苏教版因式分解典型例题
苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案)
苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案)1 / 9七下9.5公式法因式分解训练一、选择题1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A. (3−x)(3+x)=9−x 2B. (y +1)(y −3)=(3−y)(y +1)C. 4yz −2y 2z +z =2y(2z −zy)+zD. −8x 2+8x −2=−2(2x −1)22. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A. x 2-1B. x 2+2x -1C. x 2+x +1D. 4x 2+4x +13. 当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差(2n +1)2−(2n −1)2能被( )整除．A. 6B. 8C. 12．D. 154. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有( )①x 2+2x +1；②4a 2−4a −1；③m 2+m +14；④4m 2+2mn +n 2；⑤1+16y 2． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 分解因式x 4−1的结果为( )A. (x 2−1)(x 2+1)B. (x +1)2(x −1)2C. (x −1)(x +1)(x 2+1)D. (x −1)(x +1)36. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a +b +c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a −b)2；②ab +bc +ca ；③a 2b +b 2c +c 2a.其中是完全对称式的是( )A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①②7. 如果代数式x 2+kx +49能分解成(x −7)2形式，那么k 的值为( )A. 7B. −14C. ±7D. ±148. 已知a =2002x +2003，b =2002x +2004，c =2002x +2005，则多项式a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题 9. 若x −1是x 2−5x +c 的一个因式，则c = ______ ．10. 若已知x +y =5，x 2−y 2=5，则x −y = ______ ．11. 分解因式：a 3−2a 2+a =______．12.如果a2+ma+14=(a−12)2，那么m=______ ．13.若a+b=4，a−b=1，则(a+1)2−(b−1)2的值为______．14.如图，根据这个拼图写出一个有关因式分解的等式________．三、计算题15.因式分解：(1)(x2−x)2−(x−1)2(2)−27a4+18a3−3a2(3)2a(x2+1)2−8ax2(4)25(a+b)2−9(a−b)2四、解答题16.已知x2+y2−4x+6y+13=0，求x2−6xy+9y2的值．17.下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程．解：设x2−4x=y原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2−4x+4)2(第四步)请问：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______A.提取公因式法B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案) 3 / 918. 观察下列各式．①4×1×2+1=(1+2)2；②4×2×3+1=(2+3)2；③4×3×4+1=(3+4)2…(1)根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？(2)试猜想第n 个等式，并通过计算验证它是否成立．(3)利用前面的规律，将4(12x 2+x)(12x 2+x +1)+1因式分解．19. (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：x 2+4x +4=________，16x 2+24x +9=________，9x 2−12x +4=________；(2)观察以下三个多项式的系数，有42=4×1×4，242=4×16×9，(−12)2=4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax 2+bx +c(a >0)是完全平方式，则实数系数a ，b ，c 一定存在某种关系．①请你用数学式子表示a ，b ，c 之间的关系；②解决问题：若多项式x 2−2(m −3)x +(10−6m)是一个完全平方式，求m 的值．20. 仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式x 2−4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为x +n ，得x 2−4x +m =(x +3)(x +n)．则x 2−4x +m =x 2+(n +3)x +3n ，所以{n +3=−43n =m解得n =−7，m =−21． 所以另一个因式为x −7，m 的值为−21．问题：(1)若二次三项式x 2−5x +6可分解为(x −2)(x +a)，则a =________；(2)若二次三项式2x 2+bx −5可分解为(2x −1)(x +5)，则b =________；(3)仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x 2+3x −k 有一个因式是2x −5，求另一个因式以及k 的值．苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案)5 / 9答案和解析1.D解：A.(3−x)(3+x)=9−x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B .(y +1)(y −3)≠(3−y)(y +1)，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C .4yz −2y 2z +z =2y(2z −zy)+z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D .−8x 2+8x −2=−2(2x −1)2，正确．2.D解：4x 2+4x +1=(2x +1)2，故D 符合题意；3.B解：(2n +1)2−(2n −1)2=(2n +1+2n −1)(2n +1−2n +1)=8n ，由n 为正整数，得到(2n +1)2−(2n −1)2能被8整除，4.A解：①x 2+2x +1=(x +1)2，能；②4a 2−4a −1，不能；③m 2+m +14=(m +12)2，能； ④4m 2+2mn +n 2，不能；⑤1+16y 2，不能，则能用完全平方公式分解因式的有2个，5.C解：x 4−1=(x 2−1)(x 2+1)=(x +1)(x −1)(x 2+1)．6.D解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式， 则：①(a −b)2=(b −a)2；是完全对对称式．故此选项正确．②将代数式ab +bc +ca 中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab +bc +ca 是完全对称式，ab +bc +ca 中ab 对调后ba +ac +cb ，bc 对调后ac +cb +ba ，ac 对调后cb +ba +ac ，都与原式一样，故此选项正确；③a2b+b2c+c2a若只ab对调后b2a+a2c+c2b与原式不同，只在特殊情况下(ab相同时)才会与原式的值一样∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2.故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故此选项错误，所以①②是③不是7.B解：∵x2+kx+49=(x−7)2，∴k=−14，8.D解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，∴a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，∴a2+b2+c2−ab−bc−ca=1(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)，2[(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+c2)]，=12[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]，=12×(1+1+4)，=12=3．9.4解：根据题意，设另一因式为x+a，则(x−1)(x+a)=x2+(a−1)x−a=x2−5x+c，∴a−1=−5，c=−a，解得a=−4，c=4．10.1解：∵x+y=5，x2−y2=5，∴(x+y)(x−y)=5，∴x−y=1．11.a(a−1)2苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案) 7 / 9解：a 3−2a 2+a=a(a 2−2a +1)=a(a −1)2．12.−1解：∵a 2+ma +14=(a −12)2=a 2−a +14，∴m =−1．13.12解：∵a +b =4，a −b =1，∴(a +1)2−(b −1)2=(a +1+b −1)(a +1−b +1)=(a +b)(a −b +2)=4×(1+2)=12．14.2a 2+3ab +b 2=(2a +b )(a +b )解：长方形面积，(2a +b )(a +b )拼图面积，2a 2+3ab +b 2，∴2a 2+3ab +b 2=(2a +b )(a +b )．15.解：(1)原式=(x 2−x −x +1)(x 2−x +x −1)=(x 2−2x +1)(x 2−1)=(x −1)2(x +1)(x −1)=(x −1)3(x +1)；(2)原式=−3a 2(9a 2−6a +1)=−3a 2(3a −1)2；(3)原式=2a[(x 2+1)2−4x 2]=2a(x 2−2x +1)(x 2+2x +1)=2a(x −1)2(x +1)2；(4)原式=[5(a +b )+3(a −b )][5(a +b )−3(a −b )]=(8a +2b)(2a +8b)= 4(4a +b)(a +4b)．16.解：∵x 2+y 2−4x +6y +13=(x −2)2+(y +3)2=0，∴x −2=0，y +3=0，即x =2，y =−3，则原式=(x−3y)2=112=121．17.解：(1)C；(2)不彻底；(x−2)4；(3)原式=(x2−2x)2+2(x2−2x)+1=(x2−2x+1)2=(x−1)4．解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，(2)该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为(x−2)4；故答案为不彻底；(x−2)4；18.解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1=(2016+2017)2= 40332；(2)猜想第n个等式为4n(n+1)+1=(2n+1)2，理由如下：∵左边=4n(n+1)+1=4n2+4n+1，右边=(2n+1)2=4n2+4n+1，∴左边=右边，∴4n(n+1)+1=(2n+1)2；(3)利用前面的规律，可知4(12x2+x)(12x2+x+1)+1=(12x2+x+12x2+x+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4．19.解(1)(x+2)2，(4x+3)2，(3x−2)2；(2)①b2=4ac；②∵多项式x2−2(m−3)x+(10−6m)是一个完全平方式，∴[−2(m−3)]2=4×1×(10−6m)，m2−6m+9=10−6mm2=1m=±1．(1)x2+4x+4=(x+2)2，16x2+24x+9=(4x+3)2，9x2−12x+4=(3x−2)2，故答案为：(x+2)2，(4x+3)2，(3x−2)2；20.解：(1)−3；(2)9；(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x−k=(2x−5)(x+n)=2x2+(2n−5)x−5n，苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解公式法因式分解训练(有答案)则2n−5=3，k=5n，解得：n=4，k=20，故另一个因式为(x+4)，k的值为20．解：(1)∵(x−2)(x+a)=x2+(a−2)x−2a=x2−5x+6，∴a−2=−5，解得：a=−3，故答案为−3．(2)∵(2x−1)(x+5)=2x2+9x−5=2x2+bx−5，∴b=9，故答案为9．9/ 9。
苏科版数学七年级 下册 9.5多项式的因式分解训练(有答案)
七七9.5七七七七七七七七七七姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.下列式子从左到右的变形是分解因式的是()A. 12a2b=3a·4abB. −a2−3ab−b2=−(a+b)2−ab) D. 4x2+4x+1=(2x+1)2C. x−1=x(1−1x2.已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为()A. 12B. −12C. −24D. 243.下列因式分解，错误的是()A. x2+7x+10=(x+2)(x+5)B. x2−2x−8=(x−4)(x+2)C. y2−7y+12=(y−3)(y−4)D. y2+7y−18=(y−6)(y+3)4.长为a，宽为b的长方形的周长为22，面积为24，则a2b+ab2−2a−2b的值为()A. 66B. 121C. 242D. 3695.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(x−2)的是()A. x2−4B. x2−4x+4C. x2+2x+1D. x2−2x6.下列四个多项式：①−a2+b2；②−x2−y2；③1−(a−1)2；④m2−2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有()A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③7.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x−y，a−b，2，x2−y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a(x2−y2)−2b(x2−y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()A. 爱我中华B. 我游中华C. 中华美D. 我爱美二、填空题8.将乘法公式(a+b)2=_________，(a−b)2=___________反过来，a2+2ab+b2=__________，a2−2ab+b2=______.可以运用这两个完全平方公式将某些多项式分解因式，这种方法叫做运用完全平方公式法.其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数__________的平方．9.分解因式：y 3−9y=．10.当x=1，y=−1时，代数式x2+2xy+y2的值是______．311.若m=3n−2，则m2−6mn+9n2的值是______．=_______12.已知x2−5x+1=0，则x2+1x213.多项式m2−n2和am−am的公因式是______．14.若关于x的多项式x2−mx+n能因式分解为：(x−2)(x+3)，则m+n=______15.根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解．三、解答题16.将下列各式分解因式：(1)2x2−4xy(2)y3−4y2+4y(3)x2(y2−1)+(1−y2)17.在对二次三项式x2+px+q进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为(x−2)(x−8)，乙同学因看错了常数项而将其分解为(x+2)(x−10)，试将此多项式进行正确的因式分解．18.已知a、b、c分别是△ABC的三边．(1)分别将多项式a2c2−b2c2，a4−b4进行因式分解；(2)若a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．19.若a=2005，b=2006，c=2007，求a2+b2+c2−ab−bc−ac的值．20.阅读下面的问题，然后回答：分解因式：x2+2x−3．解：原式=x2+2x+1−1−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−22=(x+1+2)(x+1−2)．上述因式分解的方法称为配方法，请体会配方法的特点，用配方法分解因式(1)x2−4x+3；(2)4x2+12x−7．21.阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0，∴(m−n)2+(n−4)2=0，∴(m−n)2=0，(n−4)2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+4y+4=0，求2x−y的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2−6a−8b+25=0，c是整数且为奇数，求△ABC的周长．22.