§4.9厄密算符的基本性质
浅谈厄米算符
∧
p
厄米性充要条件[J].河北理工学院学报，
2005,27(3)：102—104.
[5] 王娟，杨为民，张曙．动量算符厄米性的讨论[J].云南师范大学学报，2010,30(1)：60—61. [6] 曾谨言．量子力学教程(第二版)[M].北京：科学出版社，2008. [7] 汪德新．量子力学(第三版)[M].北京：科学出版社，2008.
5.1 量子力学中的常见算符
量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算 符以及同位旋算符，这里我们不讨论。从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算 符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可対易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛 的算符，以期得到普遍的结论。
exp(−ip x 1
/
h)
p x
exp(ip x 2
/
h)dx
∫ p
=2 2π h
exp[−i( p 1
−
p )x 2
/
h ]dx
= p2δ ( p1 − p2 )
∧
∫ ϕ ( x)( p ψ ( x))∗ dx x
∫ 1
∧
= 2π h
exp(ip x 2
/
h)(−
p x
)
exp(−ip x 1
/
F =F
而
∧
F
†
即先取复共轭再转置。故算符
∧
F
取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符。对应地，某矩阵的各矩
阵元取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符对应的矩阵——厄米矩阵。它是实空间中对称矩阵（矩阵元
∧
∧
∧
∧∗
厄米算符的本征值是实数
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj
Ajini
i 1
可以满足正交归一化条件：
j 1,2,, f
ff
nj * njd
所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我 们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个 新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交 归一化的本征函数。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
例如：体系Hamilton 算符
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i1 i1
j, j 1,2,, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
x pˆ pˆ x i
高二物理竞赛课件：厄米算符本征函数的正交性
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。
证： F d * Fˆ
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
d (Fˆ )*
证：
根据假定在任意态下有：
[ d * Fˆ ]*
F*
F F* 即
d * Fˆ d (Fˆ )*
则有 k k l d l kld
即
k l d 0
无论 Fˆ 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。
① 分立谱：假定本征函数
k 已归一化： k l d 1
k l d
kl
1，当k l时， 0，当k l时。
② 连续谱：本征函数 k
可归一化1 * Fˆ 1]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
[ d 1 * Fˆ 1]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
②平均值为实数的算符必为厄米算符。
③厄米算符的本征值必为实数。
当
p
p
时，
对于动量的本征函数归一化为
p
(r
)
p
(r)d
0
我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数 p 和 p 相互正交。
一、定义
一般地，如果两个函数 1 和 2
12d 0
满足关系式
式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称 1 和 2 相互正交。
量子力学中的厄米算符与厄米矩阵
量子力学中的厄米算符与厄米矩阵量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中的粒子如何运动和相互作用。
在量子力学中，厄米算符和厄米矩阵是非常重要的概念，它们在量子系统的描述和求解中起着关键的作用。
厄米算符是指在量子力学中满足厄米共轭关系的算符。
