§4.9厄密算符的基本性质

§4.9厄密算符的基本性质

一、厄密算符

设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧

满足*

*

()u F vdx F u vdx ∧

∧

=⎰

⎰

，式中x 代表u

和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧

为厄密算符或自轭算符。

我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x

∂

=-∂是厄密算符 证明：

*

**

()x u p vdx u i

vdx i u vdx x

x

∧

+∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

∂

∂

=-=-∂∂⎰

⎰⎰

*

*** =[()]

=|i u v dx u vdx x x

i u v i u vdx x

+∞

+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞

∂∂--∂∂∂

-+∂⎰⎰⎰

因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边

第一项为0，而第二项可写为

*

*()()x i

u vdx p u vdx x

+∞

+∞-∞

-∞∂-=∂⎰

⎰，所以有

*

*()x x u p vdx p u vdx ∧

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

故动量算符x p 是厄密算符

二. 厄密算符的性质

1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ=

证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即：

Fu u λ=

由厄密算符的定义式可得：*

*()u F udx F u udx ∧∧

=⎰⎰⇒**()u udx u udx λλ=⎰⎰，即

***u udx u udx λλ=⎰⎰

由此得：*λλ=即λ是实数。

2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值

表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。

那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢?

设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值F 趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为

22*2*()()()()F F F F d F F d ττ∆=-=ψ∆ψ=ψ∆∆ψ⎰⎰

因为F 是一个厄密算符，F 是一个实数，因此F ∆也是一个厄密算符。因此

2*2**2

()()()()() =()0

F F d F F d F F d F F d ττττ∆=ψ∆ψ=ψ∆∆ψ=∆ψ∆ψ-ψ≥⎰⎰⎰⎰

当每次测量结果都相同，测量力学量F 所得结果完全确定时，涨落2()F ∆=0。 这种状态称为力学量算符F 的本征态。在这种状态下()0F F F λ-ψ=⇒ψ=ψ

λ是算符F 的本征值，ψ是属于λ的本征函数。因此只要力学量要取确定值，

这个确定值就必定是算符的本征值，这时波函数必定是属于该本征值的本征函数。

当体系的波函数ψ是算符F 的本征函数时，我们说体系处于力学量F 的本征态ψ，此时测量F 的结果必定是ψ所属的本征值。当体系的所处的态不是F 的本征态时，测量F 的结果必定是F 所用本征值中的一个。F 的每一个本征值以各自的几率出现，几率的分布由体系所处的状态确定。 3. 厄密算符本征函数的正交性和完全性

(1)函数正交性的意义

如果两函数1ψ和2ψ满足关系式： ⎰=02*

1τψψd

式中积分是对变数的全部区域进行的，则我们称1ψ和2ψ两函数相互正交。 （2）厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 设12,,

,n u u u 是厄密算符∧

F 的本征函数，对应的本征值为12,,

,n λλλ互不相

等。我们要证明*0().k l u u d k l τ=≠⎰ 下面我们来证明

已知：k k k F u u λ∧

= （1） l l l F u u λ∧

= （2） 且当l k ≠时， k l λλ≠ （3）

又因为∧

F 是厄密算符，所以它的本征值,k l λλ等均为实数，因此有

*

*

k k k F u u λ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭

（4） 以l u 右乘上式两边，并对全空间积分，得：

()

*

*ˆk l k k l Fu u d u u d τλτ=⎰⎰ （5）

以*k u 左乘（2）两边，并积分得：

**ˆk l l k l

u Fu d u u d τλτ=⎰⎰ （6） 由厄密算符的定义，有： ()

*

*

ˆˆk l k l u Fu d Fu u d ττ=⎰⎰，即（5）

，（6）两式的左边相等，因而其右边也相等，即： **k k l l k l u u d u u d λτλτ=⎰⎰

或： ()*0k l k l u u d λλτ-=⎰ （7） 由于 0≠-l k λλ

所以： *0k l u u d τ=⎰. 证毕！

厄密算符本征函数的正交性与本征函数的归一化联系起来，可表示为

⎰=mn n m x x δψψ)()(*

分立谱

)()()(*

λλδψψλλ'-=⎰'

x x 连续谱

这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值n m λλ,的。若属于同一本征值的本征态有s 个，即s 度简并，则这s 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力学量∧

F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量

∧

Q 的态函数，如果是，那么对∧

∧

Q F ,的本征值是否还简并？如球谐函数