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)·(x2+ y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x−y)=0，(x+y)=18，x2+y2= 162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3−xy2，取x=10，y=10时，请你写出用上述方法产生的密码．23.阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2−4y2−2x+4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2−4y2−2x+4y=(x2−4y2)−(2x−4y)=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2)这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式x2−2xy+y2−25；(2)△ABC三边a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状．答案和解析D解：A.不是把多项式化成整式积的形式，故本选项错误；B.不是把多项式化成整式积的形式，故本选项错误；C.不是把多项式化成整式积的形式，故本选项错误；D.运用完全平方公式分解成几个整式的积的形式，故本选项正确．2.D解：∵x+y=6，xy=4，∴x2y+xy2=xy(x+y)=4×6=24．3.D解：A.x2+7x+10=(x+2)(x+5)，故此选项正确；B.x2−2x−8=(x−4)(x+2)，故此选项正确；C.y2−7y+12=(y−3)(y−4)，故此选项正确；D.y2+7y−18=(y+9)(y−2)，故此选项错误．4.C解：因为长方形的周长为22，面积为24，所以2(a+b)=22，a×b=24，解得a=8，b=3，所以a2b+ab2−2a−2b=ab(a+b)−2(a+b)=(ab−2)(a+b)=242.5.C解：A、原式=(x+2)(x−2)，不符合题意；B、原式=(x−2)2，不符合题意；C、原式=(x+1)2，符合题意；D、原式=x(x−2)，不符合题意，6.B解：①−a2+b2；③1−(a−1)2；符合公式特点；②−x2−y2④m2−2mn+n2，不符合公式特点．7.A解：2a(x2−y2)−2b(x2−y2)=2(x2−y2)(a−b)=2(x+y)(x−y)(a−b)，信息中的汉字有：华、我、爱、中．所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．8.a2+2ab+b2a2−2ab+b2(a+b)2(a−b)2 和或差解：将乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2反过来，a2+2ab+ b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2 .可以运用这两个完全平方公式将某些多项式分解因式，这种方法叫做运用完全平方公式法.其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数 和或差的平方，9.y(y+3)(y−3)解：y³−9y=y(y²−9)=y(y+3)(y−3)．10.49【解析】解：当x=1，y=−1时，3x2+2xy+y2=(x+y)2)2=(1−13)2=(23=4911.4解：∵m=3n−2，即m−3n=−2，∴原式=(m−3n)2=(−2)2=4，12.23解：方程x2−5x+1=0两边同时除以x解得：x−5+1x=0，则x+1x=5，两边平方得：x2+2+1x2=25，则x2+1x2=23．13.m−n解：多项式m2−n2和am−am的公因式是m−n，14.−7解：∵多项式x2−mx+n能因式分解为(x−2)(x+3)，∴x2−mx+n=x2+x−6，∴m=−1，n=−6，∴m+n=−1−6=−7．15.2ab(5a+3b)；(2x+y)(x−y)；(y+3z)(y−3z)；(mn−a)2解：∵2ab(5a+3b)=10a2b+6ab2，∴10a2b+6ab2=2ab(5a+3b)；∵(2x+y)(x−y)=2x2−xy−y2,∴2x2−xy−y2=(2x+y)(x−y)；∵(y+3z)(y−3z)=y2−9z2，∴y2−9z2=(y+3z)(y−3z)；∵(mn−a)2=m2n2−2amn+a2，∴m2n2−2amn+a2=(mn−a)2．16.解：(1)原式=2x(x−2y)；(2)原式=y(y2−4y+4)=y(y−2)2；=(y+1)(y−1)(x+1)(x−1)．17.解：甲同学分解的多项式为：(x−2)(x−8)=x2−10x+16，乙同学分解的多项式为：(x+2)(x−10)=x2−8x−20，∵甲看错一次项系数，乙看错常数项，∴原多项式为x2−8x+16，将它分解因式，得x2−8x+16=(x−4)2．18.解：(1)a2c2−b2c2=c2(a2−b2)=c2(a+b)(a−b)；a4−b4=(a2−b2)(a2+b2)=(a−b)(a+b)(a2+b2)；(2)∵a2c2−b2c2=a4−b4，∴c2(a+b)(a−b)=(a−b)(a+b)(a2+b2)；∴c2(a+b)(a−b)−(a−b)(a+b)(a2+b2)=0；∴(a+b)(a−b)(c2−a2−b2)=0，∵a、b、c分别是△ABC的三边．∴a−b=0或c2−a2−b2=0，∴a=b或c2=a2+b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．19.解：a2+b2+c2−ab−bc−ac(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac)=12[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]=12∵a=2005，b=2006，c=2007，[(2005−2006)2+(2005−2007)2+(2006−2007)2]∴原式=12(1+4+1)=12=3．20.解：(1)x2−4x+3=x2−4x+4−4+3=(x−2)2−1=(x−1)(x−3)；(2)4x2+12x−7=4x2+12x+9−9−7=(2x+3)2−16=(2x+3+4)(2x+3−4)=(2x+7)(2x−1)．21.解：(1)x2+2xy+2y2+4y+4=(x+y)2+(y+2)2=0，则x=−y，y=−2，所以x=2．所以2x−y=2×2+2=6；(2)∵a2+b2−6a−8b+25，=(a−3)2+(b−4)2=0，∴a−3=0，b−4=0，解得a=3，b=4，∵4−3=1，4+3=7，∴1<c<7，又∵c为奇数，∴c=3或5，∴△ABC的周长为3+4+3=10或3+4+5=12．22.解：4x3−xy2=x(4x2−y2)=x(2x−y)(2x+y)．取x=10，y=10时，x=10，2x−y=20−10=10，2x+y=20+10=30．所以密码可以是：101030或103010或301010．23.解：(1)x2−2xy+y2−25=(x−y)2 −25=(x−y+5)(x−y−5)；(2)∵a2−ab−ac+bc=0，∴a(a−b)−c(a−b)=(a−b)(a−c)=0，∴a=b或a=c，∴△ABC的形状为等腰三角形．。
苏科版七年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案
苏科版七年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案(1)616616ab a b--+(2)22163128a c ab bc ca++--(3)2249127011x y x y--++(4)9271545ab a b-+-(5)1445616ab a b+--(6)2272532431a c ab bc ca-++-(7)22407543a c ab bc ca+-+-(8)224535304288a c ab bc ca+-+-(9)22369841840x y x y---+ (10)228169x y x-+-(11)222521010x z xy yz zx++--(12)222418401557x z xy yz zx+-+-(13)16241218mn m n+--(14)229361845x y x y--+-(15)223621129a c ab bc ca----(16)863224xy x y-+-+(17)12421863xy x y+--(18)9090100100ab a b-+-(19)881414xy x y+--(20)222549036x y x y-+-(21)22285132535a b ab bc ca--+-(22)2225364816x y y---(23)20410020ab a b+--(24)22724238x y xy yz zx--++ (25)2232628924a b ab bc ca++--(26)35142510mn m n--+ (27)22495616a b b-+-(28)7105680ax ay bx by+--(29)32365663ab a b+++ (30)15102718mn m n+--(31)36541827xy x y+--(32)90205412xy x y+--(33)248155xy x y-+-+ (34)824824xy x y----(35)2245181063x z xy yz zx--++ (36)3333mx my nx ny-+-(37)328123mn m n--+(38)4242ax ay bx by+++(39)224530291527a b ab bc ca----(40)222516602427x y x y--++ (41)961812ab a b+--(42)212478mx my nx ny+--(43)2228154341a c ab bc ca++--(44)152068mn m n+++(45)2228249718x z xy yz zx+--+ (46)61437ax ay bx by--+(47)50304024ab a b+++(48)9819mn m n+--(49)22249562115x z xy yz zx-+-+ (50)221515201234a c ab bc ca+-+-(51)221625565024m n m n-+-+ (52)637819xy x y-++-(54)443232ab a b+++(55)22736423648a c ab bc ca++--(56)12122121mx my nx ny+++ (57)2291042047x z xy yz zx++++ (58)8040168ax ay bx by-+-(59)2224317618a b ab bc ca++++ (60)42633654mn m n--+(61)54603640ax ay bx by+++(62)49181480x y x y--++ (63)54308145xy x y+--(64)22821101526x z xy yz zx++--(65)64481612xy x y+--(66)22309331220x y xy yz zx++--(67)225621771848x y xy yz zx++--(68)2272188375x z xy yz zx++++ (69)22251845a b ab++(70)2249819025x y y---(72)105147mx my nx ny+++ (73)223629663m n m n----(74)224823a b a b-+++(75)22361436871x z xy yz zx+-+-(76)226324419x z xy yz zx+-+-(77)105105mn m n-+-(78)12896xy x y-+-+(79)22314184213x z xy yz zx+-+-(80)214151020a c ab bc ca++++ (81)482484ab a b--+(82)162486xy x y-+-+(83)22449287024m n m n--++ (84)22164147a c ab bc-+-(85)22812202114a b ab bc ca++++ (86)222820191628a b ab bc ca-+-+ (87)1008010080xy x y--+(88)7281040xy x y-+-+(89)222148828x y xy yz zx-+-+ (90)81723632xy x y+++(91)20601236mn m n+--(92)481632ax ay bx by+--(93)22649352812x y xy yz zx++++ (94)161243mx my nx ny--+(95)227214384963x y xy yz zx--+-(96)22366025a b a-+-(97)48565463xy x y--+(98)1044518ab a b--+(99)210840mx my nx ny--+(100)728312xy x y-++-苏科版七年级下册因式分解(分组分解法)100题答案(1)2(1)(38)a b--(2)(34)(4)a b c a c+--(3)(711)(71)x y x y+---(4)3(35)(3)a b+-(5)2(4)(72)a b-+(6)(945)(8)a b c a c+-+(7)(5)(87)a c ab c---(8)(965)(57)a b c a c---(9)(634)(6310)x y x y+---(10)(93)(93)x y x y++-+ (11)(5)(25)x z x y z-+-(12)(83)(356)x z x y z---(13)2(43)(23)m n-+ (14)(315)(33)x y x y+--+(15)(937)(43)a b c a c--+ (16)2(4)(43)x y-+-(17)3(23)(27)x y-+(18)10(910)(1)a b+-(19)2(47)(1)x y-+(20)(5218)(52)x y x y++-(21)(75)(45)a b a b c-+-(22)(564)(564)x y x y++--(23)4(5)(51)a b-+(24)(8)(94)x y x y z+-+(25)(83)(423)a b a b c++-(26)(75)(52)m n--(27)(74)(74)a b a b+--+(28)(8)(710)a b x y-+(29)(47)(89)a b++(30)(59)(32)m n-+(31)9(21)(23)x y-+ (32)2(53)(92)x y-+ (33)(85)(31)x y-+-(34)8(1)(3)x y-++(35)(926)(53)x y z x z-+-(36)3()()m n x y+-(37)(83)(41)m n--(38)2()(2)a b x y++(39)(95)(563)a b a b c+--(40)(549)(543)x y x y+---(41)3(2)(32)a b-+(42)(3)(78)m n x y-+(43)(43)(75)a c ab c-+-(44)(52)(34)m n++(45)(472)(7)x y z x z-++(46)(2)(37)a b x y--(47)2(54)(53)a b++(48)(9)(91)m n-+(49)(373)(83)x y z x z++-(50)(345)(53)a b c a c---(51)(4512)(452)m n m n++-+ (52)(79)(91)x y---(53)(87)(71)x y+-(54)4(8)(1)a b++(55)(76)(66)a c ab c-+-(56)3(47)()m n x y++(57)(942)(5)x y z x z+++(58)8(5)(2)a b x y+-(59)(3)(836)a b a b c+++ (60)3(76)(23)m n--(61)2(32)(910)a b x y++(62)(710)(78)x y x y+---(63)3(23)(95)x y-+ (64)(23)(457)x z x y z-+-(65)4(41)(43)x y-+ (66)(53)(634)x y x y z++-(67)(776)(83)x y z x y+-+ (68)(83)(96)x z x y z+++(69)(53)(56)a b a b++ (70)(795)(795)x y x y++--(71)(31)(910)x y---(72)(57)(2)m n x y++ (73)(67)(69)m n m n++--(74)(21)(23)a b a b++-+ (75)(92)(447)x z x y z---(76)(6)(43)x z x y z---(77)5(1)(21)m n+-(78)(43)(32)x y-+-(79)(62)(37)x y z x z---(80)(32)(752)a c ab c+++(81)4(61)(21)a b--(82)2(3)(81)x y-+-(83)(2712)(272)m n m n+---(84)(2)(874)a c ab c-++(85)(447)(23)a b c a b+++(86)(454)(74)a b c a b++-(87)20(1)(54)x y--(88)(710)(4)x y-+-(89)(324)(72)x y z x y++-(90)(94)(98)x y++(91)4(53)(3)m n-+(92)4(4)(2)a b x y-+ (93)(274)(37)x y z x y+++ (94)(4)(43)m n x y--(95)(827)(97)x y z x y+--(96)(65)(65)a b a b++-+ (97)(89)(67)x y--(98)(29)(52)a b--(99)2(4)(5)m n x y--(100)(73)(4)x y---。
苏科版七年级数学下册 因式分解面积问题专项训练