在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，而厄米算符则是描述可观测物理量的算符。
一个算符A 是厄米算符，意味着它满足以下关系：A† = A其中A†表示算符A的厄米共轭。
这个关系可以理解为算符A的厄米共轭等于它自己。
厄米算符的一个重要性质是它的本征值都是实数。
这是因为对于厄米算符A和它的本征态|ψ⟩，我们有：A|ψ⟩= a|ψ⟩其中a是A的本征值。
将上式两边取厄米共轭，我们得到：⟨ψ|A† = a*⟨ψ|由于A† = A，我们可以得到：⟨ψ|A = a*⟨ψ|这说明a和a*是相等的，即a是实数。
这个性质使得厄米算符在量子力学中具有重要的地位。
厄米矩阵是厄米算符在某个基下的矩阵表示。
在量子力学中，我们通常使用矩阵来描述算符和态矢量。
对于一个厄米算符A，我们可以选择一个合适的基，使得A在这个基下的矩阵表示是厄米矩阵。
厄米矩阵的定义是它的转置等于它的厄米共轭，即：A† = A厄米矩阵的本征值也都是实数。
这是因为对于一个厄米矩阵A和它的本征矢量|ψ⟩，我们有：A|ψ⟩= a|ψ⟩将上式两边取厄米共轭，我们得到：⟨ψ|A† = a*⟨ψ|由于A† = A，我们可以得到：⟨ψ|A = a*⟨ψ|这说明a和a*是相等的，即a是实数。
这个性质与厄米算符的性质是一致的。
厄米算符和厄米矩阵在量子力学中的应用非常广泛。
它们可以用来描述和求解量子系统的能级和态矢量，以及它们之间的相互作用。
在量子力学中，我们经常需要求解本征值问题，即找到一个算符的本征值和对应的本征态。
对于一个厄米算符或厄米矩阵，我们可以保证它的本征值是实数，这使得本征值问题的求解变得相对简单。
除了本征值问题，厄米算符和厄米矩阵还可以用来描述量子系统的演化。
白痴物理学——量子力学、厄米算符本征函数的正交性
白痴物理学——量子力学——厄米算符本征函数的正交性厄米算符具有本征值和本征函数。
厄米算符的本征函数具有正交性这个基本性质。
1、什么是厄米算符？满足下面这个条件的就是厄米算符ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡。
注：u 是一个函数v 是另一个函数*表示共轭符号，具体来说，就是在虚数单位i 前面加上—（负号，读作fu4声）。
虚数就是带有单位i 的数。
i 的平方等于-1（实数负一）。
如i 的共轭为-i 。
如P= -（ih ▽）/（2π）。
则*P =（ih ▽）/（2π）。
d 表示求微分τ（读作套）表示一个非常小的体积，理解为体积元，说白了就是一个极小的体积。
具体问题里是包裹着某个特定点的空间。
⎰表示积分，通常与d 搭配使用，也可以单独使用。
一般这样表示：“⎰Adx ”。
式子中A 是某个函数，dx 表示函数分成x 份，⎰表示将这个函数分成x 份后，再将这x 份加起来。
ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡这个厄米算符不好记忆，可以这么理解。
小三（指的是u ）拿着一把刀（用*表示），闯进了夫妻（∧F 和v ）的家里（家指的是⎰d τ，⎰和d τ中间是空的 ），要夫妻（∧F 和v ）俩离婚，结果丈夫（∧F ）就和小三（u ）在一起了（“（∧F u ）”），并且拿着小三u 的刀（*），变成*)(∧Fu ，一起来对付自己的老婆（v ）。
2什么叫本征值？什么叫本征函数量子力学中若λϕϕ=∧F则称λ为本征值，ψ叫做本征函数。
注：∧F 是一张算符。
算符是将一种函数变成另一种函数的对应关系。
类似于函数，但函数是建立因变量和自变量的关系。
原理类似，作用对象不同，大同小异而已。
如医生之于兽医。
ψ是某个函数。
λ是本征值，一般来说，是一个数。
可以使实数，可以是虚数。
3、什么是正交性。
正交性是厄米算符的一种基本性质。
有什么用，我也不知道，就是量子力学这门游戏的玩法。
动量算符的不同本征值的两个本征函数ψ1和ψ2相互正交（记下来）。
厄米算符平均值为实数
厄米算符平均值为实数一、什么是厄米算符厄米算符是量子力学中的一个重要概念。
它是由物理学家玻尔和海森堡在20世纪初提出的。
厄米算符在量子力学中有着重要的应用，特别是在描述物理量的平均值时，厄米算符可以保证结果为实数。
二、厄米算符的定义厄米算符可以简单地理解为自己的共轭转置等于自己的算符。
设算符A的厄米共轭算符为A†，则A是厄米算符的条件是A=A†。
三、厄米算符的性质1.厄米算符的本征值是实数厄米算符的一个重要性质是它的本征值是实数。
设厄米算符A的本征值为α，本征态为|φ⟩，则有A|φ⟩=α|φ⟩。
假设α是复数，则有A|φ⟩=α|φ⟩=α*|φ⟩，这与A=A^†的定义相违背，因此α必须为实数。
2.厄米算符的本征态之间正交设A的两个本征态分别为|φ1⟩和|φ2⟩，对应的本征值分别为α1和α2。
根据厄米算符的定义，有：A|φ1⟩=α1|φ1⟩A|φ2⟩=α2|φ2⟩将第一个式子左乘|φ2⟩的厄米共轭，第二个式子左乘|φ1⟩的厄米共轭，有：⟩φ2|A|φ1⟩=α1⟩φ2|φ1⟩⟩φ1|A|φ2⟩=α2⟩φ1|φ2⟩将上述两式相减，得到：⟩φ2|A|φ1⟩-⟩φ1|A|φ2⟩=(α1-α2)⟩φ2|φ1⟩由于α1和α2是实数，所以α1-α2也是实数，因此上述等式左边为实数，而右边的内积的模长为实数，所以左边必须也为实数。
