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《函数曲线的凹凸性》课件
《函数曲线的凹凸性》 ppt课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
4-极值和凹凸性
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
4
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
A
B
o
x
26
微分中值定理
作业
习题3.1 (111页)
1.(2)(3) 4.(2) 6.(2) 8.(1)
27
证 令 f (t ) t lnt , (t 0).
f (t ) lnt 1,
f ( t ) 1 0 t
所以曲线在 (0, ) 上是严格向下凸的.
x, y (0,), x y, 有
f ( x) f ( y) x y f 2 2
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
23
函数作图的具体步骤可归纳如下:
(1) 确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.
(2) 确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势.
(3) 求出函数的单调性和极值, 确定曲线的凹凸性
和拐点.
(4) 适当计算曲线上一些点的坐标,如极值, 拐点
的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点.
1 ,0 5
0
不 存 在
(0, )
0
拐点
1 凹的
凹的
18
凸的
1 , 6 3 5 5 25
x5 b
x
4
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
A
B
o
x
26
微分中值定理
作业
习题3.1 (111页)
1.(2)(3) 4.(2) 6.(2) 8.(1)
27
证 令 f (t ) t lnt , (t 0).
f (t ) lnt 1,
f ( t ) 1 0 t
所以曲线在 (0, ) 上是严格向下凸的.
x, y (0,), x y, 有
f ( x) f ( y) x y f 2 2
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
23
函数作图的具体步骤可归纳如下:
(1) 确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.
(2) 确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势.
(3) 求出函数的单调性和极值, 确定曲线的凹凸性
和拐点.
(4) 适当计算曲线上一些点的坐标,如极值, 拐点
的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点.
1 ,0 5
0
不 存 在
(0, )
0
拐点
1 凹的
凹的
18
凸的
1 , 6 3 5 5 25
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
高等数学课件3-7凹凸性
2 3
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: f '' ( x0 ) 0或 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 ))
Th2 y=x
f ( x0 ) 0.
'' f ( x0 ) 0, 且f ( x )过x0变号
9
$3-7曲线的凹凸与拐点
例2(P199)
求曲线 y 3x4 4x 3 1 的拐点及凹、凸的 区间 (regions of concavity and convexity)
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x . 3 7 , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7 3 f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
"
如果 f ( x )在 ( x0 , x0 )内存在二阶导
数 , 则 点 x0 , f ( x0 ) 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
f ( x0 ) 0 .
( necessary condition)
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
$3-7曲线的凹凸与拐点 18
思考题
设 f ( x ) 在( a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
$3-7曲线的凹凸与拐点
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: f '' ( x0 ) 0或 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 ))
Th2 y=x
f ( x0 ) 0.
'' f ( x0 ) 0, 且f ( x )过x0变号
9
$3-7曲线的凹凸与拐点
例2(P199)
求曲线 y 3x4 4x 3 1 的拐点及凹、凸的 区间 (regions of concavity and convexity)
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x . 3 7 , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7 3 f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
"
如果 f ( x )在 ( x0 , x0 )内存在二阶导
数 , 则 点 x0 , f ( x0 ) 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
f ( x0 ) 0 .
( necessary condition)
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
$3-7曲线的凹凸与拐点 18
思考题
设 f ( x ) 在( a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
$3-7曲线的凹凸与拐点
第四节极值与凹凸性
曲线 yf(x)的拐点.
例4 求曲线 y(x1)3 x2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2x13,
33
y2(5x4 1),(x0) 9x3
在x0处,y,y均 不;存令在 y0,得x1.