因式分解面积问题专项练习1.动手操作:如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形.提出问题:(1)观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积: ; ;(2)请写出三个代数2a b()-，ab之间的一个等量关系: ;a b()+，2问题解决:根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题:已知7xy=，求x yx y+=，6-的值. Array⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片2.已知，如图，现有,a ab b⨯⨯的正方形纸片和a b至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图形中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22252++，并标出此矩形的长和宽．a ab b3.如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片l张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．4.有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2a+b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张，请你在如图②所示的大长方形中画出一种拼法．5.(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是___________(写成两数平方差的形式)；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是_________，长是_________，面积是___________(写成多项式乘法的形式)．(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式__________(用式子表达)．(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：①(2x+y －z)(2x －y+z)； ②10．1×9．9．6.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图(1)可以得到．2223))(2(b ab a b a b a ++=++；请解答下列问题：(1)写出图(2)中所表示的数学等式；(2)利用(1)中所得到的结论；解决下面的问题：已知11,38a b c ab bc ac ++=++=，求222a b c ++值；(3)图(3)中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为a 、b 的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++；(4)小明同学用2张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为 ．7.如图所示，三种不同类型地砖，若现有A 类4块，B 类4块，C 类2块，要拼成一个正方形，则应多余出1块_______型地砖；这样地砖拼法表示了两数和的平方几何意义，这个两数和的平方是_____．8.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明．例如：(2a ＋b) (a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2，就可以用图1的面积关系来说明．(1)根据图2写出一个等式：_______．(2)已知等式(x ＋p)(x ＋q)＝x 2＋(p ＋q)x ＋pq ，请你画出一个相应的几何图形加以说明．9.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：()2222x x y x xy +=+就可以用图的面积表示．（1）请写出图（2）所表示的代数恒等式： ；（2）请写出图（3）所表示的代数恒等式： ；（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示()()22343x y x y x xy y ++=++.10.如图所示，现有边长分别为b 、a 的正方形、邻边长为b 和a (b >a )的长方形硬纸板若干.（1）请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为2223b ab a ++的长方形，画出拼法的示意图；示意图：（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为ab 12的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有_____种不同情况；（3）现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形；（4）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2224a nab b ++，则n 可能的整数有____个；（5）已知长方形丙的周长为10，面积为3，求小正方形乙与大正方形甲的面积之和.11.若x 满足4)4)(9(=--x x ，求22)9()4(-+-x x 的值;解:设a x =-9，b x =-4，则4)4)(9(==--ab x x ，5)4()9(=-+-=+x x b a ，所以174252)()4()9()9()4(22222222=⨯-=-+=+=-+-=-+-ab b a b a x x x x .请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足2)2)(5(=--x x ，求22)2()5(-+-x x 的值;（2）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD ，DC 上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF 、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积.12.如图是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数．①（a＋b）＝a＋b；②（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③（a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；④(a＋b)4＝a4＋_______a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；⑤(a＋b)5＝a5＋_______a4b＋_______a3b2＋_______＋a2b3＋_______ab4＋b5．(1)将式子④和⑤填空完整；(2)根据①~⑤的规律直接写出(a＋b)6的展开式；(3)将式子a n＋1＋(n＋1)a n b＋()12n n+a n－1b2＋…＋()12n n+a2b n－1＋(n＋1)ab n＋b n＋1因式分为_______．。
9.5 多项式的因式分解 苏科版数学七年级下册同步练习(含解析)
第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解基础过关全练知识点1公因式1.多项式4a2b(a-b)-6ab2(b-a)中,各项的公因式是()A.4abB.2abC.ab(a-b)D.2ab(a-b)知识点2因式分解2.(2022江苏无锡新吴期中)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.(x+1)(x-1)=x2-1B.6ab=2a·3bC.x2-2x+1=x(x-2)+1D.x2-8x+16=(x-4)23.【教材变式·P73T1(2)变式】因为(3x-1)(x-2)=3x2-7x+2,所以把多项式3x2-7x+2因式分解的结果为.知识点3用提公因式法进行因式分解4.(2022江苏泰州泰兴月考)2x(a-b)-4y(b-a)分解因式的结果是()A.(a-b)(2x-4y)B.(a-b)(2x+4y)C.2(a-b)(x-2y)D.2(a-b)(x+2y)5.【新独家原创】 2 0232-2 023肯定能被整除,横线上应填() A.2 020 B.2 021C.2 023D.2 0246.(2022江苏常州中考)分解因式:x2y+xy2=.知识点4用平方差公式进行因式分解7.(2022山东烟台中考)把x2-4因式分解为.8.【教材变式·P84T3变式】若多项式9a2+M能用平方差公式分解因式,则单项式M=.(写出一个即可)知识点5用完全平方公式进行因式分解9.(2022广西河池中考)多项式x2-4x+4因式分解的结果是()A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)210.若关于x的二次三项式x2+2(m-3)x+16可用完全平方公式分解因式,则m的值为.知识点6综合运用多种方法进行因式分解11.【新独家原创】下列数中,能整除(-8)2 024+(-8)2 023的是()A.3B.5C.7D.912.【易错题】分解因式:(1)ax2-2axy+ay2;(2)x3-4x.能力提升全练13.(2022湖南永州中考,6,★☆☆)下列因式分解正确的是()A.ax+ay=a(x+y)+1B.3a+3b=3(a+b)C.a2+4a+4=(a+4)2D.a2+b=a(a+b)14.(2022江苏苏州中考,10,★☆☆)已知x+y=4,x-y=6,则x2-y2=.15.(2022江苏扬州中考,11,★☆☆)分解因式:3m2-3=.16.(2022江苏南京鼓楼期中,17,★☆☆)因式分解:(1)3a3-12ab2;(2)x3-2x2y+xy2;(3)a2(x-3y)+9b2(3y-x).17.【代数推理】(2022江苏苏州相城期末,21,★★☆)已知a是一个正整数,且a除以3余1.判断a2+4a+4是否一定能被9整除,并说明理由.素养探究全练18.【运算能力】多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试:分解因式x2+6x+8=(x+)(x+);(2)应用:请用上述方法解方程x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.D各项的公因式是2ab(a-b).故选D.2.D A.从左到右的变形是整式乘法运算,不是因式分解,故本选项不符合题意;B.等式的变形不是因式分解,故本选项不符合题意;C.等式的右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,故本选项不符合题意;D.从左到右的变形属于因式分解,故本选项符合题意.故选D.3.答案(3x-1)(x-2)解析根据整式乘法和因式分解之间的关系可得3x2-7x+2=(3x-1)(x-2).4.D因为2x(a-b)-4y(b-a)=2x(a-b)+4y(a-b)=2(a-b)(x+2y).故选D.5.C原式=2 023×(2 023-1)=2 023×2 022,则2 0232-2 023肯定能被2 023整除.故选C.6.答案xy(x+y)解析x2y+xy2=xy·x+xy·y==xy(x+y).7.答案(x+2)(x-2)解析x2-4=x2-22=(x+2)(x-2).8.答案-1(答案不唯一)解析因为9a2+M能用平方差公式分解因式,所以单项式M可以为-1(答案不唯一).9.D原式=x2-2×2·x+22=(x-2)2.故选D.10.答案7或-1解析由题意得x2+2(m-3)x+16=(x±4)2,所以x2+2(m-3)x+16=x2±8x+16,所以2(m-3)=±8,所以m-3=±4,所以m=7或m=-1.故答案为7或-1.11.C(-8)2 024+(-8)2 023=(-8)2 023×(-8)+(-8)2 023=(-8)2 023×(-8+1)=(-8)2 023×(-7)=82 023×7,所以(-8)2 024+(-8)2 023能被7整除.故选C.12.解析(1)原式=a(x2-2xy+y2)=a(x-y)2.(2)原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2).能力全练全练13.B A选项,ax+ay=a(x+y),故该选项不符合题意;B选项,3a+3b=3(a+b),故该选项符合题意;C选项,a2+4a+4=(a+2)2,故该选项不符合题意;D选项,a2与b没有公因式,故该选项不符合题意.故选B.14.答案24解析因为x+y=4,x-y=6,所以x2-y2=(x+y)(x-y)=4×6=24.15.答案3(m+1)(m-1)解析原式=3(m2-1)=3(m+1)(m-1).16.解析(1)原式=3a(a2-4b2)=3a(a+2b)(a-2b).(2)原式=x(x2-2xy+y2)=x(x-y)2.(3)原式=(x-3y)(a2-9b2)=(x-3y)(a+3b)(a-3b).17.解析一定能被9整除.理由如下:设a除以3余1的商为b,则a=3b+1,a2+4a+4=(a+2)2=(3b+3)2=[3(b+1)]2=9(b+1)2,所以a2+4a+4一定能被9整除.素养探究全练18.解析(1)2;4.(2)原方程可以变形为(x-4)(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,∴x=4或x=-1.。
七年级数学下册第九章第5节多项式的因式分解同步练习(1)苏科版
多项式的因式分解（1）—提公因式一、选择题1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是【】A．a(x+y)=ax+ay B．x2－4x+4=x（x－4）+4C．10x2－5x=5x（2x－1）D．x2－16+6x=（x+4）（x－4）+6x2．在下列多项式中，没有公因式可提取的是【】A．3x－4y B．3x＋4xy C．4x2－3xy D．4x2＋3x2y3．多项式－5mx3＋25mx2－10mx各项的公因式是【】A．5mx2B．－5mx3C．mx D．－5mx4．把6m2（x－y）2－3m（x－y)3因式分解时，应提出的公因式是【】A．3m B．(x－y）3C．3m（x－y)2 D．3（x－y）2 5．已知(2x21)(3x7)(3x7)(x13)++，其中a、b均为整数,则-----可分解因式为(3x a)(x b)+=a3bA．30 B．－30 C．－31 D．31【】二、填空题6．分解因式:22a a-．7．分解因式：22-= ．2a b ab8．18x n+1－24x n= ．9．（m＋n)(x－y）－（m＋n）（x＋y） = ．10．多项式x 2+mx +5因式分解得（x +5）（x +n ）,则m = ,n = ．三、解答题11．把下列各式分解因式:（1)18a 3bc －45a 2b 2c 2；（2)4xyz －4x 2yz －12xy 2z ; （3） 20a m +1b 2n +4－12a2m +1b m +2（4）()()x y y y x x --- （5）()y x y x m +--2 （6)15(a －b )2－3y （b －a ）12．运用因式分解计算：（1) 151713191713⨯-⨯-(2） 29×20.1＋72×20.1＋13×20.1－20。
1×14．四、拓展题13．已知 3 2a b ab +==，,求22ab b a --的值三、解答题11．（1）29(25)abc a abc -； （2）4(13)xyz x y --; （3）1224(53)m n n m a b b a +++-尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
七年级数学下册第九章第5节多项式的因式分解同步练习(4)新版苏科版
多项式的因式分解（4）——十字相乘一、填空题1．分解因式： 62--x x = ；652--x x = ；652+-x x = ；652-+x x = ；62-+x x = ；562+-x x =______________．2．当m ＝ 时，多项式62--mx x 有一个因式是(2)x +． 3．分解因式：=++-ab x b a x )(2 ；=---ab x b a x )(2． 4．多项式x 2+mx +5因式分解得（x +5）（x +n ），那么m = ，n = ．5．若x 2－3x +q 能分解成x －1与另一个因式的乘积，那么q = ，另一个因式是 ．6．分解因式：(a +2)(a －2)+3a = ．7．一个长方形的面积是(x 2－9x +14)平方米，其长为(x －2)米，用含有x 的整式表示它的宽为_________米．8．26x mx +-在整数范围内可能分解因式，那么m ＝ . ．二、解答题：9．把以下各式分解因式：（1）342++x x （2）1272+-a a （3）822-+m m （4）2286n mn m +-（5）36522--xy y x（6）3)(4)(2++++b a b a (7）22616x xy y -++10.把以下各式因式分解：（1）2328x x --+ （2）229192y xy x +- （3）61362+-x x (4) 2321x x --（5）262x x --+ (6)2922n n -+ (7)22361112y xy x -- (8)2252a a ---（9）22(2)9x x --（10）4321228x x x -- （11）2024-+m m11．把以下各式因式分解：（1）2(3)3x m n x mn +++（2）22()2()()15()m n m n p q p q +-++-+四、拓展题12．已知016)2)(22(2222=-+-+y x y x ，求22442y x y x ++的值.【答案详解】一、填空题1．（x －3）(x +2)；(x －6)(x +1)；（x －2）(x －3)；（x +6）（x －1）；（x +3）（x －2）；（x －1）(x －5). 解答：依照不同的系数成立不同的十字式，可得因式分解的结果.2．1解答：依照系数特点可判定x2－mx－6=（x+2）（x－3），故而－m=－1，m=1. 3．（x－a）（x－b）；（x－a）（x+b）解答：把a、b4．6，1解答：化简（x+5）(x+n)=x2+（5+n）x+5n，与多项式x2+mx+5对应系数相等，因此得m=6，n=1.(5) (4)(9)xy xy+- (6) (1)(3)a b a b++++ (7)(2)(8)x y x y-+-（7）（3x+4y）（4x－9y）解答：分解x2项和y2项的系数：（结合系数的奇偶性）（8）－（2a+1）(a+2)解答：整理成－（2a2+5a+2）再分解：（9）（x2－2x+3）（x+1）(x－3)解答：先用平方差公式分解成（x2－2x+3）（x2－2x－3），再对因式（x2－2x－3）用十字相乘法分解. (10) x2(x+2)(x－14)解答：先提公因式得x2（x2－12x－28），再对因式（x2－12x－28）用十字相乘法分解.(11)(m2+5)(m+2)(m－2)解答：把m2看做一个整体，用十字相乘法分解成（m2－4）（m2+5），再将因式（m2－4）用平方差公式分解. 11．（1）（x+3m）(x+n)解答：把m、n看做是常数，故常数项是3mn，一次项系数是（3m+n），十字式为：（2）（m+n+3p+3q）（m+n－5p－5q）解答：把（m+n）、（p+q）别离看做一个整体.四、拓展题12．解法一：把（x2+y2）看做一个整体，由已知得：2（x2+y2）〔(x2+y2)－2〕－16=0，化简得：2(x2+y2)2－4（x2+y2）－16=01－a1 －b1－a1 b3+44 －92+11 +21+3m1 +n分解因式得：2（x2+y2+2）（x2+y2－4）=0可得：x2+y2=－2或x2+y2=4因为x2+y2≥0，故x2+y2=－2舍去.因此x2+y2=4因此x4+y4+2x2y2=(x2+y2)2=16.解法二：换元法：设x2+y2=a，由已知得2a（a－2）－16=0，解得a=－2或a=4，负值舍去，故a=4. 因此x4+y4+2x2y2=(x2+y2)2=a2=16.。
