第五章概率与正态分布
03第五章_概论及概论分布
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率分布中的均匀分布与正态分布
概率分布中的均匀分布与正态分布在我们探索和理解这个充满不确定性的世界时，概率分布就像是一把神奇的钥匙，帮助我们解开许多复杂现象背后的谜题。
在众多概率分布中，均匀分布和正态分布是两个非常重要且具有代表性的类型。
均匀分布，顾名思义，就是在某个范围内，每个值出现的概率是相同的。
想象一下，你有一个长度固定的线段，从 0 到 10 。
在这个线段上，每个点被选中的可能性都一样。
这就好比是随机地在这个线段上扔一个飞镖，无论飞镖落在哪个位置，其概率都是相等的。
均匀分布在实际生活中有不少应用。
比如说，在一个特定时间段内，公交车的到达时间可能是均匀分布的。
假设每 10 分钟会有一辆公交车到达，那么在这 10 分钟内的任何一个时刻，公交车到达的概率都是相同的。
再比如，抽奖活动中的号码选择，如果是完全随机且没有任何偏向性，那么每个号码被抽中的概率也可以看作是均匀分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数。
对于区间a, b 上的均匀分布，概率密度函数 f(x) 就等于 1 ／（b a) ，只要 x 在 a, b 这个区间内，否则 f(x) 就等于 0 。
接下来，我们聊聊正态分布。
正态分布又被称为高斯分布，它的形状就像一个钟形曲线，中间高，两边逐渐降低并且对称。
正态分布在自然界和社会现象中极其常见。
比如说，人们的身高、体重、考试成绩等等，往往都近似地服从正态分布。
为什么会这样呢？这是因为很多因素共同影响着这些变量，当这些因素相互独立并且作用大致相同的时候，最终的结果就会呈现出正态分布的特征。
正态分布有两个重要的参数，均值μ 和标准差σ 。
均值决定了曲线的中心位置，也就是分布的中心；标准差则决定了曲线的宽度和扁平程度。
标准差越小，曲线就越“瘦高”，表示数据更加集中在均值附近；标准差越大，曲线就越“矮胖”，数据的分散程度就越大。
在实际应用中，正态分布的用处非常广泛。
例如，在质量控制中，产品的某个质量指标如果服从正态分布，那么我们可以根据均值和标准差来判断产品是否合格。
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
概率分布的正态分布与标准化
概率分布的正态分布与标准化正文：概率分布的正态分布与标准化概率分布是概率论中的重要概念，它描述了某个随机变量在不同取值下的概率分布情况。
而正态分布是一种常见的概率分布形式，它在统计学和自然科学领域具有广泛的应用。
本文将对正态分布进行介绍，并讨论与其相关的标准化方法。
一、正态分布的定义与特点正态分布又称为高斯分布，它的概率密度函数具有以下形式：f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的特点如下：1. 正态分布是一个钟形曲线，呈现对称性，左右两端的概率较小，中间部分的概率较大。
2. 均值决定了正态分布的位置，标准差决定了正态分布的形状。
3. 68%的数据位于均值附近的一个标准差范围内，95%的数据位于两个标准差范围内，99.7%的数据位于三个标准差范围内。
二、正态分布的应用由于正态分布具有较好的性质和广泛的应用，因此被广泛应用于各个领域。
以下是正态分布在统计学和自然科学领域中的一些应用：1. 统计学分析：许多统计学方法假设数据服从正态分布，如t检验、方差分析等。
2. 财务分析：股票价格变化、货币汇率波动等现象一般服从正态分布。
3. 生物学研究：身高、体重、智力水平等人体特征往往具有正态分布。
4. 工程领域：产品质量、机械故障率等参数可以用正态分布进行建模。
三、正态分布的标准化在实际应用中，为了更好地利用正态分布的性质，常常需要对其进行标准化处理。
标准化可以将不同均值和标准差的正态分布转化为具有均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准化的方法如下：1. Z分数标准化法：对于给定的随机变量X，其标准化后的变量Z可以通过以下公式计算：Z = (X - μ) / σ其中，μ是原始数据的均值，σ是原始数据的标准差。
标准化后，Z的均值为0，标准差为1，可以直接用于比较和分析。
2. 标准正态分布表：标准正态分布表是根据标准正态分布计算出来的，可以用于计算标准化后的分布中某个区间的概率值。
第五章概率与正态分布
合计
1000
相对密度
0.003 0.021 0.090 0.295 0.330 0.201 0.054 0.005 0.001 1
正态概率分布（正态分布）
f (x)
密 度
f (x)
1
(x)2
e 2 2
2
( x )
68.3％ 95.4％
99.7％
3 2 2 3
（1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％ 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.1＝0.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。
（2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z＝1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.42507＝0.07493 具体人数＝200×0.07493＝15（人）
正面向上 次数
2048 6019 12012
频率
0.5069 0.5016 0.5005
50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全 混合在一起，石子中有25粒蓝色，20粒绿 色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出 一粒石子，计算以下概率：
（1）P(红色石子)
（2）P(蓝色或红色石子)
在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴 和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情 况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是 多少？是女婴的概率是多少？
• 在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需 要设计随机变量。
– 检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为{合格品，不合
样本点
X的取值
格品合格}，品这时可设计一个随机变0量X如下：
正态分布的概率密度与分布函数修ppt
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
0.5987 (1 0.8944) 0.4931.
