计算方法第八章矩阵特征值和特征向量的计算(32学时)-2011-2-21

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矩阵特征与特征向量的计算

第三章矩阵特征与特征向量的计算3.1 引言在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。

如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。

设A 为n 阶方阵，n n ij R a A ⨯∈=)(，若)0(≠∈x R x n ，有数λ使Ax= λx（5.1）则称λ为A 的特征值，x 为相应于λ的特征向量。

因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值λ，满足 0)det()(=-=I A λλϕ（5.2）2．求特征向量)0(≠∈x R x n ，满足齐方程组0)(=-x I A λ（5.3）称ϕ（λ）为A 的特征多项式，它是关于λ的n 次代数方程。

关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义1 设矩阵A, B ∈Rn ⨯n，若有可逆阵P ，使AP P B 1-= 则称A 与B 相似。

定理1 若矩阵A, B ∈R n ⨯n 且相似，则（1）A 与B 的特征值完全相同；（2）若x 是B 的特征向量，则Px 便为A 的特征向量。

定理2 设A ∈R n ⨯n 具有完全的特征向量系，即存在n 个线性无关的特征向量构成R n 的一组基底，则经相似变换可化A 为对角阵，即有可逆阵P ，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n D AP P λλλ 211其中λi 为A 的特征值，P 的各列为相应于λi 的特征向量。

定理3 A ∈R n ⨯n ，λ1, …, λn 为A 的特征值，则（1）A 的迹数等于特征值之积，即∑∑===≡ni ini iiaA tr 11)(λ（2）A 的行列式值等于全体特征值之积，即n A λλλ 21)det(=定理4 设A ∈R n ⨯n 为对称矩阵，其特征值λ1≥λ2≥…≥λn ，则（1）对任A ∈R n ，x ≠0，1),(),(λλ≤≤x x x Ax n（2）),(),(minx x x Ax x n ≠=λ（3）),(),(max1x x x Ax x ≠=λ定理5 （Gerschgorin 圆盘定理）设A ∈R n ⨯n ，则（1）A 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n i aa z nij j ijii ,,2,1,1 =≤-∑≠= （5.4）（5.4）式表示以a ii 为中心，以半径为∑≠=nij j ij a 1的复平面上的n 个圆盘。

8 矩阵的特征值和特征向量的计算

由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位，故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
1 44 . 9995 , x 1 (1, 0 . 333 , 0 . 6667 )
T
（2）反幂法
基本思路：设A没有零特征值，则A非奇异，即A的逆阵存在，设的特征值为 1 2 n 0 其对应的特征向量为 2 , 3 , , n 因为 A xk = k xk
8.2 按模最大与最小特征值的计算
(1)幂法
定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1 , 2 , , n (它们线性无关)，则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 V AV
k k 1
有
lim
(V k ) j (V k 1 ) j
k j 1 k 1 j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时） {Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行“规范化”，即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向量。为说明上述算法的正确性，我们试证明下述定理定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
k k k k
1 [ 1 1
k
i k i( ) i] 1 i2
n
同理可得 V k 1 1 [ 1 1 i (