苏教版9.5因式分解1
荣辱榜9. 5 多项式的因式分解（1）班级姓名成绩自主学习一、创设情境1.试一试（1）.你能用简便方法计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3吗？（2）.你能把多项式ab＋ac＋ad写成积的形式吗？请说明你的依据.2.做一做：多项式mc+中的每一项都含有一个相同的因式_________，我mbma+们称之为_________.3.试一试：下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试着找出来.（1）4x+4y；（2）8ax+12ay；（3）16a3bx+36a2b2y二、探究新知1、_________________________________，叫做这个多项式各项的公因式。
2、公因式的构成：①系数：；②字母：；③指数： .3、练一练：下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试着找出来.（1）a2b＋ab2；（2）3x2－6x3；（3）9abc－6a2b2＋12abc24、填空并说说你的方法：（1）a2b＋ab2=ab( ) （2）3x2－6x3=3x2( ) （3）9abc－6a2b2＋12abc2=3ab( )5、归纳：（1）.因式分解的定义：. （2）.因式分解与整式乘法的联系和区别：趁热打铁：下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？（1）6x2y3＝2x2y·3y；（2）ab＋ac＋d=a(b＋c)＋d（3）a2－1=(a＋1)(a－1) （4）(a＋1)(a－1) = a2－1（5）x2＋1=x(x＋1 x)例题讲解：例1：把（1）5x3－10x2分解因式；分析：1、多项式5x3－10x2各项的公因式是什么？2、你能把多项式5x3－10x2说你是如何得到另一个因式的？归纳：叫做提公因式法．把12ab2c－6ab分解因式变式练习1：把6a3b－9a2b2c+3a2b分解因式变式练习2：把－2m3＋8m2－12m因式分解练习：－8a2b2＋4a2b－2ab变式练习3：把3a(x+y)-2b(x+y)分解因式练习：（1）x(a-b)+y(b-a) （2）6(m-n)3-12(n-m)2变式练习4：把m(5ax+a y－1)+m(ay+1－3ax)因式分解拓展应用：（1）.计算 39×37-13×81；（2）20042+2004能被2005整除吗?三、通过本节课的学习，你有哪些收获？9.5单项式乘多项式的再认识－因式分解(一)反馈练习：1. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．22244)2(y xy x y x ++=+ B.3)1(4222+-=+-x y x C. )1)(13(1232-+=--x x x x D.mc mb ma c b a m ++=++)(2.多项式－5mx 3+25mx 2－10mx 各项的公因式是A.5mx 2B.－5mx 3C. mxD.－5mx 3. 20082009)8()8(-+-能被下列数整除的是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．94．把下列各式因式分解：（1）20a －15ab ； （2）m m m 216423-+-（3）10(a －b )2－5(b －a )3 （4）2m (m －7)－(7－m )(m －3)5.已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值.你对本节课还有哪些问题和要求： 。
人教版苏科版初中数学—因式分解(经典例题)
因式分解班级小组姓名成绩（满分120）一、因式分解（共10组题，40小题，每题3分）（一）因式分解的意义例1.下列从左到右的变形：（1）15x 2y =3x •5xy ；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；（3）a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2；其中是因式分解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例1.变式1.若多项式ax 2+bx +c 可以被分解为（x ﹣3）（x ﹣2），则a =，b =，c =．例1.变式2.下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A ．a （x +y ）=ax +ayB ．x 2﹣4x +4=x （x ﹣4+4x）C ．10x 2﹣5x =5x （2x ﹣1）D ．x 2﹣16+3x =（x +4）（x ﹣4）+3x例1.变式3.已知22x x p ++可以分解为()()35x x -+，则p =.二、提公因式法（一）公因式的概念例2.下面给出的四组整式中，有公因式的一组是（）A ．a +b 和a 2+b 2B ．a ﹣b 和a 2﹣b 2C ．a 2b 2和a 2+b 2D ．a 2b 2和a 2﹣b 2例2.变式1.多项式4ab 2+8ab 2﹣12ab 的公因式是（）A ．4abB ．2abC ．3abD ．5ab例2.变式2.多项式（x +y ﹣z ）（x ﹣y +z ）﹣（y +z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是（）A ．x +y ﹣zB ．x ﹣y +zC ．y +z ﹣xD ．不存在例2.变式3.已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式（x ﹣1）和（x ﹣2），求m 、n 的值．（二）提公因式法例3.将（﹣2）2015+（﹣2）2016因式分解后的结果是（）A ．22015B ．﹣2C ．﹣22015D ．﹣1例3.变式1.当a ，b 互为相反数时，代数式a 2+ab ﹣2的值为（）A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣1例3.变式2.计算（﹣3）m +2×（﹣3）m ﹣1，得（）A ．3m ﹣1B ．（﹣3）m ﹣1C ．﹣（﹣3）m ﹣1D ．（﹣3）m例3.变式3.已知x y=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．（三）提取公因式法二例4.把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；例4.变式1.把下列各式分解因式：（1）15（a+b）2+3y（b+a）；（2）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．例4.变式2.先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1例4.变式3.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．（四）提取公因式法的综合运用例5.简便计算：①1.992+1.99×0.01②20132+2013﹣20142．例5.变式1.选择：2016×2016﹣2016×2015﹣2015×2014+2015×2015的值为（）. A．1B．﹣1C．4032D．4031例5.变式2.已知：a﹣b=﹣2015，ab=20162015，求a2b﹣ab2的值．例5.变式3.若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值．三、公式法（一）用公式法进行因式分解例6.下列分解因式中，正确的个数为（）①x2+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）．A．3个B．2个C．1个D．0个例6.变式1.下列各式能用平方差公式分解因式的有（）①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．A．1个B．2个C．3个D．4个例6.变式2.下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（）①x2+6x+9；②4x2﹣4x﹣1；③﹣x2﹣y2；④2x2﹣y2；⑤x2﹣7；⑥9x2+6xy+4y2．A．3个B．4个C．5个D．6个例6.变式3.因式分解x4﹣4=（实数范围内分解）．（二）用公式法进行因式分解二例7.分解因式：x2﹣（x﹣3）2=．（2a+b）2﹣（a+2b）2=．例7.变式1.分解因式：（1）81x4﹣16y4（2）y2+y+1 4．例7.变式2.若x2+x﹣1的值为0，则代数式x3+2x2+2017的值为．例7.变式3.若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．四、因式分解综合运用（一）利用因式分解求值例8.若a+b=3，a﹣b=7，则b2﹣a2的值为（）A．﹣21B．21C．﹣10D．10例8.变式1.已知x2+y2﹣2x﹣6y=﹣10，那么x2011y2的值为（）A．19B．9C．1D．2例8.变式2.已知a=2017x+2016，b=2017x+2017，c=2017x+2018，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）A．1B．32C．2D．3例8.变式3.已知a﹣b=7，ab=﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．（二）因式分解跨章节综合例9.n是整数，式子18[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶例9.变式1.设a=192×918，b=8882﹣302，c=10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列为．例9.变式2.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌例9.变式3.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形（三）因式分解材料分析题例10.先阅读以下材料，然后解答问题．分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）这种分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式a2﹣b2+a2b﹣ab2．例10.变式1.阅读理解：（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=；②（x+3）（x﹣1）=；（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）=x2+（）x+（）；（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x﹣3）（x+m）=；（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解（两小题中任选1小题作答即可）：①x2﹣5x+6=；②x2﹣3x﹣10=．例10.变式2.阅读材料：例分解因式x2+6x﹣7．解：原式=x2+2x×3+32﹣32﹣7=（x2+2x×3+32）﹣32﹣7=（x+3）2﹣42=（x+3+4）（x+3﹣4）=（x+7）（x﹣1）．上述例子用到了“在式子变形中，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法”．请根据这种方法解答下列问题：分解因式：（1）a2﹣6a﹣16；（2）4a2﹣16ab+15b2．例10.变式3.观察并验证下列等式：13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，（1）续写等式：13+23+33+43+53=；（写出最后结果）（2）我们已经知道1+2+3+…+n=12n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=；（结果用因式乘积表示）（3）利用（2）中得到的结论计算：①33+63+93+…+573+603②13+33+53+…+（2n﹣1）3。
【常考压轴题】因式分解压轴四大类型—2023-2024学年七年级数学下册(苏科版)(解析版)
因式分解压轴四大类型题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解题型二：十字相乘法因式分解题型三：分组分解法题型四：因式分解的应用题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解【典例1】（2023秋•西城区期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【答案】（1）xy（y+1）（y﹣1）；（2）2（x﹣5）2．【解答】解：（1）原式＝xy（y2﹣1）＝xy（y+1）（y﹣1）；（2）原式＝2（x2﹣10x+25）＝2（x﹣5）2．【变式1-1】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【答案】（1）2m（x﹣1）2；（2）4（m+4n）（4m+n）．【解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【变式1-2】（2023春•皇姑区校级期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【答案】（1）（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2（x﹣3y）2．【解答】解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝x2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣4）＝（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2．【变式1-3】（2022秋•渑池县期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．【答案】（1）2b（3a﹣b）2；（2）（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．【解答】解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3＝2b（9a2﹣6ab+b2）＝2b（3a﹣b）2．（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）＝（x﹣3）（x2﹣y2）＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．题型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝．【答案】（a﹣4）（a﹣9）．【解答】解：a2﹣13a+36∵﹣4a+（﹣9a）＝﹣13a，∴a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．故答案为：（a﹣4）（a﹣9）．【变式2-1】（2023秋•璧山区期末）因式分解a2+a﹣6的结果是．【答案】（a﹣2）（a+3）．【解答】解：a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）．【变式2-2】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝．【答案】（x﹣2）（x﹣6）．【解答】解：x2﹣8x+12＝x2﹣8x+16﹣4＝（x﹣4）2﹣（2）2＝（x﹣4+2）（x﹣4﹣2）＝（x﹣2）（x﹣6）．故答案为：（x﹣2）（x﹣6）．（2023秋•河北区校级期末）把多项式x2﹣2x﹣35因式分解为．【变式2-3】【答案】（x+5）（x﹣7）．【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x+5）（x﹣7）．题型三：分组分解法【典例3】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【答案】（1）（a﹣3）（a2+6）；（2）（a﹣b）（a﹣b+x）．【解答】解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18＝a2（a﹣3）+6（a﹣3）＝（a﹣3）（a2+6）；（2）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx）＝（a﹣b）2+x（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+x）．