所以, 在三次测量中至少有一次误差得绝对值不超过
30m 的概率 p 1 (1 0.4931)3 0.8698.
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落
在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
解:
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
[例2] 已知某机械零件的直径 (mm)服从正态分布 N (100 ,0.62 ) , 规定直径在 100 1.2(mm) 内为合格品. 求这种机械零件得不合格品率、 解: 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径(mm) , 则X ~ N (100 ,0.62 ) ,按题意, 不合格品率为
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为:
X ~ N (0 ,1).
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
正态分布得概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线得特征:
1
2
1.关于直线 x 对称；
2.在 x 处达到最大值；
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的分布之一。
它的形状呈钟形曲线，被广泛应用在各个领域，由于其重要性，也被称为“常态分布”或“高斯分布”。
本文将对正态分布的概念、性质以及使用方法进行介绍。
一、概念和性质正态分布的概念最初由德国数学家高斯提出，并且在很多实际问题中都能够很好地适应数据分布。
正态分布的概率密度函数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$其中，$x$ 表示随机变量的取值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布的均值决定了其分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状的宽度。
正态分布具有以下几个重要的性质：1. 正态分布是对称的。
其概率密度函数关于均值对称，即在均值两侧的概率是相等的。
2. 均值、中位数和众数相等。
在正态分布中，这三个统计量都落在分布的中心位置。
3. 标准差决定形状。
标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。
4. 经典的“68-95-99.7”法则。
在正态分布中，约有68%的数据点落在一个标准差内，约有95%的数据点落在两个标准差内，约有99.7%的数据点落在三个标准差内。
二、正态分布的应用正态分布在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例：1. 自然科学与工程领域。
在物理学、化学、生物学、电子工程等领域，很多现象都服从正态分布。
例如，测量的误差、物理实验的结果、机械零件的尺寸等都可以用正态分布进行建模和分析。
2. 金融与经济学。
正态分布在金融与经济学中有着广泛的应用。
股票价格、汇率变动、经济指标等的波动性通常都可以用正态分布进行建模。
3. 社会科学。
正态分布在统计学、心理学、人口学等社会科学领域也有重要应用。
例如，智力测验、身高分布、心理测量等都可以用正态分布来描述。
4. 质量管理与过程控制。
在企业的生产与服务过程中，正态分布可以用来分析质量数据，判断生产过程是否稳定，并进行质量改进与控制。
概率论与数理统计正态分布
2 0.8413 1 0.6826 P( X 2) P( 2 X 2 ) F( 2 ) F( 2 )
(2) (2) 2(2) 1
2 0.9772 1 0.9544
• 正态分布标准化
非标准的正态分布可以通过标准化步骤
化为标准正态分布，具体如下：
令 t u,则t u,dt du,有
x
F(x)
1
e
(t )2 2 2
dt
x
1
e
2 2
du
(
x
)
2
2
即得标准化公式
F(x) ( x )
• 例2 已知随机变量X ~ N（1，4）,求P（X 1.6）
• 例3 某电池的寿命X ~ N（， 2），其中 300
小时， 35小时，求电池寿命在250小时以
上的概率。
• 例4 某零件长度X服从正态分布X ~ N（50，0.752）， 若规定零件长度在50 1.5mm之间为合格品， 某车间领来100个这种零件，问大约有几个 不能使用？
• 正态分布
• 正态分布的一般概念 • 标准正态分布 • 正态分布标准化
• 3 规则
• 正态分布的一般概念
定义9 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
( x )
其中 与为常数（ 0），则称随机变量X服从参 数为 , 的正态分布，记作 X ~ N(, 2)。
P( X 3) P( 3 X 3 ) F( 3 ) F( 3 )
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一。
它的形状对称、钟形曲线使得它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的定义、性质以及如何使用正态分布进行概率计算和统计推断。
一、正态分布的定义正态分布，又称高斯分布，是一种连续型的概率分布。
它的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差，e是自然对数的底数。
二、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的几个：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称。
即当x接近μ时，f(x)的值趋近于最大值。
2. 峰度：正态分布的峰度是3，意味着它的尾部相对较重。
