中考数学教学指导：巧用二次函数中的等角解题

巧用二次函数中的等角解题

以二次函数为背景的综合题往往有一定难度.如何依据题目的特点，利用已知条件，探寻知识的内在联系，进而发现隐藏的信息，成为突破难点的关键.下面结合实例，谈谈如何挖掘二次函数中隐含的等角来破解难题，希望对同学们有所帮助.

一、由圈形变换发现等角

例1 如图1，二次函数2(68)y a x x =-+(0)a >的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连结AC .将OAC ∆沿直线AC 翻折，若点O 的对应点'O 恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值.

解 取0y =，由2(68)0a x x -+=，解得12x =，24x =-.

该抛物线的对称轴为直线3x =，如图1，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ，则 1AM =，而1OA =，又'2OA O A ==，

'2O A AM ∴=，

'60O AM ∴∠=︒

'60OAC O AC ∴∠=∠=︒

OC ∴==

把C 代入二次函数表达式，得a =. 评注 由折叠知'OAC CAO ∠=∠.又点'O 落在抛物线的对称轴上，通过'Rt O AM ∆中两边的关系，可得到'60O AM ∠=︒，进而发现''OAC CAO O AB ∠=∠=∠.

二、由特殊度数发现等角

例2 如图2，在直角坐标系中，O 为坐标原点，OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为

(2,0)，(1，经过点A 的抛物线2y ax =-的顶点为D .

(1)求a 的值及点B 的坐标;

(2)若P 是线段OA 上一点，且APD OAB ∠=∠，求点P 的坐标.

解 (1)将A (2,0)代人抛物线解析式，可得40a -=，解得a =

又B C y y == 3B x =

B ∴.

(2)如图3，由2y =-，可得(1,D .

又tan OAD ∠==

tan 3

AOB ∠== 60OAD AOB ∴∠=∠=︒

而APD OAB ∠=∠，

APD OAB ∴∆∆

AP AD OA OB

∴=， 23

AP ∴=， 4(,0)3

P ∴. 评注 第(2)题计算得到60°是本题的重大发现，由特殊角进一步得到OAD AOB ∠=∠的关系，结合已知条件APD OAB ∠=∠，就能证明三角形相似，进而求出P 点坐标.

三、由坐标关系发现等角

例3 如图4，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且3OB OC OA ==.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)直线113

y x =-

+交y 轴于点D ，E 为抛物线的顶点，若DBC α∠=，CBE β∠=，求αβ-的值.

解 (1)取0x =，得3y =-. (0,3)C ∴-.

又 3OB OC OA ==

(3,0)B ∴，(1,0)A -.

设(1)(3)y a x x =+-，

把(0,3)C -代入，得1a =

223y x x ∴=--.

(2)由(0,1)D ，(3,0)B

知3OB =，1OD =,

1tan 3

DBO ∴=∠=

. 而(1,4)E -，

BC ∴=CE =.

BE ∴=222BC CE BE +=，

90BCE ∴∠=︒. 则有1tan 3

CE CBE BC ∠=

=， tan tan CBE DBO ∴∠=∠. DBO CBE β∠=∠=，

DBC CBE αβ-=∠-∠DBC DBO OBC =∠-∠=∠.

而3OB OC ==，90BOC ∠=︒

知45OBC ∠=︒，∴45αβ-=︒.

评注 第(2)题由点B ，C ，E 的坐标结合勾股定理可证明BCE ∆是直角三角形，利用DO CE OB CB

=，即可得到DBO EBC ∠=∠.

四、由数量关系发现等角

例4 如图5,抛物线(3)(1)y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，D 为抛物线的顶点.

(1)求B ，D 的坐标;

(2)连结BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E .若线段BD 上有一点P ，使DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标.

解 (1)取0y =，得13x =，21x =-，

(3,0)B ∴，易得(1,4)D -.

(2)如图6，取0x =，3y ∴=-， 即(0,3)C -.

对称轴为直线1x =，(1,0)E ∴.

连结BC ，过点C 作CH DE ⊥于点H ，

则(1,3)H -，1CH DH ∴==，

∴45CDH BCO BCH ∠=∠=∠=︒.

CD ∴=，CB =BCD ∆为直角三角形，分别延长PC ，DC 与x 轴相交于点Q ，R

CDB CDE BDE ∠=∠+∠45DCP =︒+∠，

QCO RCO QCR ∠=∠+∠45DCP =︒+∠.

CDB QCO ∴∠=∠，

∴BCD QOC ∆∆ .

13

OC CD OQ CB ∴==， 39OQ OC ∴==，即(9,0)Q -,

则可求得直线CQ 为133

y x =-

-. 直线BD 为26y x =-. 由13326y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得97247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

， 即点P 的坐标为9

24(,)77

-

.

评注 第(2)题利用坐标可发现45CDH BCO BCH ∠=∠=∠=︒，结合图形可得到QCO RCO QCR ∠=∠+∠45DCP =︒+∠，CDB CDE BDE ∠=∠+∠45DCP =︒+∠， 即得到CDB QCO ∠=∠.

五、由三解函数值发现等角

例5 如图7，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .抛物线的对称轴DF 与BC 交于点E ，与x 轴交于点F .

(1)在y 轴上找一点P ，使得BCP ∆与CDE ∆相似;

(2)设Q 为x 轴DAO DQO α∠+∠=∠上一点，且tan 4α∠=t ，当时tan 4α=，求点Q 的坐标，

解 (1)由2223(1)4y x x x =-++=--+，得 (1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C ，(1,4)D .

OB OC ∴=，得45BCO ∠=︒.

同理，45DCy ∠=︒

∴90DCE ∠=︒，且CD CE =.