矩阵的特征值与特征向量的求法

摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix目录1 前言 (4)2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4)2.1 矩阵的初等变换法 (4)2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6)3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7)3.1 矩阵之间的关系 (7)3.1.1 矩阵的相似 (7)3.1.2 矩阵的合同 (7)3.2 逆矩阵的求解 (8)3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8)3.4 矩阵的求解 (9)3.5 矩阵特征值的简单应用 (10)结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法求n 阶矩阵A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根,然后对每个特征根 ()n i i ,,2,1 =λ求解齐次线性方程组()0=-XA E i λ的一个基础解系,即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理[]11设齐次线性方程组0m n A X ⨯=的系数矩阵A 的秩数n r <,000rE PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭的非奇异矩阵n n Q ⨯ 的后n r - 列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵A 的特征值时,我们求()A E f -=λλ的全部特征根时是通过将矩阵()A E -λ经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵()λG .由定理1知,当矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E λ经过一系列的初等列变换变换成()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G 时,求 ()0=λG 得的i λ就是矩阵A 的特征值,然后将i λ代入()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G ,()i G λ中的0列所对应的列就是所对应i λ的特征向量()i Q λ.例1 已知矩阵211031213A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵A 的特征值和特征向量.解2221120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112E A E λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-+-----+→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭()()21001203468001011113.G Q λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪---+→ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭由()()2240λλ--=知A 的特征根122λλ==,43=λ.当122λλ==时,()()10010021202001011111G Q -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,特征向量1111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 当34λ=时,()()10012041004001011111G Q -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,特征向量3111ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.2.2 矩阵的行列互逆变换法定理[]22 对于任意的矩阵A ,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A 都能经过一系列的行列互逆变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P J T .其中()()(){}()()()r i P P P P P J J J J Ti i i i r r k k k ik r ,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121 ====βββλλλ.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵A 的特征值时我们又可以通过将矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行行列互逆变换,从而得到A 特征值i λ,以及它对应的特征向量ik i i βξ=.例2 求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.解.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112333223211213312122121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-r c r r c c r r c c r r cc E A所以特征值4,2321===λλλ,对应特征值43=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113ξ,对应的特征值221==λλ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111ξ.3 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似性质1 如果存在n 阶可逆矩阵X ,使得n 阶矩阵A 和B 满足AX X B 1-=,即矩阵A与矩阵B 相似,i λ为矩阵A 的特征值,i ξ为i λ所对应的特征向量,则i λ也为矩阵B 的特征值,且B 对应于i λ的特征向量为i X ξ1-.注反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2 矩阵A 与B 都是n 阶矩阵,乘积矩阵BA 与AB 不一定相似,但却有相同的特征值.证明若0是AB 的特征值,则0,0≠⋅=ξξξAB 故AB 不可逆,于是A 与B 中至少有一个不可逆,从而BA 不可逆,故有非零向量ξ使0=ξBA ,即0是BA 的特征值. 设()0≠λλ是AB 的特征值,即存在()0≠ξξ使得λξξ=AB .令ξηB =,则0≠==λξξηAB A ,因此0≠η于是ληξλλξξη==⋅==B B BAB BA ,即η是属于BA 的特征向量,λ是BA 的特征值,同理可证BA 的任何特征值也是AB 的特征值.例如矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 和矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ,BA 与AB 不相似却有相同的特征值1=λ. 例3 设n 阶矩阵B A ,,则矩阵A BA +与A AB +,B BA +与B AB +分别都有相同的特征值.证明由于()()E B A A AB A E B A BA +=++=+,,由性质2知B AB A BA ++,有相同的特征值,同理B AB B BA ++,也有相同的特征值.得证.3.1.2 矩阵的合同性质3 n 阶对称矩阵A 与B 合同,即存在n 阶可逆矩阵C ,使得AC C B T =,其充要条件是A 与B 的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4 判断矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A 与矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004B 是否合同. 解因为矩阵A 是实对称矩阵,可以求得()()34det λλλ--=-E A ,即A 的特征值为0321===λλλ,44=λ,矩阵B 的特征值为41=λ,0432===λλλ,由性质知矩阵A 和矩阵B 合同.3.2 逆矩阵的求解性质[]34对于n 阶矩阵A ,由哈密顿―凯莱定理可以知道()0=A f ,即00111=++++--E a A a A a A a n n n n .所以()E Ea A a a A n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⋅-1101,从而()E a A a a An n 11011++-=-- . 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到1-A .例5 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101001321b b b A ,的特征多项式是()()31-=λλf ,求1-A . 解因为()()1331233++-=-=λλλλλf ,所以E A A A 3321+-=-, 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-10100130003000333303300312201200132311321331211b b b b b b b b b b b b b A . 由本例可见,任何一个可逆矩阵A 的逆矩阵必是A 的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质[]35 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值0λ在A E -λ中的重数等于A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数. 由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.例6 矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100100λλλA 能否与对角矩阵相似?为什么? 解不能.因为0λ是()030=-=-λλλA E 的三重根,且秩()2=-A E λ,于是A 的属于0λ的线性无关向量的个数为123=-,由性质8知,A 不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解我们知道如果设1λ和2λ是2阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值,1ξ和2ξ是对应于它们的特征向量,则1ξ和2ξ正交.且设()n i i ,,2,1 =λ是n 阶实对称矩阵A 的互不相同的特征值,()n i i ,,2,1 =ξ是对应于特征值的特征向量,则()n i i ,,2,1 =ξ两两正交.这样,如果对于n 阶实对称矩阵A ,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵A .例7 设3阶对称矩阵A 的特征多项式是()()215+-λλ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111ξ是对应于5=λ的特征向量,求矩阵A .解由上面的性质我们知道1-=λ对应的特征向量和1ξ正交,因此设1-=λ所对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,对应于1-=λ的两个线性无关的向量可取0321=++x x x 的基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ,将正交向量组321,,ξξξ单位化得到正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0213121031212131Q ,正交矩阵Q 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=100010005AQ Q T ,所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=456546663TQ Q A .补充:同时还能求出kA () ,2,1=k 的值,()T k T T T kT k Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Λ=ΛΛ⨯Λ=Λ= )(.3.5 矩阵特征值的简单应用性质[]46 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.性质[]57 n 阶矩阵A 与其转置矩阵TA 有相同的特征值.性质8 已知n 阶矩阵A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则n A λλλ 21⋅=. 例8 设n 阶矩阵A 有n 个特征值n ,,2,1 ,且矩阵B 与A 相似,求B E +的值. 解因为A 的特征值为n ,,2,1 ,矩阵B 与A 相似. 所以B 的特征值也为n ,,2,1 ,令()1+=λλf ,则()B f 的n 个特征值为()()()1,,32,21+===n n f f f , 因为!21n n A =⋅⋅⋅= ,所以()()()()!121+=⋅⋅⋅=+n n f f f B E .总结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。