3. 范围：正态分布的取值范围是(-∞, +∞)，即负无穷到正无穷。
4. 均值和标准差：正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的形状。
68%的数据在均值的一个σ范围内，95%的数据在两个σ范围内，99.7%的数据在三个σ范围内。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下是正态分布常见的几个应用场景：1. 抽样分布近似：中心极限定理表明，当样本容量足够大时，许多随机变量的抽样分布可以近似为正态分布。
2. 参数估计：在统计推断中，我们经常使用正态分布来估计未知参数的置信区间。
通过样本数据的均值和标准差，我们可以计算出参数估计的置信区间。
3. 假设检验：正态分布在假设检验中也有着重要的应用。
我们可以通过计算检验统计量并参考正态分布的分位数，判断某个假设是否成立。
4. 质量控制：正态分布在质量控制中常用于确定过程的稳定性。
通过统计过程得到的样本数据，可以进行正态性检验，判断过程是否受到特殊因素的影响。
四、正态分布的计算与推断在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率值或进行统计推断。
第5章 常用概率分布2
正态分布的参数
1
2
3
图9 标准差相同、均数不同的正态分布曲线
正态分布的参数
σ1 σ2 σ3 σ1<σ2<σ3
图10 均数相同、标准差不同的正态分布曲线
正态分布
二、正态概率密度曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1；
正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等；
计算z值：
z1 x1
( 1.96 )
1.96
z2
x2
( 1.96 )
1.96
0.025 1.96
查附表1：确定概率 结论：95％
0.025 -1.96
正态分布
例 已知X服从均数为 、标准差 为的正态分布， 1 .96 试估计：(1)X取值在区间 上的概率； (2)X 取值在区间 上的概率。 2.58
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
标准正态分布曲线下的面积
μ±1范围内的面积为68.27% μ±1.96范围内的面积为95%
μ±2.58范围内的面积占99%
图12 正态曲线下的面积分布示意
标准正态分布曲线下的面积的计算
求z值，用z值查表，得到所求区间面积占总面
积的比例。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下总面积为100％或1。
计算z值：
Z 130 123 .02 1.46 4.79
查附表1：确定概率
0.0721 0.0721 1.46
结论：7.21％
-1.46
第5章正态分布
32
常用的标准值
Z ≥1.65,概率P为0.05;
Z ≥1.96,概率P为0.025; Z ≥2.58,概率P为0.005;
33
4. 二项分布的正态近似法
通过前面的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率 p和重复次数n两个参数的影响，只要确定了p和n，二项 分布也随之确定了。 但是，二项分布的应用价值实际上 受到了n的很大限制。也就是说，只有当n较小时，我们 才能比较方便地计算二项分布。所幸的是，二项分布是以 正态分布为极限的。所以当n很大时，只要p或q不近于零， 我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题。即以 n p＝μ、n p q＝σ2，将B(x；n，p)视为N(n p，n p q)进行 计算。在社会统计 中，当n ≥30，n p、n q均不小于5时，对二项分布作正态
42
F 分布
F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布， 可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是 否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量
服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。
24
四、标准正态分布表的使用
4.1 标准正态分布表的介绍
25
Xi:大写Ξ， 小写ξ 4.2标准正态分布的计算 读作：克西
【例5】已知ξ服从标准正态分布N（0，1）， 求P（ ξ ≤1.3)=? 解：因为ξ 服从标准正态分布N（0，1）， 可直接查附表4，根据z=1.3，有 P（ ξ ≤1.3)= 1.3=0.9032
20
3.3 标准分（Standard scores)
公式:
Z
X
概率论与数理统计第五章知识点
概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。
首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。
其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。
再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。
它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。
此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。
线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。
另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。
另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。
此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。