因此，上述等式左边为复数减去复数，只有等于零才能保证是实数，因此得到结论⟩φ2|φ1⟩=0。
综上所述，厄米算符的本征态之间正交。
四、厄米算符的平均值计算在量子力学中，我们可以使用厄米算符来描述物理量。
对于一个量子态|ψ⟩，其对应的厄米算符A的平均值可以通过如下公式计算：⟩A⟩=⟩ψ|A|ψ⟩其中，⟩ψ|表示量子态|ψ⟩的厄米共轭转置。
假设|ψ⟩可以分解为A的本征态的线性组合，即|ψ⟩=∑c_i|φ_i⟩将上式代入平均值公式，得到：⟩A⟩=⟩ψ|A|ψ⟩=⟩ψ|A∑c_i|φ_i⟩=∑c_i⟩ψ|A|φ_i⟩由于厄米算符的本征态之间正交，上式中除了当i=j时，⟩ψ|A|φ_i⟩的值才不为零。
厄米算符
箱内总能量
E = T +V = P2 + 0 = P2 2m 2m
a
(2) 总能量算符和方程：
总能量算符
Hˆ
=
−
h2 2m
d2 dx 2
方程
Hˆ ψ
=
Eψ
⇒
−
h2 2m
d2 dx 2
ψ
(
x
)
=
Eψ (x)
(3) 解方程：
d2 dx 2
ψ
(x)
=
−
2Em ψ
h2
(x)
=
−[
2mE ]2ψ (x)
h
ψ (x) = c1 cos
[ ] 厄米算符 ∫ Fˆu(x) * v(x)dx = ∫ u * (x)Fˆv(x)dx
Hermite
(
u
Aˆ
v
)*
= ( Aˆ
v
)*
u
=
v Aˆ H
u
≡
v Aˆ u
实数
复数 a=a*
厄米矩阵 A=AH
本征值为实数
厄米算符
ψ Aˆ ψ * ≡ ψ Aˆ ψ
Ψ Ψ∗ 共轭
|Ψ〉 ψ H = ψ
转置共轭
n x , n y , n z = 1,2 L
若是立方势箱 a = b = c , 能量会出现简并
态
111 → 121,211,112 → 221,212,122 → 311,131,113 → L
na2+nb2+nc2= 3, 6, 9, 11→…
隧道效应
(二) 线性谐振子
(1)
势能函数形式
F = −kx = − dV dx
厄米算符
厄米算符量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。
算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。
文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性质以及与经典的对应，接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。
1.厄米算符的定义及性质量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。
因此，要弄清物理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要。
此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被认为主要是对算符的限制[1]，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述（后文将细述）。
其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。
厄米算符具有一些重要的性质：（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;（4）厄米算符的本征函数具有完备性。
2.量子力学中力学量用厄米算符来描述量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。
“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用[2]。
其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用（ψ 已经归一化）来表示；其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。
基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。
3.厄米算符与经典的对应我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵呢？从厄米算符是定义出发：但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量[3]。
量子力学期末考试题解答题
1。
你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明.（简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件.首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法；其次,Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如:散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2。