第8章矩阵特征值计算

(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模第82章矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章矩阵特征值计算

计算方法第八章矩阵特征值计算

R(vk
)
( Avk , vk ) (vk , vk )
1
o
2 1
2k
由幂法迭代向量 uk , 得
max(
uk
)
1
o
2 1
k
23
3 反幂法 (1) 计算矩阵按模最小特征值
反幂法是用幂法计算矩阵A的逆矩阵 A1 按模最大
特征值的方法，即计算矩阵A的按模最小特征值的
方法。
设A为n阶非奇异矩阵，其特征值排列次序为
于是
n
n
n
vk Akv0 Ak ( ai xi ) ai Ak xi aiik xi
i 1
i 1
i 1
9
幂法
以下只考虑主特征值是单重实值的情形。
设 1 2 n , 则
vk
a11k x1
n i2
aiik xi
1k
a1
x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
对于充分的k，i
1
21
幂法的加速
（2）Rayleigh（瑞利）商加速设A为n阶实对称矩阵，x为任一n维非零向量，称数
R(x) (Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商。
R( x1 )
( Ax1, x1) (x1, x1)
1
22
幂法的加速
可证，对应于幂法中迭代向量vk 的Rayleigh商为
AR(p,q)只改变 A的第p列,第q列元素; 3 若A为对称矩阵, 则 RT ( p, q)AR( p, q)
亦为对称矩阵,且与A具有相同的特征值。
35
Jacobi方法
考虑到A的第k次相似变换

矩阵特征值与特征向量的计算方法

矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。

在许多问题中，矩阵和线性变换起着重要作用，并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。

本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得A与x的线性组合仍然是x的倍数，即有Ax = λx其中λ为常数，称λ为A的特征值，x为对应于λ的特征向量。

从几何意义上理解，特征向量是不被矩阵变换影响方向，只被影响长度的向量。

特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。

证明：设x为A的特征向量，有Ax=λx，则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数，因此cx也是A的特征向量。

特别地，对于λ≠0时，x/λ也是A的特征向量。

2. A的特征值的个数不超过n个。

证明：考虑特征值λ1, λ2,…,λt，对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。

利用向量线性无关性可得，至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内，此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合，因此Ay与y方向没有重合部分，由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。

3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线，则它们就可以作为Rn空间的一组基。

证明：设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量，考虑它们张成的向量空间V，在此空间中，A的作用就是对向量做伸缩变换，且Λ(xj) = λj。

对于每个向量y ∈ V，y可以表示成如下形式：y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基，因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。

因此，对于任意的向量y，可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基，c1,c2,…,ct是唯一确定的，因此Ay也被唯一确定了。