其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。
而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。
最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。
正态分布与概率
正态分布是一种在数学、物理和工程等领域广泛存在的概率分布，它的特点是具有平均值为零，标准差为1的特性。
在统计学中，许多随机变量都可以近似为正态分布。
正态分布具有广泛的应用，例如在医学、心理学、质量控制等领域。
在概率论中，概率是指某一事件出现的可能性。
如果某一事件出现的概率很小，那么可以说这个事件几乎不会发生。
反之，如果概率很大，那么这个事件发生的可能性就很大。
对于正态分布来说，它有两个关键特征：均值和标准差。
正态分布的均值是零，而标准差是1。
这意味着大部分正态分布的数值介于-1到+1之间，接近中心的数值分布更密集，而远离中心的数值分布更稀疏。
在实际应用中，正态分布有着广泛的应用，尤其在测量和实验数据方面。
例如，在医学研究中，某些身体指标可能服从正态分布，而在质量控制中，产品尺寸的分布也可能服从正态分布。
另外，我们需要了解正态分布的一个重要特性：它是一种连续概率分布，也就是说，它的概率密度函数在数学上可以连续变化。
这意味着在正态分布中，一个事件发生的概率不仅仅取决于这个事件发生的频率，还取决于它发生的范围和程度。
正态分布的概率密度函数曲线关于x=μ对称（均值），且曲线位于x轴之上（相对于y轴的高度表示概率）。
同时，曲线在x=μ处达到最大值（标准差），并逐渐下降（类似于钟形曲线）。
因此，我们可以说正态分布在理论和实践上都表现出一种相对稳定和可靠的特征。
总之，正态分布是一种广泛存在于各种领域中的概率分布，具有平均值为零、标准差为1的特点。
在实际应用中，正态分布的概率密度函数在医学、心理学、质量控制等领域有着广泛的应用。
同时，正态分布也是一种连续概率分布，其概率不仅仅取决于事件发生的频率，还取决于事件发生的范围和程度。
因此，对于需要精确测量和评估的领域来说，正态分布是一种非常有用的工具。
正态分布与概率
正态分布与概率全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要的一种连续概率分布，也是最具代表性的一种概率分布。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学等领域，它的特点是对称的钟形曲线。
正态分布在数学领域有着广泛的应用，尤其在统计学中，被认为是最为常见的分布形式，它的性质也被广泛地应用于各种实际问题中。
正态分布的形状是一个对称的钟形曲线，曲线的中心位于均值处，曲线在均值两侧逐渐下降，呈现出一种尾部渐进斜的形态。
在正态分布中，均值（μ）等于中位数，而众数也等于均值，因此正态分布具有对称性。
正态分布的标准差（σ）越大，曲线越矮胖，标准差越小，曲线越瘦高。
正态分布的概率密度函数表达式为：\[f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]μ为均值，σ为标准差，e为自然对数的底。
这个概率密度函数描述了在给定均值和标准差的情况下，某一特定取值的概率密度。
正态分布具有很多重要的性质，其中最为著名的就是“三σ原则”，这个原则规定了在正态分布中，根据概率密度函数曲线的性质，大约68.27%的数据落在均值附近的1个标准差范围内，95.45%的数据落在两个标准差范围内，99.73%的数据落在三个标准差范围内。
这个原则在实际应用中有广泛的应用，它表明了正态分布对于数据的分布情况有着很好的描述能力。
在统计学中，正态分布的性质使得其成为了许多统计方法的基础，例如假设检验和置信区间估计。
在进行假设检验时，我们通常会根据正态分布的性质来计算p值，来判断样本数据是否与某个假设相符。
而在置信区间估计中，我们通常也借助于正态分布的性质来计算置信区间，来估计总体参数的取值范围。
正态分布还在自然科学和社会科学中有着广泛的应用。
在自然科学中，很多自然规律和现象都能够用正态分布进行描述，例如身高、体重等指标。
在社会科学中，正态分布也经常被用来对人类行为和特征进行分析，例如IQ分布等。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中最为重要的一种概率分布。
它常用于研究连续型随机变量，具有广泛的应用。
正态分布的形态呈钟形曲线，对称分布在均值两侧。
在本文中，我们将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、正态分布的定义与性质正态分布的形式化定义如下：对于一个连续型随机变量X，如果其概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差，则X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等，称为位置参数。
2. 正态分布的曲线关于均值对称。
3. 正态分布的标准差描述曲线的宽度，标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高瘦。
4. 正态分布的概率密度总和为1。
5. 正态分布的标准差决定了曲线在均值附近的陡峭程度。
二、正态分布的标准化与标准正态分布由于正态分布无法直接计算概率，因此引入了标准化的概念，即将正态分布转化为标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的方法为：Z = (X - μ) / σ，其中Z表示标准正态随机变量，X是原始随机变量，μ和σ分别是原始随机变量的均值和标准差。
标准正态分布的概率可以查表得到，或者使用计算工具进行计算。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 身高和体重身高和体重往往符合正态分布。
通过对一定人群的测量，我们可以得到人群身高和体重的分布情况，从而能够更好地了解人群的整体特征。