什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的?答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律:a。
对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率，当照射光频率时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出；b。
每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻观测到光电子.爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
（3)光子能量与其频率成正比,频率越高，对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答:对于一般情况，如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：（是复数）也是这个体系的一个可能状态。
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics
量子力学中的量子力学中的量子力学中的厄米算符与厄米共轭
量子力学中的量子力学中的量子力学中的厄米算符与厄米共轭厄米算符与厄米共轭在量子力学中扮演着重要的角色。
厄米算符是指满足一定条件的算符，而厄米共轭则是与厄米算符相对应的运算。
它们的性质在理解和描述量子力学问题时起着至关重要的作用。
1. 厄米算符量子力学中的厄米算符是指满足以下条件的算符A：```A|φ⟩= a|φ⟩or⟨ψ|A|φ⟩ = a⟨ψ|φ⟩```其中，|φ⟩和|ψ⟩是任意态矢量，a 是一个复数。
厄米算符的定义表明，对于某个态矢量|φ⟩，经过厄米算符作用后，得到的新态矢量仍然是|φ⟩的某个常数倍。
换句话说，厄米算符的本征态可以按照某个特定的复数进行缩放。
2. 厄米共轭厄米算符的厄米共轭由符号†表示，例如A† 表示厄米算符A的厄米共轭。
厄米共轭定义如下：```(A†)|φ⟩= (A|φ⟩)†or⟨ψ|(A†)|φ⟩ = (⟨φ|A|ψ⟩)†```厄米共轭运算是对算符进行的操作，它通过对算符中的每个元素取转置并对每个元素取复共轭得到新的算符。
厄米共轭与厄米算符之间存在重要的关系，通过利用厄米共轭，我们可以推导出厄米算符的性质和特征。
3. 厄米算符的性质厄米算符具有以下性质：3.1 谱定理根据量子力学的谱定理，一个厄米算符的本征值都是实数。
这意味着在给定厄米算符的本征方程A|φ⟩= a|φ⟩中，本征值 a 必定是实数。
3.2 唯一性一个算符与其厄米共轭相等的充分必要条件是，它是一个厄米算符。
在量子力学中，厄米算符具有唯一性，即一个算符的厄米共轭只能是它本身。
3.3 厄米共轭的运算性质厄米共轭有以下运算性质：- (aA + bB)† = a*A† + b*B†- (A†)† = A- (AB)† = B†A†其中a和b是复数，A和B是厄米算符。
4. 厄米算符的应用厄米算符在量子力学的许多领域中都有广泛的应用，如：4.1 本征值问题厄米算符的本征值问题是量子力学中最基本的问题之一。
通过求解本征值问题，可以得到量子系统的能级和对应的本征态。
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，而可观测量是用来描述这些粒子状态的物理量。
在量子力学中，可观测量通过厄米算符来描述。
一、厄米算符的定义和性质在量子力学中，厄米算符是一种具有特定性质的算符。
一个算符A 是厄米的，当且仅当它满足以下条件：1. A的本征值是实数：对于任意的本征态|a⟩，存在一个实数a，使得A|a⟩=a|a⟩。
2. A的本征态之间是正交的：对于不同的本征值a和b，如果a≠b，则本征态|a⟩和|b⟩是正交的，即⟨a|b⟩=0。
3. A的本征值是彼此不同的：对于不同的本征态|a⟩和|b⟩，如果它们对应的本征值相同，就意味着|a⟩和|b⟩是相同的本征态。
由于厄米算符的这些性质，它们在量子力学中被广泛地用于描述可观测量。
二、厄米算符的作用厄米算符作用于量子态时，会得到该量子态所对应的本征值和本征态。
假设A是一个厄米算符，|a⟩是其对应的本征态，对应的本征值为a。
那么有：A|a⟩ = a|a⟩其中，|a⟩表示本征态，a表示本征值。
这个方程说明，对于量子态|a⟩，经过厄米算符A的作用后，得到的结果是该量子态本身或者一个比例因子。
这样，我们可以通过测量A来得到量子态的本征值。
三、厄米算符的例子1. 动量算符：在量子力学中，动量算符P是一个重要的厄米算符。
它描述了粒子的动量，其本征态是平面波，本征值则是粒子的动量大小。
2.位置算符：位置算符X也是一个厄米算符。
它描述了粒子的位置，其本征态是位置本征态，对应的本征值是粒子在空间中的位置。
3.能量算符：能量算符H也是一个厄米算符。
它描述了系统的能量，其本征态是能量本征态，对应的本征值是系统的能量。
这些厄米算符的性质和作用在量子力学的实际应用中发挥着重要的作用。
四、厄米算符的重要性厄米算符在量子力学中的重要性不可忽视。
