2010级组合数学期末试卷-答案

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哈尔滨工程大学研究生试卷（答案）

（ 2010 年 秋 季学期）

课程编号： 063301 课程名称： 组合数学

一．试叙述下列等式的组合含义

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n n k n n

k 202

证明:设有n 个男学生和n 名女学生，再要从中选n 名学生组成一个社团，问有多少种不同的方案？ （3分）

则该问题是从2n 位学生中选出n 位学生的问题，即共有⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛n n 2种方案；

（2分） 该问题还可以看成是：先从n 位女学生中选出k 位，然后再从那位男学生中选出（n-k ）位的不同方案，其中k=0，1，2，…,n ,则共有 （3分）

∑=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k n n k n 0∑=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=n

k k n 02

（2分）

故 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n n k n n

k 202

二．某人的电子邮箱密码是由p,h,w 三个字母组成的长为n 的字符串。在输入密码时，若字符串中有两个p 连续出现，则网站直接提示“密码错，请重新输入”。现有黑客通过编程要对其密码进行解密，令n a 表示程序可以产生的长为n 的字符串的个数，写出满足条件的n a 的递推关系，并对递推关系进行求解。 解： a n = 2a n-1 + 2a n-2, a 1=3, a 2=8

（2分） ⏹ 一般形式：a n - 2a n-1 - 2a n-2=0

⏹ 特征方程：m 2 – 2m - 2=0 （2分） ⏹ 特征根：m 1=1+3，m 2=1-3

⏹ 通解：a n = B 1 ⋅m 1n + B 2 ⋅m 2n

（2分） ⏹ 常系数：B 1=

6323+，B 2=63

23-

⏹ 结果：a n =6323+(1+3)n +6

3

23-(1-3)n

（4分）

三．8个孩子面朝里围坐在一旋转木马上（如图所示），使每个孩子都面对另一

孩子。问有多少种不同的改变方式使每个孩子面对的都与图示的不同？

解：设一开始8位孩子如图所示坐在木马上，

1A 为1a 与5a 相对就坐的所有就坐方案的集合； 2A 为2a 与6a 相对就坐的所有就坐方案的集合； 3A 为3a 与7a 相对就坐的所有就坐方案的集合； 4A 为4a 与8a 相对就坐的所有就坐方案的集合； （4分）

4,3,2,1,!6==i A i

j i 且,4,3,2,1,,2!4≠=⨯=j i A A j i ，

互不相等k j,i,且,4,3,2,1k ,,,2!2A 2k =⨯=j i A A j i ,2!0A A 34321⨯= A A

（4分）

所求问题为：

4

3213212114

321A A A A 44A A A 34-A A 24A 14-8

！8A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A

3222！24-2！46！64-！7+⨯⨯⨯⨯+⨯=

（2分）

四．我院实验中心有5台超高级服务器，供m 个学生通过远程登录去使用，要求使用第1台和第2台的人数均为3个，问有多少种分配方案？

解：使用第1台为3人，方案数为C(m,3)； （3分） 使用第2台为3人，方案数为C(m-3,3)； （3分） 其他m-6个人，每个人都可以登陆剩余的3台服务器中的某一台，方案数为3m-6

； （3分）

因此，分配方案数为C(m,3)C(m-3,3)3m-6

（1分）

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五．设将n 本相同的书放到3个不同的书架上，（书架上的书无序），若第一个书架和第二个书架上摆放相同数量的书，第三个书架上放的书数量不限，问有多少种不同的摆放方式？ 解：

()() +++⋅+++=24211)(x x x x x g

（4分）

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 11112 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-=x x x 111111412

()[]

n n n x n 13241

-++=∑∞

=

（4分） 所以：()[]

n n n a 1324

1

-++=

（2分）

六．用3个红色珠子与2个蓝色珠子镶成项链，问有多少种不同的项链？

解：应用Burnside 引理求解，故： 10!

2!3!

5=⋅=N ； （2分） 置换群可定义如下：G = {p 0,p 1,p 2,p 3,p 4,q 1,q 2,q 3,q 4,q 5}；

其中：p 0,p 1,p 2,p 3,p 4表示旋转，q 1,q 2,q 3,q 4,q 5表示翻转。

()()()()()0,104131211101=====p C p C p C p C p C

()()()()()25141312111=====q C q C q C q C q C （4分） 所以，项链数

()()()()()()2105210514131211101=⨯+=+++++=G q C q C q C q C q C p C l （4分）

七．单链DNA 可以看作是由符号A 、G 、C 、T 组成的n 位字符序列，请给出G ，C ，T 至少各出现一次的字符序列的数目

解：令A1，A2，A3分别为n 位字符序列中不出现G ，C ，T 的集合。 （2分）

由于n 位字符序列中每一位都可能取A 、G 、C 、T 四种字符中的一个，因此不允许出现G 的n 为字符序列的个数是3n ，即

|Ai|=3n ，i=1,2,3；|Ai ⋂Aj|= 2n ，i ≠j ，i ，j=1,2,3；|A1⋂A2⋂A3|=1

G ，C ，T 至少出现一次的n 位字符序列集合即为

A1⋂A2⋂A3

（4分）

A1⋂A2⋂A3

=4n

-（|A1|+|A2|+|A3|）+（|A1⋂A2|+|A1⋂A3|+|A2⋂A3|）-|A1⋂A2⋂A3|

=123334-⋅+⋅-n n n

（4分）

八．求棋盘多项式

（4分）

（4分）

（2分）

九．在一个平面上画出一个圆和n 条直线，每条直线都同其它直线交于该圆内部。如果没有三条直线交于一点，问这些直线把这个圆分成多少个区域？

解：设n 条直线将圆分成D n 个域，则第n 条直线被其余的n -1条直线分割成n 段，这n 段正好是新增加的n 个区域的边界。 （3分）

则：n D D n n +=-1 ，初始值为 21=D （3分）

所以，n n D D n n +-+=-)1(2=...=n n D +-+++)1(...21=()12

1

1++

n n （4分）