2. 产品质量控制大多数产品的质量参数符合正态分布。
通过对产品进行抽样检测，可以根据正态分布的性质来判断产品的合格率，并进行质量控制。
3. 股票收益率股票收益率往往符合正态分布。
通过分析股票的历史数据，可以了解股票价格的波动情况，并进行风险评估。
4. 考试成绩大多数考试成绩符合正态分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图5.6 运用标准正态分布曲线解题（一）
解：已知 X 85, 10, X甲 70
学生甲的标准分数 Z X甲 X 70 85 1.5
10
查正态分布表， Z 1.5,则P 0.433319 ;
所以Z 1.5左侧的面积为0.5 0.433319 0.06681 200 0.06681 13(人) 答：全年級中比甲生成绩低的人数约为13人。
解：
P(是非题)＝ 2 9
P(选择题)＝ 6 9
P(是非题或选择题)＝ 2 6 8 0.89 99 9
• 概率的两个基本法则
– 乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率 等于两个事件分别发生的概率的积。
P(A B) P(A)P(B)
相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个 事件的发生与否无关。
相对密度
0.003 0.021 0.090 0.295 0.330 0.201 0.054 0.005 0.001 1
正态概率分布（正态分布）
f (x)
密 度
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
( x )
68.3％ 95.4％
99.7％
x
3 2 2 3
连续随机变量（X） 图5.2 正态分布曲线
• 已知某省有86582名考生参加1998年全国 普通高校招生入学数学考试，总体成绩服 从均值为66分、标准差为19.79分的正态分 布，试问下列范围内的人数有多少？
（1）60－72分；
（2）72分以上。
推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
• 某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10分， 要择优录取25％的学生进入高一级学校学 习，问最低分数线应是多少分？
• 答：择优录取25％的人的话，最低分数线应为86.7 分。
• 某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛 学生200人，平均分66.78分，标准差为 9.19分，（1）若表彰前20名竞赛优胜者， 其最低分应是多少？（2）某生若得80分， 他在参赛者中排列第几名？
• 分析：已知N=200, X 66.78, 9.19
P( A) K N
• 关于两种概率的理解
抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？
先验概率： P( A) K 1 0.5 N2
经验概率： 大数定律：试验次数越大，P(A)的相对频率估计越好。
表 5.1 抛一枚硬币正面向上的概率统计表
试验次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
• 随机事件：随机现象的各种可能结果（也 称为“事件”，用大写字母A，B，C等表 示）
– 基本事件：不能分解的 – 复合事件：可分解的
事件的概率
• 1.频率 事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A， 如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作
•
F（A）=a/N
• 频率满足不等式0F（A） 1
事件的概率
标准正态曲线下面积的应用
• 使用前提：
– 随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准 化后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能 应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律 进行概率的计算。
• 解题关键
– 画出正态分布曲线示意图 – 注意题意转换成Z、P
推求考试成绩特定区间内的人数
• 已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲的 成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的 学生人数是多少？
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
10％
b 图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）
• 设X是一个随机变量，对任意实数x，称
•
F（x）=P（X<=x）
• 为随机变量X的分布函数。
• 离散型随机变量
– 随机变量X只取有限或可列无穷多个值。
– 例：某学生做一道正误判断题，做对记１分， 做错记０分。他在这道题的得分为随机变量X
• 连续型随机变量
– 随机变量X可以取无限的且是不可列的值。
（1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％ 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.1＝0.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。
（2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z＝1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.42507＝0.07493 具体人数＝200×0.07493＝15（人）