矩阵特征值与特征向量的求法

矩阵特征值与特征向量的求法1. 什么是矩阵的特征值和特征向量？矩阵是线性代数中的一种重要概念，它由行和列组成的二维数组。

在矩阵运算中，特征值和特征向量是非常重要的概念。

特征值（eigenvalue）是一个标量，表示线性变换在某个方向上的缩放因子。

一个方针的特征值是该线性变换在该方向上对原始向量进行缩放或拉伸的倍数。

特征向量（eigenvector）是与特定特征值相关联的非零向量。

它表示在某个方向上进行线性变换后不改变其方向，只改变其长度。

2. 特征值与特征向量的定义设A为n阶矩阵，如果存在数λ和非零列向量x使得Ax = λx则称λ为矩阵A的一个特征值，称x为对应于λ的一个特征向量。

3. 求解矩阵的特征值和特征向量要求解矩阵A的特征值和对应的特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤1：求解特征方程特征方程是一个关于λ的多项式方程，可以通过以下公式得到：det(A - λI) = 0其中，A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。

步骤2：解特征方程将特征方程化简后，可以得到一个关于λ的代数方程。

解这个方程即可得到矩阵A的特征值。

步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。

求解过程可以使用高斯消元法或其他方法。

4. 示例假设有一个2x2的矩阵A：A = [[a, b], [c, d]]我们想要求解这个矩阵的特征值和对应的特征向量。

步骤1：求解特征方程根据步骤1，我们需要计算det(A - λI) = 0。

其中，A - λI = [[a-λ, b], [c, d-λ]]det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = 0化简上述等式得到一个二次多项式关于λ：λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) = 0这就是特征方程。

步骤2：解特征方程通过求解特征方程，我们可以得到矩阵A的特征值。

步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。

矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量

矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在众多学科领域中都有广泛的应用。

而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。

本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法，以及如何求解矩阵的特征向量。

1. 特征值和特征向量的定义首先，我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得满足下述条件：AX = λX那么，λ就是矩阵A的一个特征值，而X则是对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。

2. 特征值的计算方法接下来，我们介绍几种常见的特征值计算方法。

2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。

它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质，构造出特征多项式，并求解多项式的根即可得到特征值。

举个例子，对于二阶方阵A = [a, b; c, d]，其特征多项式为：| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。

2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。

它利用特征向量的性质，通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。

其基本思想是，给定一个初始向量X0，不断迭代计算：Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理，直到收敛为止。

最后得到的向量X就是对应的特征向量，而特征值可以通过如下公式计算：λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。

它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。

首先，对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。

然后，将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘，得到一个新的矩阵A'。

重复进行QR分解和相乘的操作，直到收敛为止。

最后，得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

矩阵的特征值和特征向量的计算

矩阵的特征值和特征向量的计算在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是一对重要的概念。

它们可以帮助我们了解矩阵的性质和特点，对于很多问题的求解具有重要的意义。

本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法。

一、特征值和特征向量的定义对于 n 阶方阵 A，如果存在非零向量 v 使得Av = λv，其中λ 是一个常数，则称λ 为矩阵 A 的特征值，v 称为对应于特征值λ 的特征向量。

特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的线性变换效果，以及在某些问题中起到重要的作用。

二、特征值和特征向量的计算方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们需要求解特征方程 det(A - λI) = 0，其中 A 是待求矩阵，λ 是一个待定常数，I 是单位矩阵。

这个方程是由特征向量的定义出发得到的。

2. 解特征方程可以得到一组特征值λ1, λ2, ... , λn。

这些特征值就是矩阵的特征值，它们可以是实数或复数。

3. 对于每一个特征值λi，我们需要求解方程组 (A - λiI)v = 0，其中 v 是待求特征向量。

这个方程组的解空间就是对应于特征值λi 的特征向量的集合。

4. 对于每一个特征值λi，我们需要求解出它对应的特征向量 vi。

特征向量的计算需要利用高斯消元法或其他适用的方法。

这样，我们就可以计算出矩阵的所有特征值和对应的特征向量。

三、特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域有着广泛的应用，以下是其中一些常见的应用：1. 特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质。

例如，特征值的数量可以告诉我们矩阵的维度，而特征向量可以描述矩阵的线性变换效果。

2. 特征值和特征向量在图像处理和模式识别领域有着重要的应用。

通过矩阵的特征向量，我们可以提取图像的特征，进而进行分类和识别。

3. 特征值和特征向量在物理学中也有着广泛的应用。

它们可以用于描述量子力学中的粒子运动，电路中的振动模式等。

矩阵的特征值与特征向量的计算

矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，应用广泛于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法，以及其在实际问题中的应用。

一、矩阵特征值与特征向量的定义对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k 为一个标量，则称k为矩阵A的一个特征值，X为对应于特征值k的特征向量。