【变式3-1】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【答案】x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【解答】解：原式＝（4x3﹣9xy2）+（﹣2x2﹣3xy）＝x（4x2﹣9y2）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【变式3-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【答案】（1）﹣3ab（b﹣a）2；（2）（x﹣y）（x+y﹣a）．【解答】解：（1）原式＝﹣3ab（b2﹣2ab+a2）＝﹣3ab（b﹣a）2；（2）原式＝（x2﹣y2）+（﹣ax+ay）＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣a）．【变式3-3】（2023秋•武都区期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；（2）（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．【解答】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．题型四：因式分解的应用【典例4】（2023秋•钢城区期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．结合以上材料解决下面的问题：（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【答案】（1）6或﹣6；（2）（x﹣3）（x﹣5）；（3）当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，而x2﹣kx+9恰好是完全平方式，同时x2﹣kx+9可以整理为x2﹣kx+32，∴k＝6或﹣6，故答案为：6或﹣6．（2）x2﹣8x+15＝x2﹣8x+42﹣1＝（x﹣4）2﹣1＝（x﹣4）2﹣12＝（x﹣4+1）（x﹣4﹣1）＝（x﹣3）（x﹣5）；（3）x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【变式4-1】（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．【答案】（1）第4个式子为5+＝5×；（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验过程见解答．（3）．【解答】解：（1）第4个式子为5+＝5×；（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验：左边＝+＝＝右边；（3）∵m，n，∴m+n＝mn，设m+n＝mn＝x，原式＝＝＝；【变式4-2】（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．【变式4-3】（2023春•罗湖区校级期中）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若m、n、p为非零实数，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求证：2p＝m+n．【答案】（1）（x﹣y）（x+y+2）；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）x2﹣y2+2x﹣2y＝（x2﹣y2）+2（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+2）；（2）△ABC的形状是等边三角形，理由如下：a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，a2+c2﹣2ba+2b2﹣2bc＝0，（a2﹣2ba+b2）+（c2+b2﹣2bc）＝0，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC的形状是等边三角形．（3）证明：（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），等式两边展开移项得：﹣mn++mn﹣pm﹣pn+p2＝0，整理得：（m2+mn+n2）﹣p（m+n）+p2＝0，即[（m+n）﹣p]2＝0，∴（m+n）﹣p＝0，∴2p＝m+n一．选择题（共8小题）1．（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．10【答案】A【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．2．（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．16【答案】A【解答】解：∵长方形的周长为16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．联立①②，得，解得：，∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），故选：A．3．（2023秋•洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（）A．9B．7C．0D．﹣9【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，∴a2﹣2a＝1，∴2a3﹣a2﹣8a+4＝2a•a2﹣a2﹣8a+4＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4＝3a2﹣6a+4＝3（a2﹣2a）+4＝3×1+4＝7．故选：B．4．（2023秋•商水县期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，则m3n﹣mn3的值为（）A．±300B．±84C．±48D．±12【答案】B【解答】解：m3n﹣mn3＝mn（m2﹣n2）＝mn（m+n）（m﹣n）．∵m2+n2＝25，mn＝12，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49；（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝25﹣2×12＝1．∴m+n＝±7；m﹣n＝±1．①m+n＝7，m﹣n＝1．原式＝12×7×1＝84；②m+n＝7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×7×（﹣1）＝﹣84；③m+n＝﹣7，m﹣n＝1．原式＝12×（﹣7）×1＝﹣84；④m+n＝﹣7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×（﹣7）×（﹣1）＝84．故选：B．5．（2023秋•海安市期末）已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9B．﹣2C．0D．2【答案】C【解答】解：x2﹣2x+y2﹣2y＝（x2+y2）﹣2（x+y）＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy．∴原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣8＝（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣9＝（x+y﹣1）2﹣9．设x+y＝a，则y＝a﹣x．∵xy＝4，∴x（a﹣x）＝4．∴ax﹣x2＝4．∴x2﹣ax+4＝0．∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×4＝a2﹣16．∵方程有解，∴a2﹣16≥0．∴a2≥16．∴a≥4或a≤﹣4．当a＝4即x+y＝4时，原式＝0；当a＝﹣4即x+y＝﹣4时，原式＝25﹣9＝16．∵0＜16，∴x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是0．故选：C．6．（2023秋•宣化区期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）【答案】B【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2，另外大长方形可以看作一般长为（a+2b）宽为（a+b）的长方形组成，∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b），∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确．故选：B．7．（2023秋•鲅鱼圈区期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57B．120C．﹣39D．﹣150【答案】D【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2，把a﹣b＝5，ab＝﹣6代入，ab（a﹣b）2＝（﹣6）×52＝﹣150，故选：D．8．（2023秋•东兴区校级期中）已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0B．C．2D．3【答案】D【解答】解：∵，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝3．故选：D．二．填空题（共5小题）9．（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC 的形状是．【答案】等腰三角形．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．∵在△ABC中，a+b＞c，∴a+b﹣c＞0．∴a﹣b＝0，即a＝b．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．10．（2023秋•通山县期末）已知：x2﹣x＝1，则x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是．【答案】0【解答】解：x4﹣x3﹣2x2+x+1＝x2（x2﹣x）﹣2x2+x+1，∵x2﹣x＝1，∴原式＝x2﹣2x2+x+1＝﹣x2+x+1＝﹣1+1＝0．11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为．【答案】3．【解答】解：∵多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，∴当x＝﹣1时，2x3﹣x2+m＝0，即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，解得m＝3．故答案为：3．12．（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，得（a﹣b）x+20﹣x﹣19＝1，同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，＝×（1+1+4）＝3．故答案为3．13．（2022秋•芝罘区期末）计算：20232﹣2023×2022＝．【答案】2023．【解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案为：2023．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•梨树县期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a﹣b）2＝49，∴a2+b2﹣2ab＝49，∴a2+b2＝25；（3）∵a2+b2＝25，∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1．15．（2023秋•东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？【答案】（1）（a﹣b）（a+b+1）；（2）（a+5b）（a﹣b）；（3）当x＝3时，取最小值为﹣8．【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；（3）x2﹣6x+1＝x2﹣6x+9﹣8＝（x﹣3）2﹣8∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，∴当x＝3时，取最小值为﹣8．16．（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．【答案】（1）（x﹣2）（x+4）；（2）﹣7；（3）12．【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+2x+1﹣1﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+1﹣3）（x+1+3）＝（x﹣2）（x+4）；（2）设y＝x2+4x﹣3，y＝x2+4x+4﹣4﹣3，y＝（x+2）2﹣7，∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7．（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12．。
苏教版初一下《因式分解》好题精选(答案)备课讲稿
因式分解【基础能力训练】一、因式分解1．下列变形属于分解因式的是（）A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mcC．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n）2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（）A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+43．分解因式mx+my+mz=（）A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m（x+y－z）D．m3abc 4．20052－2005一定能被（）整除A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 0095．下列分解因式正确的是（）A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b）6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（）A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－67．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______．8．计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14=_________．二、提公因式法9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（）A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b210．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（）A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m）C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1）11．（－2）2001+（－2）2002等于（）A．－22001B．－22002C．22001D．－212．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（）A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2 13．观察下列各式：（1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1其中可以直接用提公因式法分解因式的有（）A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5）C．（2）（4）（5）（6）D．（2）（3）（4）（5）（6）14．多项式12x2n－4n n提公因式后，括号里的代数式为（）A．4x n B．4x n－1 C．3x n D．3x n－115．分解下列因式：（1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2（2）（m－n）2+2n（m－n）（3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a）（4）a（a－x）（a－y）+b（x－a）（y－a）【综合创新训练】三、综合测试16．若x2（x+1）+y（xy+y）=（x+1）·B，则B=_______．17．已知a－2=b+c，则代数式a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=______ 18．利用分解因式计算：1 297的5%，减去897的5%，差是多少？四、创新应用19．利用因式分解计算：（1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34（3）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21（4）20 062 006×2 008－20 082 008×2 00620．计算：43 222 22n nn++-⨯⨯五、综合创新21．计算：2－22－23－…－218－219+22022．已知2x－y=13，xy=2，求2x4y3－x3y4的值．23．已知：x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+x4+x5+…+x2007的值．24．设n为整数，求证：（2n+1）2－25能被4整除．杨老师对同学们说：“我能猜出你们每一位同学的年龄，不信的话，你们就按下面方法试试：先把你的年龄乘以5，再加5，然后把结果扩大2倍，•最后把算得的结果告诉老师，老师就知道你的年龄了．”杨老师又说：“雨晴，你算出的是多少？”雨晴答：“130”．杨老师马上说：“你12岁”．如果你是杨老师，•当李强同学算出的结果是140时，你会说李强多少岁？答案：【基础能力训练】1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D7．4a2－4ab+b2=（2a－b）28．3149．A 10．C 11．C 12．D 13．C 14．D15．（1）7xyz（8x2－2xy+3yz）（2）（m－n）（m+n）（3）（a－b+c）（m－n+p）（4）（a－x）（a－y）（a+b）【综合创新训练】16．x2+y2解析：x2（x+1）+y（xy+y）=x2（x+1）+y2（x+1）=（x+1）（x2+y2），故B=x2+y2．17．4解析：由a－2=b+c得a－b－c=2，a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=（a－b－c）（•a－b－c）=（a－b－c）2=22=4．18．20 解析：1 297×5%－897×5%=5%（1 297－897）=5%×400=20．19．（1）原式=2 004（2 004－4）=2 004×2 000=4 008 000（2）原式=39×37－39×27=39（37－27）=390（3）原式=1.21×13+1.21×9－1.21×12=1.21×（13+9－12）=1.21×10=12.1 （4）原式=2 006×10 001×2 008－2 008×10 001×2 006=020．原式=414222n nn+++-=1－2－3=1－18=7821．原式=220－219－218－…－23－22+2=219－218－…－23－22+2=…=22+2=6．22．2x4y3－x3y4=x3y3（2x－y）=（2x－y）（xy）3把2x－y=13，xy=2代入得83．23．0 解析：分成四个一组，该提公因式的提取公因式代入即可．24．（2n+1）2－25=（2n+1）2－52=[（2n+1）+5][（2n+1）－5]=（2n+6）（2n－4）=2（n+3）×[•2（n－2）]=4（n+3）（n－2），所以能被4整除．【探究学习】假设学生x岁，用老师的办法得到的式子是2（5x+5），把它分解之后得10（x+1），所以老师只要把学生的得数÷10再减去1，即可得到学生的实际年龄，所以，李强13岁．。
