圆与方程优秀课件
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
圆的标准方程 课件
【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标 准方程. (2)待定系数法： ①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准 方程中,就得到所求的圆的标准方程.
［2 (3)］2 ［ 3 (3)］2 5, | ON | (2 5)2 (3 2)2 34＞5, | OQ | (2 4)2 (3 7)2 20＜5,
所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)2>4,解得a2>1,即a<-1 或a>1
【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起 到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆与方程ppt课件
解的唯一性
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
圆的标准方程公开课一等奖课件
例题1
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
圆的标准方程 课件(48张)
()
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．
()
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心坐标是(2，3)，半径是 9．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当 m＝0 时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心为(－2，－3)，半径为 3．
类型 2 待定系数法求圆的标准方程
【例 2】 (对接教材人教 B 版 P99 例 2)求下列各圆的标准方程． (1)圆心在 y＝0 上且过两点 A(1，4)，B(3，2)； (2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)．
[解] (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为 r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ∵圆心在 y＝0 上，故 b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2． 又∵该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m 一定表示圆吗？ [提示] 不一定．当 m＞0 时，表示圆心为 C(a，b)，半径为 m的 圆； 当 m＝0 时，表示一个点 C(a，b)； 当 m＜0 时，不表示任何图形．
1234 5
3．圆心为点 P(－2，3)，并且与 x 轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 C [因为圆心 P(－2，3)到 x 轴的距离为 3，且圆与 x 轴相切， 所以圆的半径为 3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
二、内容标准 1.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定 两个圆的方程,判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标 法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研 究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学 生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.
直线 AB 的斜率 kAB= 2 5 =-7,……………………………………………………………………4 分 1 0
因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 3 = 1 (x- 1 ),…………………………………………6 分 27 2
即 x-7y+10=0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0.……………………………8 分
规范解答:法一 设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2.…………………………………………………………4 分 因为 A(0,5),B(1,-2,),C(-3,-4)都在圆上, 所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有
(0 a)2 (5 b)2 r2,
a 3,
(1
a)2
(2
3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
《圆的参数方程一》课件
在物理学中，参数方程常用于描述周期性运动，如简谐振动、圆 周运动等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
4.1.2 圆的一般方程 课件(35张)
求圆的一般方程
【例 2】 求经过两点 A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的 四个截距之和为 2 的圆的方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1＋x2＝－D； 令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1＋y2＝－E；
C.x－y－1＝0
D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1，
即 x－y＋1＝0.]
4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
11 4
[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝ 5－m＝32，∴m＝141.]
1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的
条件．
标准方程
一般方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
[跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同， ∴它不能表示圆． (2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项． ∴它不能表示圆． (3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．
高中数学必修二《第四章圆与方程》课件
PART 01
► 问题 1 圆的定义和确定圆的几何要素 (1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合；( )
(2)确定圆的几何第要素4是6圆讲的半│径．问( 题)思考
[答案] (1)错 (2)错
[解析] (1)圆是一个平面图形，必须是在平面上到定点的距离 等于定长的点的集合．
(2)确定圆的几何要问素题有两思个考，一个是圆心、一个是半径．
[答案](1)(x＋2)2＋y2＝2 (2)(x－3)2＋y2＝2
[解析] (1)根据题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝2(a<0)，∵ 直线 x＋y＝0 与圆相切，
∴ |a2| ＝第2，4得6a讲＝－│2，要∴圆点的方探程究为(x＋2)2＋y2＝2.
(2)∵直线 x－y－1＝0 与圆切于点(2,1)，∴圆心在过切点且 垂直于直线 x－y－1＝0 的直线上，该直线为 x＋y－3＝0，∵圆 过点(4,1)，(2,1)，∴圆心在这两点的垂直平分线 x＝3 上，圆心 为(3,0)，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
究 可以使用一般式方程、标准方程，以及通过圆心是三角形两边
的垂直平分线的交点的方法求解．
[答案](1)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 (2)x2＋y2－4x－2y－20＝0
[解析] (1)方法 1：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
4＋－32＋2D＋E－3＋F＝0，
则
第46讲 │ 要点探究 －22＋－52＋－2D＋－5E＋F＝0，
(2＋2cosθ－8)2＋(2＋2sinθ)2 ＝80－8cosθ， ∴当 cosθ＝1 时 Smin＝72；当 cosθ＝－1 时 Smax＝88.
