衡水中学初高中衔接专题一(学案)

初高中衔接专题一

一、 完全立方、立方和及立方差公式

在学习完整式乘法时，我们已经学习了平方差公式，完全平方公式，相信你能完成下列问题： （1）()()=+-b a b a （2）()=+2

b a

则我们可以得到

()()()()()

222

3

2b ab a b a b a b a b a +++=++=+

32233222233322b ab b a a b ab ba ab b a a +++=+++++=用b -代替b 易得

()3223333b ab b a a

b a -+-=-

这样，我们就得到了两个完全立方公式

我们再看下面的问题，计算： （1）()(

)2

2

b

ab a b a ++- （2）()()

22

b ab a

b a +-+

解：（1）()(

)

22b ab a b a ++-

33322223b a b ab ba ab b a a -=---++= （2）()()

22b ab a b a +-+

33322223b a b ab ba ab b a a +

=+-++-= 于是我们得到了下列公式

逆过来我们又得到了一组公式

()()3322b a b ab a b a -=++-

()()3322b a b ab a b a +=+-+

练习：（1）()3

23y x + （2）()3

c ab -

（3）83

-x （4）()()

9332+-+a a a

二、十字相乘法

我们知道2

(2)(3)56x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式2

56x x ++的分解因式， 即2

56x x ++=(2)(3)x x ++

为方便起见，将系数和常数项的关系写成交叉表示图：

1 2 1 3

13125⨯+⨯= 想一想

这里11⨯= （ 系数），23⨯= （ 系数），1312⨯+⨯= （ 系数）

一般地，由多项式乘法

2()()()x a x b x a b x ab ++=+++

反过来，就得到2

()x a b x ab +++=()()x a x b ++

为方便起见，将系数和常数项的关系写成交叉表示图

1 a 1 b

11b a a b ⨯+⨯=+ 想一想

观察上面的十字交叉所呈现的规律，若二次三项式

2x p x q ++可分解成()()x a x b ++；你能总结出,a b 与,p q 的关系吗？

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例1 把下列各式分解因式： （1）2

32x x ++ （2）2

76x x -+ （3）2

421x x --

（4）2

215x x +-

练习1

1. 完成下列各题

（1）2

x - 20-=(4)x +（ ）

（2）2

10x x ++ =(4)x +（ ） 2. 把下列各式分解因式

（1）2

914x x ++（2）2

1039x x --

例2，把下列各式因式分解 （1）8624

++x x

（2）()3)(42

++-+b a b a （3）22

23y xy x

+-

例3，把下列各式因式分解 （1）2152

-+x x （2）2231212

--x x

例4， 对下列各式进行因式分解 （1）2

2

823x xy y +- （2）(

)

()

827222

2

-+-+x x x

x

三、分组分解法

问题1 观察两个多项式()a b +与()m n +相乘的过程

想一想：因式分解与整式乘法是____________的过

程，你能否从上面运算过程中受到启发呢？请你总结将多项式am an bm bn +++分解因式的方法。

要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以把前两项分成一组提公因式a,后两项分成一组提公因式b,这样两组之间又有公因式()m n +，就得到：

()()

()()

()()

am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++ 像上面把多项式分成几组来分解因式的方法叫做分组分解法

试一试：你还能用其他的分组方法分解多项式am an bm bn +++吗?你能总结出什么样的多项式可以分组后直接提公因式的方法来分解吗？

例1 把下列各式分解因式：

(1)2a ac ab bc +--; (2)2510ax by ay bx +--.

练习1 完成下列题目： 1. 把下列各式分解因式：

(1)22ac bc a b +++; (2)2a ab ac bc +--;

例2

把下列各式分解因式：

(1)2;mx mx n nx +-- (2)3223a a b ab b --+.

例3 分解因式：33ma a mb b +--.

建议：

1，给学生总结一下公式的要点，帮助学生记忆；

2，十字相成细致讲解，尤其是延伸类型，一部分学生在作业上反映出来掌握不是很好；

3，分组分解需要练习，因为对一些公式不是很熟练，导致了最后分解不出来，对复杂一点的要细致一点。 4，普通班一节课时间能讲完，实验班可以在增加添项的类型。