苏科版七年级下册因式分解专项练习100题及答案
苏科版七年级下册因式分解专项练习100题及答案一、提取公因式(1)(71)(73)(71)(64)----+a b a b(2)223-2718a b c abc(3)(85)(25)(42)(85)+--+++m n n m(4)(35)(72)(35)(34)(35)(2)+--++-++++a b a b a b(5)(51)(21)(51)(54)---+--x x x x(6)(23)(41)(22)(23)+---+a b b a(7)(83)(2)(83)(35)+-++++x y x y(8)(35)(41)(35)(82)---+--x x x x(9)242234527a y a x y -(10)43233521x yz y z +(11)4233299a x y a y +(12)(75)(53)(92)(75)m n n m --+++-(13)(74)(95)(74)(22)x x x x --++--(14)(92)(35)(92)(64)a b a b +-+-++(15)324244a x a x y -(16)432246axy x y +(17)3243521ab c bc -(18)3242422+-x y z x y z xy z32816 (19)(61)(35)(84)(61)--+---m n n m (20)342-x x y z55二、公式法(21)22-m n2525(22)22484x y-(23)22-+-m n m4912681(24)2++x x25210441(25)22++m mn n460225(26)227291242529m mn n -+(27)226761092441m mn n -+(28)226251509a ab b ++(29)22361380100m mn n -+(30)2225x y -三、分组分解法(31)551ab a b --+(32)22722554305x z xy yz zx--++(33)24682mx my nx ny-+-(34)291463mn m n -+-(35)14631045+++ax ay bx by (36)4276010xy x y-+-(37)22---+2735242515a b ab bc ca(38)22++--a b ab bc ca6325801018 (39)22++++24220213a b ab bc ca(40)30105418-+-+xy x y(41)22a b ab bc ca++--256354235 (42)22+--mx my nx ny(43)22+-+-4625427x y xy yz zx(44)22---+165383514x y xy yz zx (45)801005670mx my nx ny+--(46)22----2710513a c ab bc ca(47)22-++x z xy yz4923(48)22+--+a c ab bc ca57354912 (49)22++++x z xy yz zx2136353060 (50)56704050+--ab a b四、拆添项(51)22m n m n---+4924635 (52)22--+-16481413a b a b(53)2281161621677a b a b -+++(54)42248111049m m n n ++(55)42248118781m m n n -+(56)4224367625a a b b -+(57)4249419x x ++(58)42248112249a a b b ++(59)2264491611263a b a b --+-(60)2216361610877m n m n --+-五、十字相乘法(61)2x xy x y++--721847414 (62)222-+--+1874152727a b c ab bc ac(63)2264377++--p pq q p q(64)22---+422351410x xy y x y (65)22+--+-241025144520x xy y x y (66)22++--x xy y x y4023383(67)222x y z xy yz xz++--+92411620(68)22a ab b a b--+--3617353223 (69)222+--+-158********x y z xy yz xz(70)22x xy y x y+++++422533296 (71)22+--++82528361216m mn n m n (72)22164635186928+-+--m mn n m n (73)222+-+++ 24712294042x y z xy yz xz (74)22-+++-52710301135x xy y x y (75)22++--+x xy y x y494910703525 (76)222x y z xy yz xz--+--3532482222(77)22a ab b a b-++-165435410 (78)22-+-+911244m mn n m n(79)222+-+--x y z xy yz xz20206411926(80)2a ab a b-+-+2415743542六、双十字相乘法(81)222++--+561252715x y z xy yz xz (82)222x y z xy yz xz--+--20142018439 (83)22+--+-a ab b a b181******** (84)22x xy y x y-++-+216036586021(85)222a b c ab bc ac+-+-+3214664174 (86)22++---141757821a ab b a b(87)2223695391241a b c ab bc ac+-+--(88)224862764342x xy y x y -+++-(89)2227620432623a b c ab bc ac+-+-+(90)225116232810x xy y x y -++--七、因式定理(91)32392x x x +--(92)32255173x x x ---(93)32263a a a ---(94)3236722550x x x --+(95)32581012x x x +--(96)32421215x x x -++(97)32523318y y y ---(98)3258212x x x +++(99)3212172624x x x +--(100)325131212x x x -+-苏科版七年级下册因式分解专项练习100题答案一、提取公因式(1)(71)(7)a b --(2)29(32)abc abc -(3)(85)(23)m n +-(4)(35)(94)a b +-+(5)(51)(35)x x --(6)(23)(21)a b ++(7)(83)(27)x y ++(8)(35)(43)x x --(9)2329(53)a y y x -(10)347(53)yz x y +(11)3229(1)a y ax y +(12)(75)(45)m n -+(13)(74)(73)x x ---(14)(92)(91)a b -+-(15)324(14)a x ay -(16)2226(4)xy ay x +(17)2227(53)bc ab c -(18)22328(42)xy z x z xy z +-(19)(61)(119)m n ---(20)325(1)x xy z -二、公式法(21)(55)(55)m n m n +-(22)(22)(22)x y x y +-(23)(79)(79)m n m n ++-+(24)2(521)x +(25)2(215)m n +(26)2(2723)m n -(27)2(2621)m n -(28)2(253)a b +(29)2(1910)m n -(30)(5)(5)x y x y +-三、分组分解法(31)(51)(1)a b --(32)(865)(95)x y z x z -+-(33)2(3)(4)m n x y +-(34)(7)(29)m n +-(35)(75)(29)a b x y ++(36)(710)(61)x y +-(37)(975)(35)a b c a b ++-(38)(752)(95)a b c a b +-+(39)(7)(263)a b a b c+++(40)2(59)(31)x y-+-(41)(57)(56)a b c a b+-+(42)()(2)m n x y-+(43)(6)(47)x y x y z---(44)(87)(25)x y z x y++-(45)2(107)(45)m n x y-+(46)(57)(2)a b c a c--+(47)(23)(23)x z x y z++-(48)(57)(7)a c ab c+-+(49)(356)(76)x y z x z+++(50)2(75)(45)a b-+四、拆添项(51)(235)(237)m n m n+---(52)(413)(41)a b a b+--+(53)(947)(9411)a b a b++-+(54)2222(947)(947)m mn n m mn n++-+ (55)2222(959)(959)m mn n m mn n+---(56)2222(645)(645)a ab b a ab b+---(57)22(73)(73)x x x x++-+(58)2222(927)(927)a ab b a ab b++-+(59)(879)(877)a b a b+--+ (60)(4611)(467)m n m n+--+五、十字相乘法(61)(827)(92)x y x++-(62)(34)(67)a b c a b c++-+ (63)(61)(7)p q p q+-+(64)(62)(75)x y x y+--(65)(654)(455)x y x y-++-(66)(83)(51)x y x y++-(67)(2)(922)x y z x y z-+-+(68)(973)(451)a b a b++--(69)(544)(326)x y z x y z-+--(70)(733)(62)x y x y++++ (71)(44)(874)m n m n+---(72)(857)(274)m n m n--++ (73)(872)(36)x y z x y z+-++ (74)(57)(525)x y x y-+--(75)(725)(755)x y x y+-+-(76)(734)(56)x y z x y z++--(77)(25)(872)a b a b--+ (78)(924)()m n m n---(79)(456)(54)x y z x y z+-++(80)(856)(37)a b a-++六、双十字相乘法(81)(73)(84)x y z x y z-+-+ (82)(574)(425)x y z x y z++--(83)(347)(641)a b a b+--+ (84)(763)(367)x y x y-+-+(85)(472)(823)a b c a b c+++-(86)(757)(23)a b a b+++-(87)(435)(93)a b c a b c+-++ (88)(87)(676)x y x y---+(89)(75)(64)a b c a b c+-++(90)(562)(5)x y x y---+七、因式定理(91)2(2)(51)x x x-++ (92)(1)(51)(53)x x x-++ (93)2(1)(233)a a a+--(94)(2)(65)(65)x x x-+-(95)2(2)(526)x x x+--(96)(1)(43)(5)x x x-+-(97)(2)(3)(53)y y y+-+ (98)2(2)(526)x x x+-+ (99)(2)(34)(43)x x x+-+ (100)2(2)(536)x x x--+。
苏教版初一下《因式分解》好题精选(答案)汇编
因式分解【基础能力训练】一、因式分解1．下列变形属于分解因式的是（）A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mcC．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n）2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（）A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+43．分解因式mx+my+mz=（）A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m（x+y－z）D．m3abc 4．20052－2005一定能被（）整除A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 0095．下列分解因式正确的是（）A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b）6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（）A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－67．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______．8．计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14=_________．二、提公因式法9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（）A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b210．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（）A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m）C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1）11．（－2）2001+（－2）2002等于（）A．－22001B．－22002C．22001D．－212．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（）A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2 13．观察下列各式：（1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1其中可以直接用提公因式法分解因式的有（）A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5）C．（2）（4）（5）（6）D．（2）（3）（4）（5）（6）14．多项式12x2n－4n n提公因式后，括号里的代数式为（）A．4x n B．4x n－1 C．3x n D．3x n－115．分解下列因式：（1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2（2）（m－n）2+2n（m－n）（3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a）（4）a（a－x）（a－y）+b（x－a）（y－a）【综合创新训练】三、综合测试16．若x2（x+1）+y（xy+y）=（x+1）·B，则B=_______．17．已知a－2=b+c，则代数式a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=______ 18．利用分解因式计算：1 297的5%，减去897的5%，差是多少？四、创新应用19．利用因式分解计算：（1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34（3）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21（4）20 062 006×2 008－20 082 008×2 00620．