5
x
, 1
5
1 5
f(x)
0
1 ,0 5
0 (0, )
不
存
在
f (x)
在空心邻域 U ( x 0 ) 内f (x) 存在, (1) 若x0 在 两f侧 (x)异,则 号点 (x0, f(x0))即为拐 ; 点 (2) 若x0 在 两f侧 (x)同,号 则点 (x0, f(x0))不是拐 . 点
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 ,则(点 x0,f(x0)是 )
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 上称 凸.凸 的的
定理3.7 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a续 ,b)内可 ,则导
(1 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 ;
(2 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 .
y
yf(x)
•
•
O x1 x1 x2 x 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f (x)在区间I 上连续, 如果 x1,x2I,
恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 下称 凸;凹 的的
如果 x1,x2I, 恒有
例4 求曲线 y(x1)3 x2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2x13,
33
y2(5x4 1),(x0) 9x3
在x0处,y,y均 不;存令在 y0,得x1.
5
x
, 1
5
1 5
f(x)
0
1 ,0 5
0 (0, )
不
存
在
f (x)
在空心邻域 U ( x 0 ) 内f (x) 存在, (1) 若x0 在 两f侧 (x)异,则 号点 (x0, f(x0))即为拐 ; 点 (2) 若x0 在 两f侧 (x)同,号 则点 (x0, f(x0))不是拐 . 点
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 ,则(点 x0,f(x0)是 )
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 上称 凸.凸 的的
定理3.7 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a续 ,b)内可 ,则导
(1 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 ;
(2 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 .
y
yf(x)
•
•
O x1 x1 x2 x 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f (x)在区间I 上连续, 如果 x1,x2I,
恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 下称 凸;凹 的的
如果 x1,x2I, 恒有
《函数凹凸性》课件
几何意义
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
单调性极值凹凸性拐点渐近线PPT学习教案
大
小
值
值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
第13页/共56页
函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
2
练习：求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
解:D(f)=R
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
当x 2时, f ( x3)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
f ( x) 1 1 1 x
0(当x 0时)
于是f ( x)在[0, )时严格单调增加.
f ( x) f (0) x ln(1 x)
由例得步骤： 1.将不等式变形为：x x0时f ( x) 0 2.检查f ( x0 ) 0 ( x0与范围x x0时有关) 3.证f ( x) 0(当x x0时)
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值.
解:D(f)=R f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3)
令 f ( x) 0，得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
作业：
P107: 1 (4)(5) 3 (1)(4)
第22页/共56页
§4.4 曲线的凸性与拐点、渐近线、画图
一、曲线的凸性与拐点 二、曲线的渐近线
第23页/共56页
研究函数形态，仅知单调性是不够的，例如
y x3 3x 1
y
y
y
o
x
o
x
y' 3 x2 3 0,
(1)(2)弯曲方向不同---凹凸性不同
函数的最值及凹凸性
定义4.3曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点；
注意：拐点处 =0或者 不存在；
例：求曲线 的凹凸区间与拐点；
令 =0，得 ，
则曲线在 ， 为凹的；
曲线在 为凸的；
为拐点；
例2：求曲线 的凹凸性及拐点；
解：求导数
当x=2时， 不存在（也可能是拐点）
