常微分方程初值问题数值解法

常微分方程初值问题数值解法

朱欲辉

（浙江海洋学院数理信息学院, 浙江舟山316004）

[摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法.然而在生产实

际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正

公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点.

[关键词]：常微分方程;初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计

Numerical Method for Initial-Value Problems

Zhu Yuhui

(School of Mathematics, Physics, and Information Science,

Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004) [Abstract]:In the course about ordinary differential equations, the methods for analytic solutions of some typical equations are often discussed. However, in scientific research, the problems are very complex and the analytic solutions about these problems can’t be e xpressed explicitly. In this paper, some numerical methods for the initial-value problems are introduced. these methods include Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method and some linear multistep method (e.g. Adams formula and predicted-corrected formula). The stability and convergence about the methods are presented. Some numerical examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theoretical analysis.

[Keywords]:Ordinary differential equation; Initial-value problem; Numerical method; Convergence; Stability;Error estimate

1前言

自然界和工程技术中的很多现象, 例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等, 都可以抽象成为一个常微分方程初值问题. 其真解通常难以通过解析的方法来获得, 至今有许多类型的微分方程还不能给出解的解析表达式, 一般只能用数值的方法进行计算. 有关这一问题的研究早在十八世纪就已经开始了, 特别是计算机的普遍应用, 许多微分方程问题都获得了数值解, 从而能使人们认识解的种种性质及其数值特征, 为工程技术等实际问题提供了定量的依据.

关于常微分方程初值问题的数值计算方法, 许多学者己经做了大量的工作. 1768年, Euler 提出了关于常微分方程初值问题的方法, 1840年, Cauchy 第一次对初值问题进行了仔细的分析, 早期的常微分方程数值解的问题来源于天体力学. 在1846年, 当Adams 还是一个学生的时候, 和Le Verrier 一起根据天王星轨道中出现的己知位置, 预测了它下一次出现的位置. 1883年, Adams 提出了Adams 一Bashforth 和Adams 一Moulton 方法. Rull (1895年)、Heun(1900年)和Kutta (1901年)提出Runge.Kutta 方法.

二十世纪五十年代, Dahlquist 建立了常微分方程数值解法的稳定性理论, 线性多步法是常微分方程初值问题的一种数值方法. 由于通常的数值方法, 其绝对稳定区域是有限的, 不适用于求解刚性常微分的初值问题. 刚性微分方程常常出现于航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等一系列与国防和现代化建设密切相关的高科技领域, 具有无容置疑的重要性. 因此, 刚性微分方程的研究工作早在二十世纪五十年代就开始了, 1965年, 在爱丁堡举行的IFIP 会议后, 更进一步地认识刚性方程的普遍性和重要性. 自从六十年代初, 许多数值分析家致力于探讨刚性问题的数值方法及其理论, 注意到刚性问题对传统数值积分方法所带来的挑战. 这一时期, 人们的研究主要集中在算法的线性稳定性上, 就是基于试验方程y y C λλ=∈，，（）数值解的稳定性研究. 在此领域发表了大量的论文, 取得了许多重要的理论成果. 例如, 1963年, Dahlquist 给出A 稳定性理论, 1967年, Widlund 给出()A α—稳定性理论, 1969年, Gear 将A —稳定性减弱, 给出刚性(Stiff )稳定性理论, 并找到了当k 6≤的k 步k 阶的刚性稳定方法, 1969年Dill 找到刚性稳定的7阶和8阶以及1970年Jain 找到刚性稳定的9阶到11阶, 但可用性没有检验. 这些稳定性理论和概念都是在线性试验方程的框架下推导出的, 从严格的数学意义上来说, 这些理论只适用于常系数线性自治系统. 但从实用的观点来说, 这些理论无疑是合理和必要的, 对刚性问题的算法