计算：43 222 22n nn++-⨯⨯五、综合创新21．计算：2－22－23－…－218－219+22022．已知2x－y=13，xy=2，求2x4y3－x3y4的值．23．已知：x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+x4+x5+…+x2007的值．24．设n为整数，求证：（2n+1）2－25能被4整除．杨老师对同学们说：“我能猜出你们每一位同学的年龄，不信的话，你们就按下面方法试试：先把你的年龄乘以5，再加5，然后把结果扩大2倍，•最后把算得的结果告诉老师，老师就知道你的年龄了．”杨老师又说：“雨晴，你算出的是多少？”雨晴答：“130”．杨老师马上说：“你12岁”．如果你是杨老师，•当李强同学算出的结果是140时，你会说李强多少岁？答案：【基础能力训练】1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D7．4a2－4ab+b2=（2a－b）28．3149．A 10．C 11．C 12．D 13．C 14．D15．（1）7xyz（8x2－2xy+3yz）（2）（m－n）（m+n）（3）（a－b+c）（m－n+p）（4）（a－x）（a－y）（a+b）【综合创新训练】16．x2+y2解析：x2（x+1）+y（xy+y）=x2（x+1）+y2（x+1）=（x+1）（x2+y2），故B=x2+y2．17．4解析：由a－2=b+c得a－b－c=2，a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=（a－b－c）（•a－b－c）=（a－b－c）2=22=4．18．20 解析：1 297×5%－897×5%=5%（1 297－897）=5%×400=20．19．（1）原式=2 004（2 004－4）=2 004×2 000=4 008 000（2）原式=39×37－39×27=39（37－27）=390（3）原式=1.21×13+1.21×9－1.21×12=1.21×（13+9－12）=1.21×10=12.1（4）原式=2 006×10 001×2 008－2 008×10 001×2 006=020．原式=414222n nn+++-=1－2－3=1－18=7821．原式=220－219－218－…－23－22+2=219－218－…－23－22+2=…=22+2=6．22．2x4y3－x3y4=x3y3（2x－y）=（2x－y）（xy）3把2x－y=13，xy=2代入得83．23．0 解析：分成四个一组，该提公因式的提取公因式代入即可．24．（2n+1）2－25=（2n+1）2－52=[（2n+1）+5][（2n+1）－5]=（2n+6）（2n－4）=2（n+3）×[•2（n－2）]=4（n+3）（n－2），所以能被4整除．【探究学习】假设学生x岁，用老师的办法得到的式子是2（5x+5），把它分解之后得10（x+1），所以老师只要把学生的得数÷10再减去1，即可得到学生的实际年龄，所以，李强13岁．。
苏教版七年级数学下册因式分解习题
七年级下册《第9章因式分解》一、选择题1．下列多项式中，能直接用完全平方式分解因式的是（）A ．x2+2xy﹣y2B．﹣x2+2xy+y2C．x2+xy+y2D．2．将下列多项式分解因式后，结果含有相同因式的是（）①16x5﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x．A ．①②B．③④C．①④D．②③二.填空：3．若100x2+kxy+49y2可以分解成（10x﹣7y）2，则k 的值为．4．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是．5．如果a2﹣8ab+16b2=0，且b=2.5，那么a= ．6．当x=56，y=44时，则代数式的值为．7．已知a+b=，ab=﹣2，则a2+b2= ，（a﹣b）2= ，a3b﹣2a2b2+ab3= ．8．已知a=，b=，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为．三、解答题9．下列多项式能写成一个整式平方的形式吗？若不能，请说明理由．（1）4x2+4x﹣1；（2）1﹣4x﹣4x2；（3）﹣4x+4x2+1；（4）x2+x+1；（5）﹣x+x2﹣；（6）x2+y2﹣xy．10．把下列各式分解因式：（1）4a2+4a+1；（2）1﹣6y+9y2；（3）1+m+；（4）4x2﹣12xy+9y2；（5）++n2；（6）（x+y）2﹣10（x+y）+25；（7）（x﹣y）2+4xy．11、（1）已知x+y=4，xy=2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；（2）已知x=，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．12、已知a2﹣2a+b2+4b+5=0，求（a+b）2012的值．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
专题9.2 因式分解(压轴题专项讲练)(苏科版)(解析版)
专题9.2 因式分解【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，(a1x +c1)(a2x +c2)=a1a2x2+a1c2x +a2c1x +c1c2=a1a x2+(a1c2+a2c1)x +c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)．我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x +c1)(a2 x +c2 )，其中a1 ，c1位于图的上一行，a2 ，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2−x−6就可以分解为(x + 2)(x - 3)．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2−x−6 = ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2x2+5x−7= ；（2）6x2−7xy+2y2= ．【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq +np=b ，pk +qj =e ，mk +nj =d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= (mx + py +j)(nx +qy +k )，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式3x2+5xy−2y2+x+9y−4= ；（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y2−5x+my−24可以分解成两个一次因式的积，求m的值；（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=−1，请写出一组符合题意的x，y的值．【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．解：【阅读与思考】画十字交叉图：∴x2−x−6= (x -3)(x + 2)．故答案是：(x- 3)(x + 2)；【理解与应用】（1）画十字交叉图：∴2x2 + 5x - 7 = (x -1)(2x + 7)，故答案是：(x -1)(2x + 7)；（2）画十字交叉图：∴6x2- 7xy + 2y2 = (2x -y)(3x - 2y)，故答案是：(2x -y)(3x - 2y)；【探究与拓展】（1）画十字交叉图：∴3x2+ 5xy - 2y2+x + 9y - 4 =(x + 2y -1)(3x -y + 4)，故答案是：(x + 2y -1)(3x -y + 4)；（2）如图，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78．∴m的值为：43或－78；（3）∵x2+3xy+2y2+2x+3y=−1，∴x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0，画十字交叉图：∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴x+2y+1=0或x+y+1=0，∵x，y为整数，∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．【思路点拨】利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是否得中项的系数，从而确定适当的“十字”进行因式分解．【解题过程】解：利用十字相乘法，如图，将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：x6−28x3+27=______．【思路点拨】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．【解题过程】解：原式=(x3)2−28x3+27，=(x3−1)(x3−27)，=(x−1)(x2+x+1)(x−3)(x2+3x+9)．故答案为：(x−1)(x2+x+1)(x−3)(x2+3x+9)．3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：a4−4a3+4a2−9=___________．【思路点拨】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．【解题过程】解：a4−4a3+4a2−9=(a4−4a3+4a2)−9=a2(a−2)2−32=(a2−2a−3)(a2−2a+3)=(a−3)(a+1)(a2−2a+3)故答案为：(a−3)(a+1)(a2−2a+3)．4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．【思路点拨】首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．【解题过程】解：x3﹣6x2+11x﹣6＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：6x2−5xy+y2+17x−7y+12=_______．【思路点拨】将原式进行拆解变形为6x2−5xy+y2+8x−4y+9x−3y+12后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.【解题过程】解：6x2−5xy+y2+17x−7y+12=6x2−5xy+y2+8x−4y+9x−3y+12=(2x−y)(3x−y)+4(2x−y)+3(3x−y)+12=(2x−y)(3x−y+4)+3(3x−y+4)=(2x−y+3)(3x−y+4).所以答案为(2x−y+3)(3x−y+4).6．（2023春·七年级课时练习）分解因式：(x+y−2xy)(x+y−2)+(xy−1)2=______ ．【思路点拨】先利用乘法公式展开、合并得到原式=(x+y)2−2(x+y)−2xy(x+y)+(xy)2+2xy+1，再进行分组得到完全平方公式，所以原式=[(x+y)−(xy+1)]2，然后再把括号内分组分解即可．【解题过程】解：原式=(x+y)2−2(x+y)−2xy(x+y)+4xy+(xy)2−2xy+1=(x+y)2−2(x+y)−2xy(x+y)+(xy)2+2xy+1=(x+y)2−2(x+y)(xy+1)+(xy+1)2=[(x+y)−(xy+1)]2=(x+y−xy−1)2=[(x−1)(y−1)]2=(x−1)2(y−1)2．故答案为：(x−1)2(y−1)2．7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：（1）x2−7x+10（2）x2x2−9x+18（3）x2x2−5x−6（4）x2x2−9x−22（5）x23x2+x−2（6）x23x2+x−4（7）x2−12x2+25x−12（8）x2−3x2−x+10（9）x2x2−y2−x−y（10）x2x3+x2+x+1（11）x2a2+4a−9b2+4（12）x2a2−4b2−2a+4b【思路点拨】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用十字相乘法分解因式即可；（5）利用十字相乘法分解因式即可；（6）利用十字相乘法分解因式即可；（7）利用十字相乘法分解因式即可；（8）利用十字相乘法分解因式即可；（9）利用分组分解法分解因式即可；（10）利用分组分解法分解因式即可；（11）利用分组分解法分解因式即可；（12）利用分组分解法分解因式即可．【解题过程】（1）解：x2−7x+10∴x2−7x+10=(x−2)(x−5)；（2）解：x2−9x+18∴x2−9x+18=(x−3)(x−6)（3）解：x2−5x−6∴x2−5x−6=(x+1)(x−6)；（4）解：x2−9x−22∴x2−9x−22=(x+2)(x−11)；（5）解：3x2+x−2∴3x2+x−2=(x+1)(3x−2)；（6）解：3x2+x−4∴3x2+x−4=(x−1)(3x+4)；（7）解：−12x2+25x−12=−(12x2−25x+12)∴原式=−(3x−4)(4x−3)；（8）解：−3x2−x+10=−(3x2+x−10)∴原式=−(x+2)(3x−5)；（9）解：x2−y2−x−y=(x+y)(x−y)−(x+y)=(x+y)(x−y−1)；（10）解：x3+x2+x+1=x2(x+1)+(x+1)=(x2+1)(x+1)；（11）解：a2+4a−9b2+4=a2+4a+4−9b2=(a+2)2−9b2=(a+2+3b)(a+2−3b)；（12）解：a2−4b2−2a+4b=a2−4b2−(2a−4b)=(a+2b)(a−2b)−2(a−2b)=(a+2b−2)(a−2b)．8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：（1）x2−2x3+16x2−24x；（2）x2(a2+b2−c2)2−4a2b2；（3）x2(x2−x−3)(x2−x−5)−3；（4）x2(x+y)3−x3−y3；（5）x2x3−9x+8．【思路点拨】（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．（2）运用公式法进行因式分解．（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．（5）先分组，再提公因式进行因式分解．【解题过程】（1）解：（1）−2x3+16x2−24x＝−2x(x2−8x+12)＝−2x(x−2)(x−6)．（2）(a2+b2−c2)2−4a2b2＝(a2+b2−c2+2ab)(a2+b2−c2−2ab)＝(a+b)2−c2(a−b)2−c2＝(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)．（3）(x2−x−3)(x2−x−5)−3＝(x2−x)2−8(x2−x)+15−3＝(x2−x)2−8(x2−x)+12＝(x2−x−2)(x2−x−6)＝(x+1)(x−2)(x+2)(x−3)（4）(x+y)3−x3−y3＝(x+y)2(x+y)−x3−y3＝x2+y2+2xy(x+y)−x3−y3＝x3+x2y+xy2+y3+2x2y+2xy2−x3−y3＝3x2y+3xy2＝3xy(x+y)．（5）x3−9x+8＝x3−x−8x+8＝x(x2−1)−8（x−1）＝x(x+1)(x−1)−8(x−1)＝(x−1)(x2+x−8)．9．（2023春·七年级课时练习）因式分解：（1）x2a2−4b2+12bc−9c2；（2）x2x2−2x−15；（3）x2x2−y2−4x+6y−5．【思路点拨】（1）利用分组法变形为a2−(4b2−12bc+9c2)后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（2）利用十字相乘法xx×3−5分解因式即可．（3）变形为(x 2−4x +4)−y 2−6y +9后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．【解题过程】（1）解：原式=a 2−(4b 2−12bc +9c 2)=a 2−(2b−3c)2=(a +2b−3c)(a−2b +3c)；（2）解：原式=(x−5)(x +3)；（3）解：原式=(x 2−4x +4)−y 2−6y +9=(x−2)2−(y−3)2=(x +y−5)(x−y +1)．10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：（1）3a (b 2+9)2−108ab 2；（2）2b 3−b 2−6b +5a−10ab +3；（3（4）4x 2−14xy +6y 2−7x +y−2．【思路点拨】（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；（3）先利用公式法分解x 4+14和(x +1)4+14，从而可得(x 1)414x 414的值，再代入计算即可得；（4）先利用十字相乘法分解4x 2−14xy +6y 2，再利用提公因式法进行因式分解即可得．【解题过程】解：（1）原式=3a (b 2+9)2−36b 2=3a(b 2+9+6b)(b 2+9−6b)=3a(b +3)2(b−3)2；（2）原式=(2b 3−b 2)+(5a−10ab )−(6b−3)=b 2(2b−1)−5a (2b−1)−3(2b−1)=(2b−1)(b 2−5a−3)；（3）∵x 4+14=x 2−x 2=x 2+x +2−x(x +1)4+14=(x +1)2+−(x +1)2=(x+1)2+(x+1)+x+1)2−(x+1)=x2+3x2+x+∴(x1)414x414x23x52x2−x12，14+3454=12+3×1+5212−1+12×32+3×3+5232−3+12×52+3×5+5252−5+12=13212×412132×852412=85；（4）原式=(x−3y)(4x−2y)−7x+y−2=(x−3y)(4x−2y)+(x−3y)−8x+4y−2=(x−3y)(4x−2y+1)−2(4x−2y+1)=(4x−2y+1)(x−3y−2)．