则曲线在 为凸的；
曲线在 为凹的；
为拐点；
3．其他例题
例：设曲线 在x=1处取极小值，(0,2)为其拐点试确定常数a,b,c的值
注意：前提是可导的，若不可导，需要另外讨论？
凹凸性如何判断，从图形分析问题。
， 由小变大 由大变小
小， 小 小， 大
单调上升 单调下降
>0 >0
2.曲线凹凸性的判别方法
定理4.7假设函数 在区间 内具有二阶导数，那么
（1）若 ，恒有 >0，则曲线 在区间 内是凹的；
（2）若 ，恒有 <0，则曲线 在区间 内是凸的；
实际问题的最值
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为：
解：(0,2)为曲线拐点，则2=c；
，因为x=1处取极小值，则 ；
，因为(0,2)为拐点，则
则：a=0，b=-3，c=2
小结：
1）凹凸性的定义；
2）凹凸性的判定；
课外作业
教学后记
§4.6曲线的凹凸性及其拐点
1．曲线的凹凸性
注意：拐点处 =0或者 不存在；
例：求曲线 的凹凸区间与拐点；
令 =0，得 ，
则曲线在 ， 为凹的；
曲线在 为凸的；
为拐点；
例2：求曲线 的凹凸性及拐点；
解：求导数
当x=2时， 不存在（也可能是拐点）
则曲线在 为凸的；
曲线在 为凹的；
为拐点；
3．其他例题
例：设曲线 在x=1处取极小值，(0,2)为其拐点试确定常数a,b,c的值
注意：前提是可导的，若不可导，需要另外讨论？
凹凸性如何判断，从图形分析问题。
， 由小变大 由大变小
小， 小 小， 大
单调上升 单调下降
>0 >0
2.曲线凹凸性的判别方法
定理4.7假设函数 在区间 内具有二阶导数，那么
（1）若 ，恒有 >0，则曲线 在区间 内是凹的；
（2）若 ，恒有 <0，则曲线 在区间 内是凸的；
实际问题的最值
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为：
解：(0,2)为曲线拐点，则2=c；
，因为x=1处取极小值，则 ；
，因为(0,2)为拐点，则
则：a=0，b=-3，c=2
小结：
1）凹凸性的定义；
2）凹凸性的判定；
课外作业
教学后记
§4.6曲线的凹凸性及其拐点
1．曲线的凹凸性
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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函数的凹凸性,极值44页PPT
函数的凹凸性,极值
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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《高数课件14凹凸性》课件
高数课件14凹凸性
目录
CONTENTS
• 凹凸性的定义 • 凹凸性的判定 • 凹凸性与函数性质 • 凹凸性在数学中的应用 • 总结与思考
01
CHAPTER
凹凸性的定义
凹函数的定义
凹函数
对于函数$f(x)$在区间$I$上，若对于任意$x_1, x_2 in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
05
CHAPTER
总结与思考
本章重点回顾
凹凸性的定义
凹函数和凸函数的定义及其几何意义。
判定凹凸性的方法
利用导数判定凹凸性的方法，包括凹凸性的判 定定理和推论。
凹凸性的应用
凹凸性在函数极值、不等式证明等方面的应用。
思考题与习题
思考题：如何利用凹凸性 判定定理证明不等式？
$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x$
凹凸性与函数的最值
总结词
函数的凹凸性与其最值有密切关系，了解凹 凸性有助于更好地理解函数的最值。
详细描述
在数学中，如果一个函数在某区间内是凹的 ，那么该函数在此区间内只可能有一个极大 值点和一个极小值点；如果一个函数在某区 间内是凸的，那么该函数在此区间内只可能 有一个极大值点和一个极小值点。因此，了 解函数的凹凸性有助于我们更好地确定函数 的最值。
凹凸性的判定实例
函数$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上 是凸函数，因为其二阶导数$f''(x) = 2 > 0$。
VS
函数$f(x) = x^3$在$mathbf{R}$上 是凹函数，因为其二阶导数$f''(x) = 6x < 0$当且仅当$x < 0$。
目录
CONTENTS
• 凹凸性的定义 • 凹凸性的判定 • 凹凸性与函数性质 • 凹凸性在数学中的应用 • 总结与思考
01
CHAPTER
凹凸性的定义
凹函数的定义
凹函数
对于函数$f(x)$在区间$I$上，若对于任意$x_1, x_2 in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
05
CHAPTER
总结与思考
本章重点回顾
凹凸性的定义
凹函数和凸函数的定义及其几何意义。
判定凹凸性的方法
利用导数判定凹凸性的方法，包括凹凸性的判 定定理和推论。
凹凸性的应用
凹凸性在函数极值、不等式证明等方面的应用。
思考题与习题
思考题：如何利用凹凸性 判定定理证明不等式？
$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x$
凹凸性与函数的最值
总结词
函数的凹凸性与其最值有密切关系，了解凹 凸性有助于更好地理解函数的最值。
详细描述
在数学中，如果一个函数在某区间内是凹的 ，那么该函数在此区间内只可能有一个极大 值点和一个极小值点；如果一个函数在某区 间内是凸的，那么该函数在此区间内只可能 有一个极大值点和一个极小值点。因此，了 解函数的凹凸性有助于我们更好地确定函数 的最值。
凹凸性的判定实例
