数学物理方程-谷超豪

解:
此时所受外力为阻力F
(x)
=
k
∂u ∂t
,因而有
T
∂2u ∂t2
−
ρ
∂2u ∂x2
=
−k
∂u ∂t
假设固定端为x = 0,有u(0, t) = 0;
对于弹性支承端x = l,有
∂u ∂x
+
σu
= 0.
x=l
6. 若F (ξ),G(ξ)均为其变元的二次连续可导函数,验证F (x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11).
第二章 热传导方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
第三章 调和方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
t
=
0
:
v
=
(h
−
x)ϕ(x),
∂v ∂t
=
(h
−
x)ψ(x)
因此
v(x, t)
=
1 2
((h
−
x
+
at)ϕ(x − at) + (h
−
x
−
at)ϕ(x + at))
+
1 2a
x+at
(h − ξ)ψ(ξ)dξ,
x−at
从而
u(x, t)
=
1 2(h − x)
((h
−
x
+
at)ϕ(x
−
at)
+
(h
−
x
−
at)ϕ(x
+
at))
+
1 a
x+at
(h − ξ)ψ(ξ)dξ
x−at
.
2. 问初始条件ϕ(x)与ψ(x)满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成?
解: 由达朗贝尔公式的推导可知,
G(x)
=
ϕ(x) 2
+
1 2a
x
ψ(ξ)dξ + C
x0
而左传播波由G(x + at)构成,要使只有右传播波,则应有G(x) ≡ 常数,即G (x) = 0,所以所满足的
u|x−at=0 = F (0) + G (2x) = ϕ (x)
u|x+at=0 = F (2x) + G (0) = ψ (x)
从而F (x) = ψ
x 2
− G (0) , G (x) = ϕ
x 2
− F (0) , 又因为u(0, 0) = ϕ(0) = ψ(0),于是F (0) +
G(0) = ϕ(0) = ψ(0).因此
,
其中h 为圆锥的高.
证明: 此时S(x) = S0
1
−
x h
2
,其中S0为圆锥枢轴的底面积.根据第1题的推导,即得所证.
图 1-2 图示
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它自身重力的作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出 此线的微小横振动方程.
-2-
第一章 波动方程
解: 根据弦的微小横振动方程,有
约束条件为
aϕ (x) + ψ (x) ≡ 0
3. 利用传播波法,求解波动方程的∂∂古2tu2沙=(Ga2ou∂∂rx2su2a,t)问题
u|x−at=0 u|x+at=0
= =
ϕ ψ
(x) (x)
, ,
(ϕ
(0)
=
ψ
(0))
.
解: 方程的通解为 u(x, t) = F (x − at) + G(x + at),利用定解条件,可得
∂2v ∂t2
=
a2
∂2v ∂x2
-3-
1.2 习题选讲
因此, 根据达朗贝尔公式, v(x, t)的通解可写为 v(x, t) = F (x − at) + G(x + at),从而
u(x, t)
=
F (x − at) + G(x h−x
+
at)
(2) 根据上述变换, v(x, t)所满足的初始条件为
(x
+
∆x,
t)
−
E
(x)
S
(x)
∂u ∂x
(x,
t)
=
∂ ∂x
E
(x∗)
S
(x∗)
∂u ∂x
(x∗,
t)
∆x
-1-
1.2 习题选讲
其中x∗ ∈ (x, x + ∆x).约去∆x并令∆x → 0,即得
∂ ∂t
ρ
(x)
S
(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
(x)
S
(x)
∂u ∂x
当S(x)为常数时，即为
∂ ∂t
证明:
如图建立坐标系,选取杆上一段微元(x, x + ∆x)
,则微元两端的相对伸长分别为
∂u ∂x
(x,
t)
和
∂u ∂x
(x
+
∆x,
t)
.
假设杆的横截面面积为S
,则微
元两端
所受拉
力分别为E(x)
∂u ∂x
(x, t) S(x)
和E(x
+
∆x)
∂u ∂x
(x
+
∆x, t) S(x + ∆x)
.
因此所受合力为E(x
u(x, t) = F (x − at) + G(x + at) = ϕ
x + at 2
+ψ
x − at 2
− ϕ (0) .
4. 对非齐次波动方程的初值问题(2.5),(2.6),证明:当f (x, t)不变时,
(1) 如果初始条件在x轴的区间[x1, x2]上发生变化,那么对应的解在区间[x1, x2]的影响区域以外 不发生变化;
类似的,
∂2u ∂x2
=
(t2
−
3x2 x2 −
y2)5/2
+
t2 − x2 − y2 −3/2 ,
∂2u ∂y2
=
(t2
−
3y2 x2 −
y2)5/2
+
t2 − x2 − y2 −3/2 ,
代入即得所证.