11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式：（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx（3）a2−b2−x2+y2−2ay+2bx（4）(1+y)2−2x21−y2+x4(1−y)2【思路点拨】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解题过程】解：（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc=(a+2b)2−c(a+2b)=(a+2b−c)(a+2b)；（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx=(ax2+bx2+cx2)+(ax+bx+cx)=(a+b+c)x2+(a+b+c)x=x(x+1)(a+b+c)；（3）a2−b2−x2+y2−2ay+2bx=a2−2ay+y2−(b2+x2−2bx)=(a−y)2−(b−x)2=[(a−y)+(b−x)][(a−y)−(b−x)]=−(x−a−b+y)(x+a−b−y)；（4）(1+y)2−2x21−y2+x4(1−y)2=(1+y)2−2x2(1+y)(1−y)+x4(1−y)2=(1+y)−x2(1−y)2=x2y−x2+y+12．12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：（1）2a(a−1)2−28a2(1−a)+18a(a−1)（2）(x2+3x)2−8(x2+3x)−20（3）4x3−2x2−9xy2−3xy（4）y(y−4)−(m+2)(m−2)【思路点拨】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；（2）利用换元法设x2+3x=t，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．【解题过程】（1）2a(a−1)2−28a2(1−a)+18a(a−1)=2a(a−1)2+28a2(a−1)+18a(a−1)=2a(a−1)(a−1+14a+9)=2a(a−1)(15a+8)；（2）设x2+3x=t，∴原式=t2−8t−20=(t+2)(t−10)∴(x2+3x)2−8(x2+3x)−20=(x2+3x+2)(x2+3x−10)=(x+1)(x+2)(x−2)(x+5)；（3）4x3−2x2−9xy2−3xy=x4x2−2x−9y2−3y=x4x2−9y2−(2x+3y)=x[(2x+3y)(2x−3y)−(2x+3y)]=x(2x+3y)(2x−3y−1)；（4）y(y−4)−(m+2)(m−2)=y2−4y−m2+4=y2−4y+4−m2=(y−2)2−m2=(y−2+m)(y−2−m)．13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2【思路点拨】前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z，b=2z，即可分解．【解题过程】解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2=(x−y)(x+2y)−3xz−12yz−10z2，设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，则(x-y+a) (x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，解得：a=-5z，b=2z，∴x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2=(x−y−5z)(x+2y+2z)．14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：（1）2(x2+6x+1)2+5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1)2（2）x2(y−z)3+y2(z−x)3+z2(x−y)3【思路点拨】（1）先将x2+6x+1和x2+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子x−y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设x2(y−z)3+y2(z−x)3+z2(x−y)3=(x−y)(y−z)(z−x)A x2+y2+z2+B(xy+yz+zx)，利用待定系数法即可求解．【解题过程】（1）解：2(x2+6x+1)2+5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1)2=(2x2+12x+2+x2+1)(x2+6x+1+2x2+2)=9(x2+4x+1)(x2+2x+1)=9(x2+4x+1)(x+1)2（2）解：当x=y时，原式等于0，故原式含有因子x−y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，又因为原式为x，y，z的五次式，故可设x2(y−z)3+y2(z−x)3+z2(x−y)3=(x−y)(y−z)(z−x)A x2+y2+z2+B(xy+yz+zx)令x=−1，y=0，z=1得2A−B=−1，令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2，解得A=0，B=1，所以x2(y−z)3+y2(z−x)3+z2(x−y)3=(x−y)(y−z)(z−x)(xy+yz+zx)．15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当m为何值时，多项式6x2+mxy−5y2−15x+38y−21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积？【思路点拨】先将x项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可．【解题过程】解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy−5y2−15x+38y−21中6x2−15x−21三项应当分解为：(2x−7)(3x+3)，现在要考虑y，只须先改写作(2x−7+ay)(3x+3+by)，然后根据−5y2，38y这两项，即可断定是：ab=−53a−7b=38，解得：a =1，b =−5或a =353，b =−37，又∵m =2b +3a ，∴当a =1，b =−5时，m =−7，当a =353，b =−37时，m =2397．16．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令x+y ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3【思路点拨】（1）将x 2+2x -24写成x 2+（6-4）x +6×（-4），根据材料1的方法可得（x +6）（x -4）即可；（2）①令x -y =A ，原式可变为A 2-8A +16，再利用完全平方公式即可；②令B =m （m -2）=m 2-2m ，原式可变为B （B -2）-3，即B 2-2B -3，利用十字相乘法可分解为（B -3）（B +1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【解题过程】解：（1）x 2+2x -24=x 2+（6-4）x +6×（-4）=（x +6）（x -4）；（2）①令x -y =A ，则原式可变为A 2-8A +16，A 2-8A +16=（A -4）2=（x -y -4）2，所以（x -y ）2-8（x -y ）+16=（x -y -4）2；②设B =m 2-2m ，则原式可变为B （B -2）-3，即B 2-2B -3=（B -3）（B +1）=（m 2-2m -3）（m 2-2m +1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2−y2−x−y；（2）分解因式：9m2−4x2+4xy−y2；（3）分解因式：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1.【思路点拨】（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．【解题过程】（1）解：x2−y2−x−y=(x−y)(x+y)−(x+y)=(x+y)(x−y−1)；（2）解：9m2−4x2+4xy−y2=9m2−4x2−4xy+y2=9m2−(2x−y)2=(3m+2x−y)(3m−2x+y)；（3）解：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1=(4a2−4a2b2)+(4a−4ab2)+(1−b2)=4a2(1−b2)+4a(1−b2)+(1−b2)=(4a2+4a+1)(1−b2)=(4a2+4a+1)(1−b2)=(2a+1)2(1+b)(1−b)．18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．【思路点拨】（1）用十字相乘法分解．（2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解；（3）先分组，再用待定系数法分解．【解题过程】（1）解：x2﹣15x﹣34＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）＝（x﹣17）（x+2）．故答案为：（x﹣17）（x+2）．（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．故选填一组即可．故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）＝（3×1）m2+[3m×（2n﹣1）﹣m（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：x2−4y2−2x+4y=x2−4y2−(2x+4y)=(x+2y)(x−2y)−2(x+2y)=(x−2y)(x+2y−2)这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：（1）mn2−2mn+2n−4；（2）x2−2xy+y2−16；（3）4x2−4x−y2+4y−3．【思路点拨】（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可；（2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可；（3）前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可．【解题过程】（1）解：mn2−2mn+2n−4=mn(n−2)+2(n−2)=(n−2)(mn+2)（2）x2−2xy+y2−16=(x−y)2−42=(x−y+4)(x−y−4)（3）4x2−4x−y2+4y−3=4x2−4x+1−y2+4y−3−1=(4x2−4x+1)−y2−4y+4=(2x−1)2−(y−2)2=[(2x−1)+(y−2)][(2x−1)−(y−2)]=(2x+y−3)(2x−y+1)20．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）因式分解：a2−6ab+9b2−25；（2）因式分解：x2+x−5x−5；(m−n)2=(p−n)(m−p)，求证：2p=m+n．（3）若m、n、p为非零实数，且14【思路点拨】（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．【解题过程】（1）解：a2−6ab+9b2−25=(a−3b)2−25=(a−3b−5)(a−3b+5)；（2）解：x2+x−5x−5=(x2+x)−(5x+5)=x(x+1)−5(x+1)=(x+1)(x−5)；(m−n)2=(p−n)(m−p)，（3）证明：14m2−2mn+n2=4pm−p2−mn+pn，m2−2mn+n2=4pm−4p2−4mn+4pn，m2−2mn+n2+4mn−4pm−4pn+4p2=0，(m2+2mn+n2)−(4pm+4pn)+4p2=0，(m+n)2−4p(m+n)+4p2=0，[(m+n)−2p]2=0，(m+n)−2p=0，∴2p=m+n．。
苏教版因式分解典型例题
因式分解知识梳理知识点1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
知识点2:如果多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，把这个多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
知识点3：运用公式法：两个主要的公式1.平方差公式。
2.完全平方公式。
知识点4：如果提取公因式后还可以运用公式的，要再进行因式分解。
直到在有理数范围内不能分解为止。
知识点5：()()()()() ()()12223244222222222222....a b ab a ba b ab a ba b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=典型例题例1. 分解因式（1）ax²-6ax+9a （2）8（1-p）5+2（p-1）3 （3）-4（2m-3n）2+9(2m+3n)2 (4)25m2n2-30mn+36 (5)9ax2-a3 ☆(6)x2+3x+2（7）t4-16 （8）x4-2x2+1☆例2.证明：当n 为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差作业一、把下列各式因式分解1.n n n a a a ++++1222.ax4-16a二、计算1、（m-2n-3）2 2、（x ²+3x-3）(x ²+3x+3)三、解答下列各题：1.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：()()22322a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。
（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：()()a b a b a ab b ++=++343222. 计算：（1）20062－20052+20042－20032+……+42－32+22－12 （2）（2x ²-1+x ）(2x ²+1-x)(3) 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n(n 为正整数).3.求证：多项式（x²-4）（x²-10x+21）的值一定是非负数.补充练习1.在△ABC中 .三边abc满足a²-16b²-c²+6ab+10ab=0 求证a+c=2b2.若x为任意整数.求证：（7-x）（3-x）（4-x²）的值不大于100详细过程3.将a²+（a+1）²+（a²+a）²因式分解.并分解计算结果计算6²+7²+42²。
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因式分解
知识梳理
知识点1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
知识点2:如果多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，把这个多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
知识点3：运用公式法：两个主要的公式1.平方差公式。
2.完全平方公式。
知识点4：如果提取公因式后还可以运用公式的，要再进行因式分解。
直到在有理数范围内不能分解为止。
知识点5：
()
()
()()() ()()
12
22
32
44
222
222
2222
22
.
.
.
.
a b ab a b
a b ab a b
a b a b a b
a b a b ab
+-=+
-+=+
++-=+
+--=
典型例题
例1. 分解因式
（1）ax²-6ax+9a （2）8（1-p）5+2（p-1）3 （3）-4（2m-3n）2+9(2m+3n)2 (4)25m2n2-30mn+36 (5)9ax2-a3 ☆(6)x2+3x+2
（7）t4-16 （8）x4-2x2+1
☆例2.证明：当n 为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差
作业
一、把下列各式因式分解
1.n n n a a a ++++122
2.ax
4-16a
二、计算1、（m-2n-3）2 2
、（x ²+3x-3）(x ²+3x+3)
三、解答下列各题：
1.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：()()22322a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。
（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
()()a b a b a ab b ++=++34322
2. 计算：（1）20062－20052+20042－20032+……+42－32+22－1
2 （2）（2x ²-1+x ）(2x ²+1-x)
(3) 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]
=(1+x )2(1+x )
=(1+x )3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)
2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n
(n 为正整数).
3.求证：多项式（x²-4）（x²-10x+21）的值一定是非负数.
补充练习
1.在△ABC中 .三边abc满足a²-16b²-c²+6ab+10ab=0 求证a+c=2b
2.若x为任意整数.求证：（7-x）（3-x）（4-x²）的值不大于100
详细过程
3.将a²+（a+1）²+（a²+a）²因式分解.并分解计算结果计算6²+7²+42²。