[点评] 圆的方程非常适合进行三角换元，三角换元后的 x，y
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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解 因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 (x,0,0),
PP1 x2 2232 x211,
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x1, 所求点为 (1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
新课讲授
外离:两圆没有公共点,并且一个圆上的点
都在另一个圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有惟一公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫 两圆外切.
新课讲授
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫 两圆内切.
根据两点间距离公式：P 1P 2x2x12y2y12. 则点M、A间的距离为：M Axa2yb2.
即： pM |M|A r
(xa)2(yb)2r
(xa)2(yb)2r2
新课讲授
问题
(xa)2(yb)2r2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
直线与圆的方程的简单应用
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
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课堂 小结
课堂 练习
课后 作业
课堂练习
例1:定圆⊙O半径为3cm，动圆⊙P半径为 1cm.
当两圆 内外切 时,OP为 cm？点P在 怎样的图形上运动?
当两
圆相
切时，
ＯＰ
P
为多
O
少？
课堂练习
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离 为到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程.
返回
直线、圆的位置关系
新课讲授
一、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相交，有两个公共点 （2）直线与圆相切，只有一个公共点 （3）直线与圆相离关系
认真观察
新课讲授
观察结果
把 P2 的横坐标 x2 代入圆的方程的 y3.86
答：支柱 A2 P2 的高度约为3.86m。
图2
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空间直角坐标系
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课堂小结
空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
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平面直角坐标系
圆的方程
坐标系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
分析：建立图2所示直角坐标系，只需求出P2 的纵
坐标，就可的出支柱 A2 P2
的高度。 P2
解：建立如图2所示的直角坐标系，是圆形在Y轴
上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r，那
图1
么圆的方程是 x2yb2r2
代入P 0,4,B 1,0 0得 b1.0 5,r21.4 52
所以圆的方程是 x2y 1.5 0 21.5 4 2
圆与方程优秀课件
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直线与圆 有怎样的位置
关系？
圆与圆的 位置关系是什么？
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4、1 圆与方程 4、2 直线、圆的位置关系 4、3 空间直角坐标系
新课讲授 圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
新课讲授
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
新课讲授
三、直线与方程的应用
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，下面通过例题来 说明。 例：如图1是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高 OP=4m,建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01）。
PP1 x2 2232 x211,
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x1, 所求点为 (1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
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外离:两圆没有公共点,并且一个圆上的点
都在另一个圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有惟一公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫 两圆外切.
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相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫 两圆内切.
根据两点间距离公式：P 1P 2x2x12y2y12. 则点M、A间的距离为：M Axa2yb2.
即： pM |M|A r
(xa)2(yb)2r
(xa)2(yb)2r2
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问题
(xa)2(yb)2r2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
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空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
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例1:定圆⊙O半径为3cm，动圆⊙P半径为 1cm.
当两圆 内外切 时,OP为 cm？点P在 怎样的图形上运动?
当两
圆相
切时，
ＯＰ
P
为多
O
少？
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例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离 为到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程.
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一、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相交，有两个公共点 （2）直线与圆相切，只有一个公共点 （3）直线与圆相离关系
认真观察
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把 P2 的横坐标 x2 代入圆的方程的 y3.86
答：支柱 A2 P2 的高度约为3.86m。
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分析：建立图2所示直角坐标系，只需求出P2 的纵
坐标，就可的出支柱 A2 P2
的高度。 P2
解：建立如图2所示的直角坐标系，是圆形在Y轴
上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r，那
图1
么圆的方程是 x2yb2r2
代入P 0,4,B 1,0 0得 b1.0 5,r21.4 52
所以圆的方程是 x2y 1.5 0 21.5 4 2
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直线与圆 有怎样的位置
关系？
圆与圆的 位置关系是什么？
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4、1 圆与方程 4、2 直线、圆的位置关系 4、3 空间直角坐标系
新课讲授 圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
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特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
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三、直线与方程的应用
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，下面通过例题来 说明。 例：如图1是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高 OP=4m,建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01）。