§2. 达朗贝尔公式、波的传播
1. 证明方程
∂ ∂x
1
−
x h
2 ∂u ∂x
=
1 a2
1
−
x h
解: 参见第二节. 7. 验证u (x, y, t) =
t2
1 − x2
−
在锥t2 y2
−
x2
−
y2
>
0中满足波动方程
∂2u ∂t2
=
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
.
解: 显然,
∂u ∂t
=
− (t2
−
t x2 −
y2)3/2 ,
∂2u ∂t2
=
(t2
3t2 − x2 − y2)5/2
−
t2 − x2 − y2 −3/2
数学物理方程习题讲义
苏海军
山东大学数学学院
-2-
摘 要
本讲义所收录习题基于高等教育出版社谷超豪等编著的《数学物理方程》（第二 版）第一章至第四章。
习题解答尚处于完善过程中,作者水平有限,其中难免有疏漏与不足之处,敬请谅解.
目录
目录
第一章 波动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 习题选讲
§1. 方程的导出、定解条件
1. 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x, t) 表示静止时在x 处的点在时刻t 离开
原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x, t) 满足方程
∂ ∂t
ρ
(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
,
其中 ρ 为杆的密度,E 为杨氏模量.
(2)
端点自由：此时两个端点无约束,根据上题,拉力E(x)
∂u ∂x
(x,
t)
S
=
0
,即
∂u ∂x
(0, t)
=
∂u ∂x
(l, t)
=
0;
(3) 端点固定在弹性支承上：此时端点所受外力与弹性支承的变形成比例.若支承的弹性系数为k
,则支承对杆的左端点x
=
0
处的作用力为E(0)
∂u ∂x
(0,
t) S
,且其正向与x
轴方向相反,因此有
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
S
=
ku(0,
t),
或写为
−
∂u ∂x
+
σu
= 0;
x=0
其中σ = k/ES.
类似的,对x = l 端,有
−
∂u ∂x
+
σu
= 0.
x=l
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
E
∂ ∂x
1
−
x h
2 ∂u ∂x
=ρ
1
−
x h
2
∂2u ∂t2
ρ
∂2u ∂t2
=
∂ ∂x
T
(x)
∂u ∂x
其中T (x)为弦的内部张力.在本题中,T (x) = ρg(l − x) ,故有
∂2u ∂t2
=
g
∂ ∂x
(l
−
x)
∂u ∂x
.
5. 一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小 的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.
+
∆x)
∂u ∂x
(x + ∆x, t) S(x + ∆x) −
E(x)
∂u ∂x
(x,
t)wk.baidu.com
S(x),且正向与坐标轴相同.
图 1-1 图示
设x¯
为微元重心,则重心处加速度为
∂2u ∂t2
(x¯,
t),由牛顿第二定律得,
ρ
(x¯)
S
(x¯)
∆x
∂2u ∂t2
(x¯,
t)
=
E
(x
+
∆x)
S
(x
+
∆x)
∂u ∂x
(2) 在x轴区间[x1, x2]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1, x2]的决定区域中解的数值.
证明: (1) 根据非齐次问题解的表达式可知,影响区域为
{(x, t) |t 0, x1 − at x x2 + at }
ρ
(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
,
2. 在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件.
解: 设杆的两个端点坐标分别为0 和l .
(1) 端点固定：此时两个端点无位移,即 u(0, t) = u(l, t) = 0 ;
- ii -
第一章 波动方程
第一章 波动方程
1.1 学习要求
(1) 理解弦振动方程的物理意义，定解条件的物理意义. (2) 理解波的左右传播,理解依赖区间,决定区域和影响区域的概念,掌握齐次化原理. (3) 理解波动方程分离变量法解的物理意义,掌握非齐次边界条件的齐次化方法. (4) 理解膜振动方程的物理意义，掌握球平均法和降维法. (5) 熟练掌握达郎贝尔公式和分离变量法的推导过程,会应用这两种方法求解定解问题. (6) 熟练和非齐次边界条件的齐次化方法.
2
∂2u ∂t2
,
的通解可以写成
u(x, t)
=
F (x
−
at) h
+ −
G(x x
+
at)
其中h > 0为常数, F , G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题:
t
=
0
:
v
=
(h
−
x)ϕ(x),
∂v ∂t
=
(h − x)ψ(x)
解: (1) 令v(x, t) = (h − x)u(x, t),则 v(x, t) 满足方程