小波变换去噪基础知识整理

1.小波变换的概念

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？

有几种定义小波(或者小波族)的方法:

缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。

高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。

缩放函数:小波由时域中的小波函数(即母小波)和缩放函数(也称为父小波)来定义。

小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。

对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。

小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。

3.小波变换分类

小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT) 和连续小波转换(CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。

4.小波变换的优点

从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：

(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)

(2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性

(3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)

(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)

另:

1) 低熵性变化后的熵很低;

2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性

3) 去相关性域更利于去噪;

4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。

小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。

5.小波变换的科学意义和应用价值

小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领网域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

6.图像去噪的目的和原理

现实中的数字图像在数字化和传输过程中常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响，称为含噪图像或噪声图像。减少数字图像中噪声的过程称为图像去噪。

图像降噪的主要目的是在能够有效地降低图像噪声的同时尽可能地保证图像细节信息不受损失，。图像去噪有根据图像的特点、噪声统计特性和频率分布规律有多种方法，但它们的基本原理都是利用图像的噪声和信号在频域的分布不同，即图像信号主要集中在低频部分而噪声信号主要分布在高频部分，采取不同的去噪方法。传统的去噪方法，在去除噪声的同时也会损害到信号信息，模糊了图像。

7.传统去噪方法有哪些？原理，优缺点。

（1）均值滤波器

采用邻域平均法的均值滤波器非常适用于去除通过扫描得到的图象中的颗粒噪声。领域平均法有力地抑制了噪声,同时也由于平均而引起了模糊现象,模糊程度与领域半径成正比。几何均值滤波器所达到的平滑度可以与算术均值滤波器相比,但在滤波过程中会丢失更少的图象细节。谐波均值滤波器对“盐”噪声效果更好,但是不适用于“胡椒”噪声。它善于处理像高斯噪声那样的其他噪声。逆谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声,但它有个缺点,就是必须要知道噪声是暗噪声还是亮噪声,以便于选择合适的滤波器阶数符号,如果阶数的符号选择错了可能会引起灾难性的后果

（2）自适应维纳滤波器

它能根据图象的局部方差来调整滤波器的输出,局部方差越大,滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像f^(x,y)与原始图像f(x,y)的均方误差e2=E[(f(x,y)-f^(x,y)2]最小。该方法的滤波效果比均值滤波器效果要好,对保留图像的边缘和其他高频部分很有用,不过计算量较大。维纳滤波器对具有白噪声的图象滤波效果最佳。

（3）中值滤波器