--函数思想在解题中的应用

函数思想在解题中的应用

摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。 关键词：函数思想；解题；应用；

引言

函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明．

1、 利用函数的单调性解题

单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛．

例1 解不等式05110)

1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 51

25)12(33+>+⋅++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+=

∵3

x 及x 5均为增函数．

∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()1

2(

x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+1

2． 解得11<<-x 或2-

又因)(m f 在R 上是单调递增函数，故有x x 312-=+．解得51-=x ．经检验知51-=x 是方程的解．

规律概括：不等式问题往往可通过构造函数的方法将问题转化为函数的图像或单调性问

题．

２、利用函数的奇偶性解题

奇偶性是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．

例３已知：

4040221052345234)57473()57473(x a x a x a a x x x x x x x x ++++=-++---++ 试求4020a a a +++ 的值．

分析：设52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f ．即可知)()(x f x f =-即)(x f 是偶函数,从而使问题获解．

解：构造函数52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f . ∵

52345234]5)(7)(4)(7)(3[]5)(7)(4)(7)(3[)(--+-+-------+-+-=-x x x x x x x x x f 52345234)57473()57473(-++---++=x x x x x x x x

)(x f =

∴)(x f 为偶函数．

∴404022104040332210x a x a x a a x a x a x a x a a ++++=++-+-

从而039531=====a a a a

∴1024)57473()57473()1(554020=-++---++==+++f a a a

规律概括：仔细观察目标式的结构特征，运用构造函数的方法，将问题转化为函数问题是一种常用的解题策略．本题正是通过构造函数，并利用函数的奇偶性从而使问题顺利获解．

3、 利用函数值域解题

求函数的值域,涉及到众多的数学知识,构成了中学数学的重要横向知识体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式,在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围,从而避免了对参数的繁琐讨论． 例4 当m 为何值时,方程02122

=--+m x x 有实根 分析：x x m 2122-+=则方程有根的条件,即转化为函数的值域问题． 解：方程变形为x x m 2122-+=． 令)0(12,212≥-=-=t t x x t 则

则4

5)21(122

2+--=++-=t t t m ∵4

545)21(,02≤+--≥t t 则 ∴452≤m 解得2

525≤≤-m 即当2525≤≤-

m 时，原方程有实根． 规律概括：如果函数用解析式表示)(x f y =，则解析式可看作关于y x ,的方程，反之，方程0)(=-y x f 又可看作函数)(x f y =，于是使关于x 的方程0)(=-y x f 有解的y 的范围，即是函数)(x f y =的值域．

４、利用一次函数的保号性解题

某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数)(x f 在区间],[b a 上函数值的符号问题,从而使问题获解．

例５ 设c b a ,,为绝对值小于１的实数，求证：01>+++ca bc ab

证明：∵11,11,111)(1<<-<<-<<-+++=+++c b a bc a c b ca bc ab 且

∴当0=+c b 时，有0112>-=+++c ca bc ab ．

当0≠+c b 时，

构造函数1)()(+++=bc x c b x f ，

由0)1)(1(1)1(>++=+++=c b bc c b f ；

0)1)(1(1)1(>--=++--=-c b bc c b f ．

知对11<<-x ，都有0)(>x f 成立，

所以0)(>a f ，即01>+++ca bc ab ．

规律概括：不等式问题通常可以通过构造一次函数的方法将问题转化为一次函数在某一区间上的函数值的符号问题从而使问题得以解决．

５、利用二次函数的性质解题

二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如q mn p n m ==+,的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决．