首先，由于其本征值是实数，通过测量厄米算符可以得到实验测量结果的物理解释，为实验提供了理论基础。
厄米算符的本征值和本征函数
d r
*
（3.3.1）
*
它具有下述性质：
iii
i
2
dr 0
（3.3.2）
ii
若 C 1 、 2 为常数 C
C 1 1 C 2 2 C 1 1 C 2 2
1 O
2
O 1
2
2
2
O 1 O
1
因此， 必为厄米算符。得证。 O
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质④ 的证明：
O O
n
O n O m
n
m
m
且 O n O m ( m n ) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * O 是实数， m O m 。本征方程的共轭方程为
O
* *
m
O m
Om
*
m
由
O
m
n
m
n
的厄米性质，O m n 及O
m
O
n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(O m O n )
m
n 0
又因 O n O m
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令
1 1e
ia
,
2
2e
ib
（ a , b 为任意实数）
代入（3）式后得
e
i (b a )
量子力学中的厄米算符
量子力学中的厄米算符量子力学作为一门独特的物理学理论，涉及到许多独特且深奥的概念和数学工具。
其中，厄米算符是量子力学中的重要概念之一，与量子力学体系的可观测量以及物理系统的性质密切相关。
本文将介绍厄米算符的定义、性质以及它们在量子力学中的重要应用。
一、厄米算符的定义在量子力学中，厄米算符是指满足厄米共轭条件的算符。
对于一个算符A，如果满足以下条件：A† = A其中†表示厄米共轭操作，即将算符的转置与复共轭进行运算，那么A就是一个厄米算符。
二、厄米算符的性质1. 厄米算符的本征值是实数：对于一个厄米算符A，它的本征方程可以表示为：A|a⟩ = a|a⟩其中|a⟩表示A的本征态，a表示对应的本征值。
由于厄米算符的厄米共轭条件，可以证明厄米算符的本征值一定是实数。
2. 厄米算符的本征态之间正交：对于一个厄米算符A，如果它的两个不同本征值对应的本征态分别为|a⟩和|b⟩，那么它们之间满足正交条件：⟨a|b⟩ = 0这也是由厄米算符的厄米共轭条件所决定的。
3. 厄米算符的本征态构成完备集：对于一个厄米算符A，如果它的本征值谱集合是离散的，并且存在一组对应的正交归一本征态集合，则这个本征态集合构成了一组完备基。
也就是说，对于任意一个态矢量|ψ⟩，都可以表示为本征态的线性组合：|ψ⟩= ∑ cₙ |n⟩其中|n⟩表示厄米算符A的本征态，cₙ表示展开系数。
三、厄米算符的应用厄米算符在量子力学中有着广泛的应用，下面将介绍其中的两个重要应用。
1. 可观测量和厄米算符：在量子力学中，物理量可以由厄米算符来描述。
例如，动量算符和能量算符都是厄米算符。
对于一个可观测量，其可能的取值即为对应厄米算符的本征值。
通过测量，可以得到该物理系统在特定状态下的本征值，从而获得物理量的具体数值。
2. 厄米算符的时间演化：在量子力学中，物理系统的时间演化可以由厄米算符来描述。
根据薛定谔方程，体系的态随时间的演化可以由厄米算符的本征态和本征值决定。
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
厄米算符的本征值与本征函数
19
四、角动量的本征值与本征函数（3）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(1)
设本征值与本征函数为 和 lz ，本征方程为：
i
lz
ln
ilz /
解为： () C exp( ilz / ) 其中 C 为归一化常数
当 2 ，系统将回到原来的位置，由波函数的
单值性要求，有： ( 2 ) () ，即：
A ，可能
出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋
于一个确定值，即平均值（期望）：A ， A *Aˆd 3r 每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定
义为： Aˆ 2 ( Aˆ A)2 *( Aˆ A)2d 3r
因为 Aˆ 是厄米算符，A 必为实数，因此 Aˆ 也是厄米算符 Aˆ ( Aˆ A) Aˆ A Aˆ A Aˆ
exp( ilz ( 2 ) / ) exp( ilz / ) e(2ilz /) 1 lz m, m 0,1,2 是量子化的
相应的本征函数： m () Ceim , m 0,1,2 20
四、角动量的本征值与本征函数（4）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(2)
由归一化条件，有：
根据前述的推论2：Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0
7