• 两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是 多少？3/8
• 设第一题做对为事件A，做错为事件 A ，第 二题做对为事件B，做错为事件 B ，做对第 一题的概率为 P AB ,做对第二题的概率为
P AB
正态分布
• 随机变量 • 正态分布特点(标准正态分布) • 正态分布表 • 正态分布曲线下面积的应用
P(男婴) a ＝1060＝0.51 N 2060
P(女婴) a 1000 0.49 N 2060
• 概率的性质
(1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于１的
数。 0 P( A) 1
(2)不可能事件的概率等于零。
(3)必然事件的概率等于１。
(4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于１， 逆事件的概率
随机变量：随机现象的函数化
• 随机变量：表示随机现象结果的变量
• 在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本 点出现的随机性，其数量呈现为随机变量。
– 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量
– 每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等 候付款的时间V。Y,U,V是三个不同的随机变量。
• 连续型随机变量的概率分布
– 连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么 任何一个特殊值的概率都是0。
– 由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也 是不可数的。
– 连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能 表示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式
– 连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算 两点间的概率，以曲线下的面积表示。
P( A) 1 P( A)
(5)小概率事件，P(A)<0.05
• 概率的两个基本法则
– 概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概 率等于两个事件分别发生的概率之和。
P(A B) P(A) P(B)
互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件 称为互不相容事件。
在9道试题中，有6道选择题，2道是非题，1道填空 题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是 多少？
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
• 概率分布
– 随机变量各取值的概率构成的分布
某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答 对题数的概率分布。
表 5.2 概率分布表
X
0
1
2
3
Pi
1/8
3/8
3/8
1/8
考虑全班153位同学体重的概率分布，若体重 以千克为单位，可以精确到无限小数位，你 能否列表显示各种取值的概率？
– 曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度 相等，对应的曲线下面积相等。
– 标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。 – 曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；
正态分布表
• 根据标准正态分布曲线的函数公式进行计 算编制而成的。通过Z值可查Y值或P值， 也可通过P值查Z值。
正面向上 频率 次数
2048
0.5069
6019
0.5016
12012 0.5005
50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全 混合在一起，石子中有25粒蓝色，20粒绿 色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出 一粒石子，计算以下概率：
（1）P(红色石子)
（2）P(蓝色或红色石子)
在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴 和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情 况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是 多少？是女婴的概率是多少？
第五章 概率与正态分布
• 概率基本知识
– 随机事件 – 概率的两个基本法则
• 正态分布
– 随机变量 – 正态分布特点(标准正态分布) – 正态分布表 – 正态分布曲线下面积的应用
概率基本知识
• 随机现象与确定性现象
– 抛硬币，落地时，正面向上。 – 掷一粒骰子，掷出７点（不可能事件）。 – 向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。
• 利用正态分布表求：
– （1）正态曲线下Z＝1.34处左侧的面积 – （2）正态曲线下Z＝2.16处右侧的面积 – （3）正态曲线下Z＝-1.64处左侧的面积 – （4）正态曲线下Z＝-1.5处右侧的面积
• 利用正态分布表求：
– （1）中央50％的面积的下限Z值和上限Z值 – （2）正态曲线下右尾20％的面积的下限Z值 – （3）正态曲线下左侧30％的面积的上限Z值
25％
a
图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）