排序不等式》ppt课件
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S3 1 5 2 4 3 6 31
S4 1 5 2 6 3 4 29
乱序和
乱序和 反序和
S5 1 6 2 4 3 5 29
S6 1 6 2 5 3 4 28
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
知识探究 已知：
P45 3.设 a1 , a2 , a3 为正数，求证：
a1a2 a2 a3 a3a1 a1 a2 a3 a3 a1 a2
知识探究 定理(排序不等式，又称排序原理)
设
数， 是
为两组实
的任一排列，则
a1bn a2bn1 anb1
a1c1 a2c2 an cn a1b1 a2b2 anbn
当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn ，反序和 等于顺序和。
(1)设c1 , c2 ,, cn 是数组b1 , b2 ,, bn的任何一个排列 , 则 S a1c1 a2c2 ancn叫做数组(a1 , a2 ,, an ) 和(b1 , b2 ,, bn )的 乱序和
( 2)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相反顺序相乘 所得的和
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
称为 反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相同顺序相乘 所得的和 称为 顺序和
S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
课堂小结：
排序不等式也是经典的不等式，它的规律简明， 便于记忆。对于具有明确大小顺序的、数目相同的两 列数，考虑它们对应项乘积之和的大小关系时，排序 不等式是很有用的工具。 1. 乱序和、反序和和顺序和的概念及排序不等式。 2. 排序不等式的简单应用。
课外训练： 课外训练: 1.在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高， 求证：asinA+bsinB+csinC≥ ha + hb +hc. 1 2.已知 x1， x2，„， xn≥0，x1 +x2 +„+xn≤ ， 2 1 求证: (1 x1 )(1 x2 ) (1 xn ) ≥ ． 2 3.（IMO 试题）在△ABC 中, a、b、c 分别是三边 BC、AC、AB 的长，求证： a 2 (b c a) b2 (c a b) c 2 (a b c ) ≤ 3abc ．
理论迁移
变式： 设 a1 , a2 ,, an 为正数，试证明：
2 2 2 an1 an a12 a2 a1 a2 an a2 a3 an a1
方法总结 难点1：寻找公式中的两组数。 途径是通过不等式两边的结构特征，分析 两边和式因式的特征，从形式上去“凑”。 难点2：定序问题。 常用的几组序有：若 0 a b c ，则 1 1 1 1 1 2 2 2 1 ab ac bc, a b c , , c b a bc ac ab
对 应 关 系 （1,2,3） （4,5,6） （1,2,3） （4,6,5） （1,2,3） （5,4,6） （1,2,3） （5,6,4） （1,2,3） （6,4,5） （1,2,3） （6,5,4）
和
S1 1 4 ຫໍສະໝຸດ Baidu 5 3 6 32
备
注
顺序和 乱序和 乱序和
S2 1 4 2 6 3 5 31
新
理论迁移
反序和≤乱序和≤顺序和
引例： 已知a,b,c为实数，求证
a b c ab bc ca
2 2 2
理论迁移
例1：已知a,b,c为正数，用排序不等式证明：
2(a b c ) a (b c) b (c a) c (a b)
3 3 3 2 2 2
第三讲
柯西不等式与排序不等式
课题：排序不等式
宋云静
引例
已知a,b,c为实数，求证
a b c ab bc ca
2 2 2
知识探究
先思考一个具体的数字计算题： 已知两组数 1，2，3 和 4,5,6,若 c1 , c2 , c3 是 4，5， 6 的一个排列，则 1c1 2c2 3c3 的最大值是_____,最 小值是_____.
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乱序和
乱序和 反序和
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发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
知识探究 已知：
P45 3.设 a1 , a2 , a3 为正数，求证：
a1a2 a2 a3 a3a1 a1 a2 a3 a3 a1 a2
知识探究 定理(排序不等式，又称排序原理)
设
数， 是
为两组实
的任一排列，则
a1bn a2bn1 anb1
a1c1 a2c2 an cn a1b1 a2b2 anbn
当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn ，反序和 等于顺序和。
(1)设c1 , c2 ,, cn 是数组b1 , b2 ,, bn的任何一个排列 , 则 S a1c1 a2c2 ancn叫做数组(a1 , a2 ,, an ) 和(b1 , b2 ,, bn )的 乱序和
( 2)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相反顺序相乘 所得的和
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
称为 反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相同顺序相乘 所得的和 称为 顺序和
S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
课堂小结：
排序不等式也是经典的不等式，它的规律简明， 便于记忆。对于具有明确大小顺序的、数目相同的两 列数，考虑它们对应项乘积之和的大小关系时，排序 不等式是很有用的工具。 1. 乱序和、反序和和顺序和的概念及排序不等式。 2. 排序不等式的简单应用。
课外训练： 课外训练: 1.在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高， 求证：asinA+bsinB+csinC≥ ha + hb +hc. 1 2.已知 x1， x2，„， xn≥0，x1 +x2 +„+xn≤ ， 2 1 求证: (1 x1 )(1 x2 ) (1 xn ) ≥ ． 2 3.（IMO 试题）在△ABC 中, a、b、c 分别是三边 BC、AC、AB 的长，求证： a 2 (b c a) b2 (c a b) c 2 (a b c ) ≤ 3abc ．
理论迁移
变式： 设 a1 , a2 ,, an 为正数，试证明：
2 2 2 an1 an a12 a2 a1 a2 an a2 a3 an a1
方法总结 难点1：寻找公式中的两组数。 途径是通过不等式两边的结构特征，分析 两边和式因式的特征，从形式上去“凑”。 难点2：定序问题。 常用的几组序有：若 0 a b c ，则 1 1 1 1 1 2 2 2 1 ab ac bc, a b c , , c b a bc ac ab
对 应 关 系 （1,2,3） （4,5,6） （1,2,3） （4,6,5） （1,2,3） （5,4,6） （1,2,3） （5,6,4） （1,2,3） （6,4,5） （1,2,3） （6,5,4）
和
S1 1 4 ຫໍສະໝຸດ Baidu 5 3 6 32
备
注
顺序和 乱序和 乱序和
S2 1 4 2 6 3 5 31
新
理论迁移
反序和≤乱序和≤顺序和
引例： 已知a,b,c为实数，求证
a b c ab bc ca
2 2 2
理论迁移
例1：已知a,b,c为正数，用排序不等式证明：
2(a b c ) a (b c) b (c a) c (a b)
3 3 3 2 2 2
第三讲
柯西不等式与排序不等式
课题：排序不等式
宋云静
引例
已知a,b,c为实数，求证
a b c ab bc ca
2 2 2
知识探究
先思考一个具体的数字计算题： 已知两组数 1，2，3 和 4,5,6,若 c1 , c2 , c3 是 4，5， 6 的一个排列，则 1c1 2c2 3c3 的最大值是_____,最 小值是_____.