特征值与特征向量的计算是一个求解矩阵特征值问题的过程，这在实际中具有很大的意义。

接下来，我们将介绍矩阵特征值与特征向量的计算方法。

二、矩阵特征值与特征向量的计算方法计算矩阵的特征值与特征向量有多种方法，其中比较常用的方法是特征值分解和特征方程。

1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵和特征值矩阵相乘的形式，即A=VΛV^-1。

其中，V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。

特征值分解的计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，其中I为单位矩阵。

（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。

（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。

（4）将得到的特征向量按行组成矩阵V，特征值按对角线组成矩阵Λ。

2. 特征方程法特征方程法是直接求解矩阵A的特征值的方法。

计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0。

（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。

（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。

在实际计算中，可以利用计算机软件或在线计算器进行特征值与特征向量的计算，提高计算的效率。

三、矩阵特征值与特征向量的应用矩阵的特征值与特征向量在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍两个常见的应用场景。

1. 矩阵对角化对于一个n阶矩阵A，若能找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。

此时，Λ的对角线上的元素为矩阵A的特征值。

数值分析矩阵特征值特征向量计算

vk1 Auk
lim
k
uk
x1 x1
11
幂法
1 的计算
uk
vk Akv0
vk vk 1
Akv0
Auk
Ak 1v0 Akv0
k1 1
1 x1
n i2
i
i 1
k 1
xi
1k
1 x1
n
i
i2
i 1
k
xi
lim
k
vk
1
12
改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
2 jn 1 p 1
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
保持主特征值加快收敛速度
15
举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取 p=0.75
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
16
反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量
0.5 0.25 2.0
14
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于
r的大小2 1
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p
选择适当的 p 满足：
(1) | 1 p || j (pj |= 2, ... , n ) (2) max j p 2
数值分析
第八章矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容

矩阵的特征值和特征向量的计算

矩阵的特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中比较重要的概念。

在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。

本文将会介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、意义以及计算方法。

一、特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n维向量v和一个常数λ，使得下面的等式成立：Av=λv那么称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的特征向量。

特征向量是非零向量，因为如果v为0向量，等式就无法成立。

另外，特征向量不唯一，如果v是A的特征向量，k是任意一个非零常数，那么kv也是A的特征向量。

但特征值是唯一的。

二、特征值和特征向量的意义矩阵的特征值和特征向量有着重要的物理和数学含义。

对于一个矩阵A，它的特征向量v和特征值λ描述的是矩阵A对向量v的作用和量变化。

当一个向量v与矩阵A相乘时，向量v的方向可能会发生变化，而特征向量v就是那些方向不变的向量，仅仅发生了缩放，这个缩放的倍数就是特征值λ。

也就是说，特征向量v在被矩阵A作用后仍保持了原来的方向，并且只发生了缩放。

从物理角度理解，矩阵的特征值和特征向量可以描述线性系统的固有特性。

在某些情况下，如机械振动、电路等自然界现象中，系统本身就带有某种特有的振动频率或固有响应。

而这些系统在一些特殊的情况下可以通过线性代数描述，正是因为它们具有特征值和特征向量。

三、特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程来计算。

特征方程的形式为det(A-λI)=0，其中det(A-λI)表示A-λI的行列式，I是单位矩阵。

求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn。

接下来，针对每个特征值λi，都可以通过求解线性方程组(A-λiI)v=0来得到一个特征向量vi。

需要注意的是，一个矩阵的特征值和特征向量并不一定都能够求出来，只有在某些情况下才可以求出。

例如，对于一个非方阵，就不存在特征值和特征向量。

另外，如果矩阵的特征值出现重复，那么对应于这些特征值的特征向量可能无法确定，可以使用广义特征向量来处理。

矩阵特征与特征向量的计算

矩阵特征与特征向量的计算首先，我们来定义矩阵的特征值和特征向量。

设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个n维非零向量v，使得Av=λv，那么称λ是矩阵A的一个特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。