函数$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上 是凸函数，因为其二阶导数$f''(x) = 2 > 0$。
VS
函数$f(x) = x^3$在$mathbf{R}$上 是凹函数，因为其二阶导数$f''(x) = 6x < 0$当且仅当$x < 0$。
清华微积分课件第十讲极值与凸性
f(1)
f(x)f(x2) xx2
f(2)
由,有 已 f(1 ) 知 f(2 )
因此 f(x)有 f(x1)f(x)f(x2)
xx1
xx2
这 就 ,函 是 f(数 x说 )在 区 [a, b]间 上 是
下 凸 . 的
2020/6/10
24
定理2：( 用二阶导数判定函数的凸性 )
设 函f(数 x)在[a, b]上 连,在 续 (a, b)内 二 阶 可 ,则f导 在[a, b]为 下(上 凸)凸 函 数 的 充 分 必 要 :f(条 x)件 0(f是 (x)0).
即当 底r半 与径 h 高 相 等 ,用 时料.最 省
2020/6/10
15
19
[例5] 在直径d的 为圆形木 ,截中取一个具
最大抗弯强度的.试 矩问 形应 梁该怎
截取？
1d
[解] 设矩形底为 b ,高为 h , 3 强度为 y .由材料力学
h
b
.
知 , 具有矩形截面梁
o
的强度与 bh 2 成正比 ,
作业
P112 习题4.3 4(2)(4). 5(4). 7. 8(3). 9(2).10.
复习：P96—111 预习：P113—121
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1
第十讲 极值与凸性
一、极值与最值 二、函数的凸性 三、曲线的渐近线 四、函数作图
2020/6/10
2
一、极值与最值
（一）极值的第一充分条件
定理1：设函数 f 在点x0的某邻域内有
x 0 ,x 1 ,x [a ,b ]且 , x 0 x 1 x ,有
f(x)f(x1)f(x1)f(x0)
xx1
x1x0
新函数凹凸性PPT课件
第4页/共32页
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2、拐点的求法
如果 f (x)在某区间内除了有限个二阶导数不存在
的点外具有连续的二阶导数,则点x0, f ( x0 )是拐
点 的 必 要 条 件 是 f "( x0 ) 0 或
f (x)在点x0处二阶导数不存在 .
(2) lim f ( x) a 存在,但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例5 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
第15页/共32页
lim f ( x) , x1
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
第11页/共32页
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
第12页/共32页
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1. 3
令 f ( x) 0,
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
f (x) 在
I 上的图形是凹的（或凹弧）;
如果恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) , 那末称 f (x) 在 I
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2、拐点的求法
如果 f (x)在某区间内除了有限个二阶导数不存在
的点外具有连续的二阶导数,则点x0, f ( x0 )是拐
点 的 必 要 条 件 是 f "( x0 ) 0 或
f (x)在点x0处二阶导数不存在 .
(2) lim f ( x) a 存在,但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例5 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
第15页/共32页
lim f ( x) , x1
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
第11页/共32页
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
第12页/共32页
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1. 3
令 f ( x) 0,
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
f (x) 在
I 上的图形是凹的（或凹弧）;
如果恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) , 那末称 f (x) 在 I
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定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则点( x0 , f ( x0 ))是
曲线 y f ( x) 的拐点.
例4 求曲线 y ( x 1)3 x 2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2
1
x 3,
33
y
2(5 x
(1) 求出 f ( x) 的所有可能的极值点, 即的不可导 的点和 f ( x) 0 的点; (2) 对(1)中求得的每个点, 根据 f ( x) 0 在其左、
右是否变号, 确定该点是否为极值点.
