2016届徐汇区高三一模数学卷及答案

上海市徐汇区2016届高三一模数学试卷

2016.01

一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）

1. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是 ；

2. 方程2log (35)2x

-=的解是 ；

3. 设3n n a -=*

()n N ∈，则数列{}n a 的各项和为 ；

4.（文）函数()sin(2)4

f x x π

=-

()x R ∈的单调递增区间是 ；

（理）函数2

cos cos y x x x =+的最小值为 ；

5. 若函数()f x 的图像与对数函数4log y x =的图像关于直线0x y +=对称，则()f x 的解 析式为()f x = ；

6. 若函数2

()|4|f x x x a =--的零点个数为4，则实数a 的取值范围为 ；

7. 若,x y R +

∈，且

19

1x y

+=，则x y +的最小值是 ； 8. 若三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，

（文）则行列式1

11

a 的值为 ；（理）则行列式13

112211

a -的值为 ；

9.（文）在△ABC 中，2BC =

，AB =C 的取值范围是 ； （理）3

2

(21)(34)x x x +++展开后各项系数的和等于 ；

10. 已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD

上，AB =2CD =，则A 、B 两点 在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是 ；

11.（文）同9（理）；

（理）函数2

()1f x x =-定义域为D ，值域为{1,0,1}-，则这样的集合D 最多有 个； 12.（文）函数2()1f x x =-定义域为D ，值域为{0,1}，这样的集合D 最多有 个； （理）正四面体的四个面上分别写有数字0、1、2、3，把两个这样的四面体抛在桌面上， 则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为 ； 13.（文）同12（理）；

（理）设1x 、2x 是实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212

x x 是实

数，则2481632

111111222222

1()()()()()x x x x x x S x x x x x x =++++++= ；

14.（文）同13（理）；

（理）已知O 是锐角△ABC 的外心，1tan 2A =，若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B

⋅+⋅=⋅u u u

r u u u r u u u r ，

则实数m = ；

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

15. 已知向量a r 与b r 不平行，且||||0a b =≠r r

，则下列结论中正确的是（ ）

A. 向量a b +r r 与a b -r r 垂直

B. 向量a b -r r 与a r

垂直

C. 向量a b +r r 与a r 垂直

D. 向量a b +r r 与a b -r r

平行

16. 设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1

b a

<

”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

17. 设,x y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)x y x y i -+--的实部大于0，虚部不小

于0，则复数z x yi =+在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ）

A. B. C. D.

18. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有1()f x

2()2f x b +=，则称点(,)a b 为函数()y f x =图像的对称中心；研究()sin 3f x x x π=+-

的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到123

(

)()()201620162016

f f f +++ 40304031

...(

)()20162016

f f ++的值为（ ） A. 4031- B. 4031 C. 8062- D. 8062

三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）

19. 在三棱锥S ABC -中，SA AB ⊥，SA AC ⊥，AC BC ⊥且2AC =，BC =，

SB =SC BC ⊥并求三棱锥的体积S ABC V -；

20.（文）已知函数2

()sin 2sin 2cos 2f x x x x =-；

（1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期；

（2）若点00(,)A x y 是()y f x =图像的对称中心，且0[0,]2

x π

∈，求点A 的坐标；

（理）已知实数x 满足24

21111

()

()()0

3

339

x x x ----+≤且2()log 2x f x =⋅； （1）求实数x 的取值范围；

（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值；

21.（文）已知实数x 满足24

1

103

3903

x x ---

⋅+≤且2()log 2x f x =⋅； （1）求实数x 的取值范围；

（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值；

（理）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题；某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处，30AB km =，

15BC km =，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A 、B 等

距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO ；设

BAO x ∠=弧度，排污管道的总长度为ykm