状态空间法

状态空间法
对于下列的单自由度系统，其相关参数如下：
1kg m =，100N/m k =，0.2N.s/m c =
系统的运动方程：
[M]X +[C]X +[K]X =[P]
对于单自由度系统，其运动方程为：
mx cx kx p ++=
0.2100x x x p ++=
对于多自由度系统，其状态空间方程为：
x =Ax +Bu y =Cx +Du
式中，A —状态矩阵；
B —输入形状矩阵；
C —输出形状矩阵；
其具体表达式如下：
-1-122-n n
⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0I A -[M][K][M][C] -12n n
⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0B -[M] []2n n ⨯=C I 0
[]n n ⨯=D 0
对于上述单自由度系统，其状态矩阵为：
011000.2x x x x ⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎣⎦⎩⎭
011000.2⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦
A 求解状态矩阵的特征值与特征向量：
0λ-=A I
{}{}φλφ=A
得到的特征值为：
10.110j λ≈-+，20.110j λ≈--
11{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，21{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦
同时可以看出：
{}{}(2)1
1(1)1
=0.110j φλφ=-+，{}{}(2)22(1)2=0.110j φλφ=-- 取虚部为正的特征值求系统的特征参数。

系统的固有频率：
110/n rad s ωλ===≈
阻尼比：
11Re()
0.01λξλ-==≈
根据其阵型图可以看出，其位于左半平面（即负半平面），因此系统是稳定的。

系统阻尼是正值，阻尼起到耗能效果；若阻尼为负值，将位于右半平面，系统将变得不稳定，此时阻尼起到吸收能量的作用。