如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是 极小值点; (3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
1 ,1 3
1
(1,)
f ( x)
0
不存在 极小值 极大值
不存在 无极值
f (x)
极大值 f 1 3 4 , 极小值 f (1) 0.
3 3
定理3.6 (极值的第二充分条件) 设 f ( x) 在 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0,
f ( x0 ) 0, 则 (1) 当 f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x) 在 x0处取得极大值; (2) 当 f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x) 在 x0处取得极小值.
注意: 可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点不一定是极值点.
例如, y x3 , y x0 0, 但 x 0不是极值点. 另外: 连续函数的不可导点, 也可能是极值点.
例如, y x , 在 x 0处不可导,但是极小值点.
定理3.5 (极值的第一充分条件) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续, 在 x0的某个空心
3.4 极值与凹凸性
3.4.1 函数的极值
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义3.1 设 f ( x) 在 x0 附近有定义, 如果在 x0的 某个空心邻域内, 恒有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ))
则称 f ( x0 )为函数 f ( x)的一个极大值(或极小值),
f (2) 6 0, 故极小值 f (2) 3.
3.4.2 曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x) •
•
y
y f (x)
•
•
O x1 x x1 x2 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
O x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f ( x) 在区间I 上连续, 如果 x1, x2 I ,
有 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0 处取得极小值;
(3) 如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x) 符号相同,则 f ( x)在 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x
是极值点情形
y
y
o
x0
xo
x0
x
不是极值点情形
求函数极值的基本步骤:
的拐点.
定理3.8 (拐点的第一充分条件) 设函数 y f ( x)在 x0的某邻域 U ( x0 )内连续，
在空心邻域 U ( x0 ) 内f ( x) 存在,
(1) 若在 x0两侧 f ( x)异号, 则点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; (2) 若在x0两侧 f ( x)同号, 则点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
恒有
f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x)在区间I 上是向下凸的,或称凹的;
如果 x1, x2 I , 恒有
f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x)在区间I 上是向上凸的,或称凸的.
定理3.7 设 f ( x)在[a,b]上连续,在 (a,b)内可导,则
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0 处不一定取得极值, 此时仍需用定理3.5.
例2 求函数 f ( x) x3 3x2 1的极值.
解 定义域为 (,).
f ( x) 3x2 6x 令 f ( x) 0，得驻点 x1 0, x2 2.
f ( x) 6x 6 f (0) 6 0, 故极大值 f (( x) 0,则 f ( x)在[a,b]上是凹的;
(2) 若在 (a,b)内 f ( x) 0,则 f ( x)在[a,b]上是凸的.
例3 判断曲线 y x3的凹凸性.
解
y 3x2 , y 6x
当x 0时，y 0, 所以,曲线在(,0]上是凸的;
当x 0时，y 0, 所以,曲线在[0,)上是凹的. 定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉 及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f ( x)在点 x0处可导, 且在 x0处取得极值,
则必有 f ( x0 ) 0. 使得导数 f ( x)为零的点, 称为函数 f ( x)的驻点.
1)
4
,
(x
0)
9x3
在 x 0处, y, y均不存在; 令 y 0, 得 x 1 .
5
x
,
1 5
1 5
1 ,0 5
0
(0,)
f ( x)
0
不存在
f (x)
邻域内可导, 则
(1) 如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x) 0，而x ( x0 , x0 ),
有 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0 处取得极大值;
(2) 如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x) 0，而x ( x0 , x0 ),
例1 求函数 f ( x) 3 x(1 x)2 的极值.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
f ( x) 1 3x , ( x 0,1) 3 3 x2 (1 x)
当x 0与x 1时, 导数不存在; 令 f ( x) 0，得驻点 x 1 .
3
x
(,0) 0
0, 1 3
1 3
若 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则点( x0 , f ( x0 ))是
曲线 y f ( x) 的拐点.