三、厄米算符的本征值与本征函数(2)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 若 Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 ，涨落为零，其物理含
义为：测量 A 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量
Aˆ 和
(r)，若Aˆ＋
Aˆ ，即Aˆ
~ Aˆ *
~
则 A 2 *( Aˆ)2d 3r * Aˆ *( Aˆ )d 3r
动量算符的厄密性
由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。
（2）动量本征方程
i
p
(r
)
p
p
(r
)
i i
x
y
p(r )
p
(
r
)
px
p(r )
py
p
(r)
i
z
p
(
r
)
pz
p
(
r
)
其 分 量 形 式 ：
I. 求解
采用分离变量法，令：
p
(r
)
(
x)
(
y)
(z)
代入动量本征方程
i
p
(
r
)
p
p
(
r
)
且等式两边除以该式，得：
i
(x)
i
( y)
d ( x )
dx
d ( y )
dy
px py
i d ( z ) ( z ) dz
的位置矢量为 r 的粒子绕
Lˆ rˆ pˆ
O 点的角动量
ir
(I) 直角坐标系
角动量平方算符
Lˆ2 Lˆ x Lˆ y Lˆ z
( ypˆ z zpˆ y )2 (zpˆ x xpˆ z )2 ( xpˆ y ypˆ x )2
pd
c2
d c2 L3 1
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射：任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。
物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。
如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。
光子可以被物质发射和吸收。
黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。
2、光电效应（条件）：当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。
临界频率v0满足（1）存在临界频率v0，当入射光的频率v<v0时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。
只有在v≥v0时，即使光的强度较弱，但只要光照到金属表面上，几乎在10-9s的极短时间内，就能观测到光电子；（2）出射的光电子的能量只与入射光的频率v有关，而与入射光的强度无关；（3）入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电子的数目。
3、由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有C是光速，m0是光子的静质量，为零，因此得到光子的能量和动量的关系是4、康普顿效应的推导（P7）：康普顿效应还证实：在微观的单个碰撞事件中，能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。
5、薛定谔方程：6、概率流守恒定律概率流密度7、一维无限深势阱（P31）8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。
一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足（为奇数）（为偶数）即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。
9、谐振子（P35）10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。
但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。
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§4.9厄密算符的基本性质一、厄密算符设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧满足**()u F vdx F u vdx ∧∧=⎰⎰，式中x 代表u和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧为厄密算符或自轭算符。
