极值与凹凸性模板精品PPT课件

1 ,1 3
1
(1,)
f ( x)
0
不存在 极小值 极大值
不存在 无极值
f (x)
极大值 f 1 3 4 , 极小值 f (1) 0.
3 3
定理3.6 (极值的第二充分条件) 设 f ( x) 在 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0,
f ( x0 ) 0, 则 (1) 当 f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x) 在 x0处取得极大值; (2) 当 f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x) 在 x0处取得极小值.
的拐点.
定理3.8 (拐点的第一充分条件) 设函数 y f ( x)在 x0的某邻域 U ( x0 )内连续，
在空心邻域 U ( x0 ) 内f ( x) 存在,
(1) 若在 x0两侧 f ( x)异号, 则点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; (2) 若在x0两侧 f ( x)同号, 则点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
3.4 极值与凹凸性
3.4.1 函数的极值
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义3.1 设 f ( x) 在 x0 附近有定义, 如果在 x0的 某个空心邻域内, 恒有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ))
则称 f ( x0 )为函数 f ( x)的一个极大值(或极小值),
(1) 若在 (a,b)内 f ( x) 0,则 f ( x)在[a,b]上是凹的;
(2) 若在 (a,b)内 f ( x) 0,则 f ( x)在[a,b]上是凸的.
例3 判断曲线 y x3的凹凸性.
解
y 3x2 , y 6x
当x 0时，y 0, 所以,曲线在(,0]上是凸的;
当x 0时，y 0, 所以,曲线在[0,)上是凹的. 定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则点( x0 , f ( x0 ))是
曲线 y f ( x) 的拐点.
例4 求曲线 y ( x 1)3 x 2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2
1
x 3,
33
y
2(5 x
恒有
f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x)在区间I 上是向下凸的,或称凹的;
如果 x1, x2 I , 恒有
f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x)在区间I 上是向上凸的,或称凸的.
定理3.7 设 f ( x)在[a,b]上连续,在 (a,b)内可导,则
例1 求函数 f ( x) 3 x(1 x)2 的极值.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
f ( x) 1 3x , ( x 0,1) 3 3 x2 (1 x)
当x 0与x 1时, 导数不存在; 令 f ( x) 0，得驻点 x 1 .
3
x
(,0) 0
0, 1 3
1 3
(1) 求出 f ( x) 的所有可能的极值点, 即的不可导 的点和 f ( x) 0 的点; (2) 对(1)中求得的每个点, 根据 f ( x) 0 在其左、
右是否变号, 确定该点是否为极值点.
如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是 极小值点; (3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
邻域内可导, 则
(1) 如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x) 0，而x ( x0 , x0 ),
有 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0 处取得极大值;
(2) 如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x) 0，而x ( x0 , x0 ),
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0 处不一定取得极值, 此时仍需用定理3.5.
例2 求函数 f ( x) x3 3x2 1的极值.
解 定义域为 (,).
f ( x) 3x2 6x 令 f ( x) 0，得驻点 x1 0, x2 2.
f ( x) 6x 6 f (0) 6 0, 故极大值 f (0) 1,
f (2) 6 0, 故极小值 f (2) 3.
3.4.2 曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x) •
•
y
y f (x)
•
•
O x1 x x1 x2 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
O x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f ( x) 在区间I 上连续, 如果 x1, x2 I ,
注意: 可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点不一定是极值点.
例如, y x3 , y x0 0, 但 x 0不是极值点. 另外: 连续函数的不可导点, 也可能是极值点.
例如, y x , 在 x 0处不可导,但是极小值点.
定理3.5 (极值的第一充分条件) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续, 在 x0的某个空心
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉 及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f ( x)在点 x0处可导, 且在 x0处取得极值,
则必有 f ( x0 ) 0. 使得导数 f ( x)为零的点, 称为函数 f ( x)的驻点.
有 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0 处取得极小值;
(3) 如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x) 符号相同,则 f ( x)在 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x
是极值点情形
y
yBiblioteka Baidu
o
x0
xo
x0
x
不是极值点情形
求函数极值的基本步骤:
1)
4
,
(x
0)
9x3
在 x 0处, y, y均不存在; 令 y 0, 得 x 1 .
5
x
,
1 5
1 5
1 ,0 5
0
(0,)
f ( x)
0
不存在
f (x)