例4 求曲线 y ( x 1)3 x 2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2
1
x 3,
33
y
2(5 x
(1) 求出 f ( x) 的所有可能的极值点, 即的不可导 的点和 f ( x) 0 的点; (2) 对(1)中求得的每个点, 根据 f ( x) 0 在其左、
右是否变号, 确定该点是否为极值点.
如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是 极小值点; (3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
1 ,1 3
1
(1,)
f ( x)
0
不存在 极小值 极大值
不存在 无极值
f (x)
极大值 f 1 3 4 , 极小值 f (1) 0.
3 3
定理3.6 (极值的第二充分条件) 设 f ( x) 在 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0,
f ( x0 ) 0, 则 (1) 当 f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x) 在 x0处取得极大值; (2) 当 f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x) 在 x0处取得极小值.
注意: 可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点不一定是极值点.
例如, y x3 , y x0 0, 但 x 0不是极值点. 另外: 连续函数的不可导点, 也可能是极值点.
例如, y x , 在 x 0处不可导,但是极小值点.
定理3.5 (极值的第一充分条件) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续, 在 x0的某个空心
3.4 极值与凹凸性
3.4.1 函数的极值
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义3.1 设 f ( x) 在 x0 附近有定义, 如果在 x0的 某个空心邻域内, 恒有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ))
则称 f ( x0 )为函数 f ( x)的一个极大值(或极小值),
f (2) 6 0, 故极小值 f (2) 3.
3.4.2 曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x) •
•
y
y f (x)
•
•
O x1 x x1 x2 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
O x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f ( x) 在区间I 上连续, 如果 x1, x2 I ,
有 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0 处取得极小值;
(3) 如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x) 符号相同,则 f ( x)在 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x
是极值点情形
y
y
o
x0
xo
x0
x
不是极值点情形
求函数极值的基本步骤:
的拐点.
定理3.8 (拐点的第一充分条件) 设函数 y f ( x)在 x0的某邻域 U ( x0 )内连续，
在空心邻域 U ( x0 ) 内f ( x) 存在,
(1) 若在 x0两侧 f ( x)异号, 则点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; (2) 若在x0两侧 f ( x)同号, 则点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
恒有
f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x)在区间I 上是向下凸的,或称凹的;
如果 x1, x2 I , 恒有
f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x)在区间I 上是向上凸的,或称凸的.
定理3.7 设 f ( x)在[a,b]上连续,在 (a,b)内可导,则
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0 处不一定取得极值, 此时仍需用定理3.5.
例2 求函数 f ( x) x3 3x2 1的极值.
解 定义域为 (,).
f ( x) 3x2 6x 令 f ( x) 0，得驻点 x1 0, x2 2.
f ( x) 6x 6 f (0) 6 0, 故极大值 f (( x) 0,则 f ( x)在[a,b]上是凹的;
(2) 若在 (a,b)内 f ( x) 0,则 f ( x)在[a,b]上是凸的.
例3 判断曲线 y x3的凹凸性.
解
y 3x2 , y 6x
当x 0时，y 0, 所以,曲线在(,0]上是凸的;
当x 0时，y 0, 所以,曲线在[0,)上是凹的. 定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉 及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f ( x)在点 x0处可导, 且在 x0处取得极值,
则必有 f ( x0 ) 0. 使得导数 f ( x)为零的点, 称为函数 f ( x)的驻点.
1)
4
,
(x
0)
9x3
在 x 0处, y, y均不存在; 令 y 0, 得 x 1 .
5
x
,
1 5
1 5
1 ,0 5
0
(0,)
f ( x)
0
不存在
f (x)
邻域内可导, 则
(1) 如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x) 0，而x ( x0 , x0 ),
有 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0 处取得极大值;
(2) 如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x) 0，而x ( x0 , x0 ),
例1 求函数 f ( x) 3 x(1 x)2 的极值.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
f ( x) 1 3x , ( x 0,1) 3 3 x2 (1 x)
当x 0与x 1时, 导数不存在; 令 f ( x) 0，得驻点 x 1 .
3
x
(,0) 0
0, 1 3
1 3