我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x∂=-∂是厄密算符 证明：***()x u p vdx u ivdx i u vdx xx∧+∞+∞+∞-∞-∞-∞∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰**** =[()]=|i u v dx u vdx x xi u v i u vdx x+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞∂∂--∂∂∂-+∂⎰⎰⎰因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边第一项为0，而第二项可写为**()()x iu vdx p u vdx x+∞+∞-∞-∞∂-=∂⎰⎰，所以有**()x x u p vdx p u vdx ∧+∞+∞-∞-∞=⎰⎰故动量算符x p 是厄密算符二. 厄密算符的性质1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ=证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即：Fu u λ=由厄密算符的定义式可得：**()u F udx F u udx ∧∧=⎰⎰⇒**()u udx u udx λλ=⎰⎰，即***u udx u udx λλ=⎰⎰由此得：*λλ=即λ是实数。
2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。
根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。
那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢?设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。
测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。
一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值F 趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为22*2*()()()()F F F F d F F d ττ∆=-=ψ∆ψ=ψ∆∆ψ⎰⎰因为F 是一个厄密算符，F 是一个实数，因此F ∆也是一个厄密算符。
因此2*2**2()()()()() =()0F F d F F d F F d F F d ττττ∆=ψ∆ψ=ψ∆∆ψ=∆ψ∆ψ-ψ≥⎰⎰⎰⎰当每次测量结果都相同，测量力学量F 所得结果完全确定时，涨落2()F ∆=0。
这种状态称为力学量算符F 的本征态。
在这种状态下()0F F F λ-ψ=⇒ψ=ψλ是算符F 的本征值，ψ是属于λ的本征函数。
因此只要力学量要取确定值，这个确定值就必定是算符的本征值，这时波函数必定是属于该本征值的本征函数。
当体系的波函数ψ是算符F 的本征函数时，我们说体系处于力学量F 的本征态ψ，此时测量F 的结果必定是ψ所属的本征值。
当体系的所处的态不是F 的本征态时，测量F 的结果必定是F 所用本征值中的一个。
F 的每一个本征值以各自的几率出现，几率的分布由体系所处的状态确定。
3. 厄密算符本征函数的正交性和完全性(1)函数正交性的意义如果两函数1ψ和2ψ满足关系式： ⎰=02*1τψψd式中积分是对变数的全部区域进行的，则我们称1ψ和2ψ两函数相互正交。
（2）厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
设12,,,n u u u 是厄密算符∧F 的本征函数，对应的本征值为12,,,n λλλ互不相等。
我们要证明*0().k l u u d k l τ=≠⎰ 下面我们来证明已知：k k k F u u λ∧= （1） l l l F u u λ∧= （2） 且当l k ≠时， k l λλ≠ （3）又因为∧F 是厄密算符，所以它的本征值,k l λλ等均为实数，因此有**k k k F u u λ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭（4） 以l u 右乘上式两边，并对全空间积分，得：()**ˆk l k k l Fu u d u u d τλτ=⎰⎰ （5）以*k u 左乘（2）两边，并积分得：**ˆk l l k lu Fu d u u d τλτ=⎰⎰ （6） 由厄密算符的定义，有： ()**ˆˆk l k l u Fu d Fu u d ττ=⎰⎰，即（5），（6）两式的左边相等，因而其右边也相等，即： **k k l l k l u u d u u d λτλτ=⎰⎰或： ()*0k l k l u u d λλτ-=⎰ （7） 由于 0≠-l k λλ所以： *0k l u u d τ=⎰. 证毕！厄密算符本征函数的正交性与本征函数的归一化联系起来，可表示为⎰=mn n m x x δψψ)()(*分立谱)()()(*λλδψψλλ'-=⎰'x x 连续谱这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值n m λλ,的。
若属于同一本征值的本征态有s 个，即s 度简并，则这s 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力学量∧F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量∧Q 的态函数，如果是，那么对∧∧Q F ,的本征值是否还简并？如球谐函数),(ϕθlm Y ，它是角动量平方算符∧2L 的本征函数，对应的本征值2)1( +l l 有)12(+l 度简并，但),(ϕθlm Y 也是角动量的z 分量 z L ∧的本征函数，对应的本征值m 。
