQCPE3 / 17若不存在，说明理由。
9、已知:如图,ＡD 是BC 上的中线 ,且ＤＦ=DE.求证:B Ｅ∥CF ．10、已知Ｃ为ＡB 上一点,△A ＣＮ和 △BCM 是正三角形.求证：（1）ＡM ＝BN （2）求∠A ＦN 大小。
１1、已知如图，Ｆ在正方形ABCD 的边BC 边上,E 在AB 的延长线上，FB=EB ，AF 交CE 于G ，求∠ＡGC 的度数．12、 如图,△AB Ｃ是等腰直角三角形，其中C Ａ=C Ｂ，四边形ＣDE Ｆ是正方形,连接AF 、ＢD 。
(1）观察图形，猜想AF 与ＢD 之间有怎样的关系,并证明你的猜想；（2)若将正方形C ＤＥＦ绕点Ｃ按顺时针方向旋转,使正方形C ＤＥF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母，题(1）中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论,不必证明；若不成立，请说明理由.CN M B A ED F FDAC EBFDAC GEB0 / 17全等三角形（三）ＡSA【知识要点】A ＳA 公理:如图，在ABC ∆与DEF ∆中EB DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆ＡSA 公理推论(AAS 公理)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC ∆和'''C B A ∆全等的条件是（ ） A 、 ＡB=Ａ'B '，'A A ∠=∠,'C C ∠=∠B 、 ＡB= A 'Ｂ',AC=Ａ'C '，BC='B C 'C 、 ＡB= A 'Ｂ'，AC ＝A 'C '，'B B ∠=∠ D 、 A Ｂ= A 'B '，'A A ∠=∠，'B B ∠=∠ 【例2】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠,求证：BC=EF【例３】如图，ＡB ＝A Ｃ,C B ∠=∠,求证：A Ｄ=A Ｅ【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠,点P 在ＡB 上,可以得出PC ＝ＰD 吗？试证明之．【例５】如图，321∠=∠=∠，AC=ＡE,求证：DE=B ＣAD A B1 / 17【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ,ＡC,ＢD 相交于O, 求证:①AB ＝CD ②ＯA ＝OD【巩固练习】 １。