接下来我们来看矩阵特征值的计算。

设A是一个n阶方阵，特征多项式定义为f(λ)=，A-λE，其中E是n阶单位矩阵。

特征多项式f(λ)是一个以λ为变量的n阶多项式。

那么矩阵A的特征值就是使得特征多项式f(λ)为0的λ的解。

特征多项式的根可以通过解方程f(λ)=0得到，但通常这样的计算是非常繁琐的，特别是对于高阶矩阵。

所以我们通常使用特征值的性质和计算方法来简化计算。

首先，特征值有一个非常重要的性质：特征值是与A的行列式相等的。

即特征值的和等于矩阵A的迹（即主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵A的行列式。

这个性质可以方便地用于计算特征值的近似值。

其次，特征值还有一个重要的性质：特征值与矩阵A的转置矩阵和逆矩阵相等。

即如果λ是矩阵A的特征值，那么对应的特征向量也是矩阵A的转置矩阵和逆矩阵的特征向量。

这个性质可以方便地用于计算特征向量。

接下来我们来看特征向量的计算。

对于给定的特征值λ，我们要找到对应的特征向量v。

我们可以将特征向量问题转化为求解线性方程组的问题，即求解(A-λE)v=0。

这个线性方程组称为齐次线性方程组，他的解空间就是特征值λ的特征向量的集合。

我们可以使用高斯消元法、矩阵的行列式等方法来求解这个线性方程组。

最后，我们来总结一下计算矩阵特征和特征向量的步骤：1.计算特征多项式f(λ)=，A-λE，展开并化简得到f(λ)=a_nλ^n+a_(n-1)λ^(n-1)+...+a_1λ+a_0。

2.解方程f(λ)=0，得到特征值λ1,λ2,...,λn。

3.对于每个特征值λ_i，求解线性方程组(A-λ_iE)v_i=0，得到对应的特征向量v_i。

4.对特征向量进行归一化处理，使其模长为1实际应用中，矩阵特征和特征向量的计算通常使用计算机进行，可以使用数值方法如幂法、反幂法、QR分解等来近似计算特征值和特征向量。

计算方法第八章矩阵特征值和特征向量的计算(32学时)-2011-2-21

第八章矩阵特征值和特征向量的计算§1 引言§2 乘幂法与反幂法§3 Jacobi方法西北工业大学理学院欧阳洁1西北工业大学理学院欧阳洁2设A 为n 阶方阵，若数λ满足x x Ax ≠=λ则λ称为A 的一个特征值。

非零向量x 称为与特征值λ对应的特征向量。

求A 的特征值，可通过求det(A −λI )=0的n 个根得到；对应的特征向量可通过求的非零解向量得到。

n i i L ,2,1)(==−0x I A λ但将det(A −λI )=0展开为λ的多项式，未必得到精确的特征方程；且n 增加，计算量迅速增加。

计算矩阵特征值及特征向量的数值方法：迭代法和变换法§1 引言§2 乘幂法与反幂法一乘幂法二原点平移法三反幂法西北工业大学理学院欧阳洁3个特征值在上述四个盖尔圆的并集之中。

理学院欧阳洁12西北工业大学理学院欧阳洁13交结在一起的盖尔圆所构成的最大连通区域称为一个连通区域。

孤立的一个盖尔圆就是一个连通部分。

例题中，和交结在一起，它们的并集是一个连通区域（其中任意两点可以用位于该区域内的一条折线连接）。

1G 3G 本例题中有三个连通部分，即和的并集是一个连通部分，与各是一个连通部分。

1G 3G 2G 4G 例题中，与中各有一个特征值，而和构成的连通部分中有两个特征值。

1G 3G 2G 4G§3 Jocobi方法一Jacobi方法二Jacobi法的变形西北工业大学理学院欧阳洁17西北工业大学理学院欧阳洁18求实对称矩阵全部特征值和特征向量。

1 相关知识③若A 为实对称矩阵，则存在正交阵Q ，使①矩阵A 与相似矩阵的特征值相同。

1−=PAP B ②若矩阵Q 满足，则称Q 为正交矩阵。

I Q Q =TT Q Q =−1显然，且正交阵的乘积仍为正交阵。

且的列是相应的特征向量。

TQ ),,,(21n Tdiag λλλL =QAQ ④实对称矩阵的特征值均为实数，且存在标准正交的特征向量系。

第8章矩阵特征值计算

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定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2,.n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
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定理2 设λi(i=1,2,,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12 A1m
R11 R12 R1m
Q
T
AQ

R22

R2m
Rmm

,
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A的实特征值，每个二阶对角块Rii的两个特征值是 A的两个共轭复特征值.
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我们转向实Schur型的实际计算. 定义4 设A∈Rn×n为对称矩阵，对于任一非零
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1

PT AP
2
,

n

且λ1,λ2,,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un) 列向量
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.