3等额年金

含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1 将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为ia 。在第
n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
1
n
i
i
……
i
1
0
n s = a (1 + i ) （2） n n
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
10
（3）
证明：
1 1 = +i an sn
1 i +i = +i n sn (1 + i ) − 1
延期年金现值为
m a = v an| = am + n − am| m| n|
29
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次 支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
30
年金的现值等于
v 2 a7| = a9| − a2|
1 = d
34
n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：
1 第一个是每年末付款1，现值为 ； i
�
第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值
vn 为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于 i
1 vn 1 − vn an = − = i i i
（参见下图）
35
现金流时间图
1 1
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
32
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以永久支付下去的年金，没有结束日期。 记号 a∞| 表示期末付永续年金的现值。
v 1 = a∞| = v + v + v ⋅⋅⋅ = 1− v i
2 3
1 − vn 1 = lim an| = lim = n →∞ n →∞ i i
1 0 1
1 2
1 3
1
1
n-1
n
5
期末付年金的现值 an
an 的表达式
n期期末付年金的现值记为 an |i ，a表示annuity，i表示每
期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的现值为 v ，在第二个时期末付款 1的现值为v 2 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1 的现值为 v n ，故
n −1
1 − vn 1 − vn = = 1− v d
记号 ̇ ṡn|i ——表示期初付年金的积累值，i可省略
̇̇ sn = (1 + i ) + ⋯ + (1 + i ) n = (1 + i )[1 + ⋯ + (1 + i ) n −1 ]
(1 + i ) n − 1 = (1 + i ) (1 + i ) − 1
3
本节主要内容（等额年金）
期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系 延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity）
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
1
中减去虚设的 1 元（其终值仍然是 1 元） ，即得原来 n 次付款的
。
1 1 …… 1 1
n期
28
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。
0 1 2 …
m
m+1
…
…
m+n
1
1
1
推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个
m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。
d 1 = = n ̇̇n 1− v a
（参见下图解释）
21
1
1 ̇̇n a
0
1 ̇̇n a
1 ̇̇n a
……
1 ̇̇n a
n
1
d
d
d
d
d
1
1 ̇ ṡn
1 ̇ ṡn
1 ̇ ṡn
22
Example
Charles has inherited an annuity-due on which there remain 12 payments of 10,000 per year at an effective discount rate of 5%; the first payment is due immediately. He wishes to convert this to a 25-year annuity-immediate at the same effective rates of interest or discount, with first payment due one year from now. What will be the size of the payments under the new annuity?
an = v + v + ⋯ + v
2
n
v(1 − v n ) = 1− v
1 − vn = i
6
1 − vn an = i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值） s n
sn
的表达式
n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 sn |i ， i 表示
每期的实际利率（可省略）。
n −1 (1 + i ) 在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二个时 n−2 (1 + i ) 期末付款1的积累值为 ，……，第n个时期末付
(1 + i ) n − 1 = d
19
̇̇n| 和 ̇ a ṡn| 的关系
n ̇̇ ̇̇ s = a (1 + i ) （1） n| n|
（显然）
1 1 = +d （2） ̇̇n ̇̇ a sn
（证明见下页）
20
证明：
1 d +d = +d n ̇̇ sn (1 + i ) − 1
dv n = +d n 1− v
1 i
期初付
37
例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息 付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人 B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项 财产的年实际收益率为7％，确定三个受益者的相对 受益比例。
38
解：10万元每年产生的利息是7000元。 A所占的份额是
7000a10| = 7000(7.0236) = 49165
26
̇̇n| = 1 + an −1| （3） a
̇̇n = 1 + v + ⋯ + v n −1 = 1 + (v + v 2 + ⋅⋅⋅ + v n −1 ) = 1 + an −1| ∵a
（下页图示）
̇̇n 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 说明: a
(n – 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n – 1) 次付 款的现值为 an −1 。
（12 payments, d=5%)
10000
……
10000
X
……
(25 payments, d=5%)
X
23
Solution:
d=5%
v = 95%
故年金的现值为
(1- d = v)
d 0.05 1 i= = = 1 − d 0.95 19
1 − v12 1 − 0.9512 ̇̇n i = 1000 × 10000 × a = 1000 × = 91927.9825 d 0.05
(参见下页图示）
元。 元。
11
1
1 an
1 an
……
1 an
1 an
n
0
1
i
i
i
i
i+1
1 sn
1 sn
1 sn
1 sn
12
例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为 9％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。 本金和利息在第10年末一次还清； 每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相同的金额。
15
2、 期初付年金（annuity-due）
期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。
1
1
1
1 ……

0
1
2
3 ……
n-1
n
16
期初付定期年金的现值
17
期初付定期年金的终值
18
̇̇n|i ——表示期初付年金的现值，i 可省略 记号 a
̇̇n = 1 + v + ⋯ + v a
年金（annuity）
最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列 款项。 现在的含义：一系列的付款（或收款）。
2
年金的类型
按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金 (Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金 （annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。 按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金 （deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。