不过2)1( +l l 和 m 只能对应一个本征函数),(ϕθlm Y ，简并消除了，正交问题自然解决了（这涉及到共同本征函数问题，我们后面会讲）。
(3) 厄密算符的本征函数组成完全系①F 具有分立本征值谱情形设 F 为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数组成的集合为{}()n u x ,对应的本征值为{}n λ，我们可以证明，任一函数 u(x)可按 {}n u (x)展开为级数()()n n nu x C u x =∑ （8）本征函数的这种性质称为完备性。
n C 为展开系数。
n C 与x 无关，利用 ()n u x 的正交归一性, 用 *()nu x 乘等式（8）两边，对x 在整个区域积分可得**()()()()m n m n n mn m nnu x u x dx C u x u x dx C C δ===∑∑⎰⎰即: *()()n n C u x u x dx =⎰设u(x)是归一化的，归一化条件为 ：*()()1u x u x dx =⎰ （9） 将（8）式代入（9）式得：*****2*1()()()()()() =n n m m m n n m nmnmm n mnnnmnu x u x dx C u x C u x dx C C u x u x dxC C C δ====∑∑∑∑⎰⎰⎰∑∑∑讨论:（1）、当 ()u x 是算符 F 的某一本征函数时,即 i u(x)u (x)=，此时 1C i=，其它系数为零，这时测量力学量的测量值必是 i λ。
（2）当()u x 不是 F 的本征函数时, ()u x 可按本征函数展开()()n n nu x C u x =∑, 测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为 i λ的几率为 2i C（3） 波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数 ()u x 所描写的状态时,测量力学量F 所得的数值必定是算符 F 的本征值之一,测得 i λ的几率是 2i C 。
②F 具有连续的本征值谱情形如果算符F 具有连续的本征值谱，()u x λ是属于本征值λ的本征函数，则展开式中的求和应换为积分。
()()u x C u x d λλλ=⎰ （10）C λ为展开系数。
C λ与x 无关，利用 ()u x λ的正交归一性（归一为δ函数）, 用*'()u x λ乘等式（10）两边，对x 在整个区域积分**'''()()()()(')u x u x dx C u x u x dxd C d C λλλλλλλδλλλ==-=⎰⎰⎰⎰即: *()()C u x u x dx λλ=⎰设()u x 是归一化的，归一化条件为 ：*()()1u x u x dx =⎰ （11）将（10）式代入（11）式得：*''''2'1()()()()'[()()]' (')'u x u x dx C u x d C u x d dx d C C u x u x dx d d C C d C d λλλλλλλλλλλλλλλλδλλλλ====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰我们说具有这种性质的本征函数n u (x)或u (x)λ组成完全系。
简而言之，厄密算符的本征函数组成完全系，这些本征态的线性组合足以描述任何态。
在这里我们不做严格证明，有兴趣的同学，请看相关参考书。
三、 力学量算符的平均值.1. 力学量算符F 本征值组成分立谱的情形对于任一个状态 u(x),将其按力学量算符F 的本征函数集 {}()n u x 展开可得 ()()n n nu x C u x =∑其中()n u x 是对应于本征值为n λ 的算符F 的本征函数，并且()n u x 是归一化的。
则在态u(x)中，力学量F 的平均值是*****2*()()()()()() =n n m m m n m n m nmnmm m n mn n nnmnF u x Fu x dx C u x F C u x dx C C u x u x dxC C C λλδλ====∑∑∑∑⎰⎰⎰∑∑∑即出现本征值 n λ的几率为 2n C 。
2. 本征值组成连续谱的情形对于一态 u(x),将其按某力学量的本征函数集 ()u x λ展开 ()()u x C u x d λλλ=⎰()u x λ是归一化的，并且它是对应于本征值为λ 的算符F 的本征函数。
则在态u(x)中，力学量F 的平均值是*''''2'()()()()''[()()]' '(')'F u x Fu x dx C u x d F C u x d dx d C C u x u x dx d d C C d C d λλλλλλλλλλλλλλλλλλδλλλλλ====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰出现本征值 λ的几率为 2C λ。