状态空间法

状态空间法

对于下列的单自由度系统，其相关参数如下：

1kg m =，100N/m k =，0.2N.s/m c =

系统的运动方程：

[M]X +[C]X +[K]X =[P]

对于单自由度系统，其运动方程为：

mx cx kx p ++=

0.2100x x x p ++=

对于多自由度系统，其状态空间方程为：

x =Ax +Bu y =Cx +Du

式中，A —状态矩阵；

B —输入形状矩阵；

C —输出形状矩阵；

其具体表达式如下：

-1-122-n n

⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0I A -[M][K][M][C] -12n n

⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0B -[M] []2n n ⨯=C I 0

[]n n ⨯=D 0

对于上述单自由度系统，其状态矩阵为：

011000.2x x x x ⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎣⎦⎩⎭

011000.2⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦

A 求解状态矩阵的特征值与特征向量：

0λ-=A I

{}{}φλφ=A

得到的特征值为：

10.110j λ≈-+，20.110j λ≈--

11{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，21{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦

同时可以看出：

{}{}(2)1

1(1)1

=0.110j φλφ=-+，{}{}(2)22(1)2=0.110j φλφ=-- 取虚部为正的特征值求系统的特征参数。

系统的固有频率：

110/n rad s ωλ===≈

阻尼比：

11Re()

0.01λξλ-==≈

根据其阵型图可以看出，其位于左半平面（即负半平面），因此系统是稳定的。系统阻尼是正值，阻尼起到耗能效果；若阻尼为负值，将位于右半平面，系统将变得不稳定，此时阻尼起到吸收能量的作用。