计算方法第八章矩阵特征值和特征向量的计算(32学时)-2011-2-21

第八章

矩阵特征值和特征向量的计算§1 引言

§2 乘幂法与反幂法

§3 Jacobi方法

西北工业大学理学院欧阳洁1

西北工业大学理学院欧阳洁2设A 为n 阶方阵，若数λ满足

x x Ax ≠=λ则λ称为A 的一个特征值。非零向量x 称

为与特征值λ对应的特征向量。

求A 的特征值，可通过求det(A −λI )=0的n 个根得到；对应的特征向量可通过求的非零解向量得到。n i i L ,2,1)(==−0x I A λ但将det(A −λI )=0展开为λ的多项式，未必得到精确的特征方程；且n 增加，计算量迅速增加。

计算矩阵特征值及特征向量的数值方法：

迭代法和变换法§1 引言

§2 乘幂法与反幂法

一乘幂法

二原点平移法

三反幂法

西北工业大学理学院欧阳洁3

个特征值在上述四个盖尔圆的并集之中。

理学院欧阳洁12

西北工业大学理学院

欧阳洁13交结在一起的盖尔圆所构成的最大连通区域称为一个连通区域。孤立的一个盖尔圆就是一个连通部分。

例题中，

和交结在一起，它们的并集是一个连通区域（其中任意两点可以用位于该区域内的一条折线连接）。

1G 3G 本例题中有三个连通部分，即和的并集

是一个连通部分，

与各是一个连通部分。1G 3G 2G 4G 例题中，与中各有一个特征值，而和构成的连通部分中有两个特征值。

1

G 3G 2G 4G

§3 Jocobi方法

一Jacobi方法

二Jacobi法的变形

西北工业大学理学院欧阳洁17

西北工业大学理学院欧阳洁18

求实对称矩阵全部特征值和特征向量。1 相关知识

③若A 为实对称矩阵，则存在正交阵Q ，使①矩阵A 与相似矩阵的特征值相同。

1

−=PAP B ②若矩阵Q 满足，则称Q 为正交矩阵。

I Q Q =T

T Q Q =−1

显然，且正交阵的乘积仍为正交阵。且的列是相应的特征向量。

T

Q )

,,,(21n T

diag λλλL =QAQ ④实对称矩阵的特征值均为实数，且存在标准

正交的特征向量系。

一Jacobi 方法

基本思想：将实对称矩阵A 经一系列正交相似变换约化为一个近似的对角阵，从而该对角阵的对角元就是A 的近似特征值，由各个正交变换矩阵乘积的转置可得对应的特征向量。

西北工业大学理学院欧阳洁

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⑥Givens 旋转矩阵R (p ,q ,θ)是正交阵，其中

=

),,(θq p R q

p

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡−11

cos sin 11sin cos 11O L L L M M M O M M M L L L O θθθθp

q

Jacobi 方法就是用这种旋转矩阵对实对称阵A 作一系列旋转相似变换，从而将A 约化为对角阵。

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如果不断地变换下去，则最后非对角元素可趋于0,即可通过一系列旋转变换，使A 与一对角阵相似。

22)()(pq

a

S S −=A C 22)()(pq

a

D D +=A C 说明经旋转变换后，C 的对角线元素平方和比A 的对角线元素平方和增加

了。而C 的非对角元素平方和比A 的非对

角元素平方和减少了。

T

RAR C =2

2pq a 2

2pq a Remark

某步化为零的元素在后续的步骤中可能又非零。但只要不断重复化零过程，则当k →∞时，非对角元素必趋于0。

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③特征向量的计算

记于是A 的特征向量可与特征值同时求得。k +1次变换结束后，由

T k k k k 1

11+++=R

A R A L

L L L =T k T k T

T k k 1

21121++=R

R R AR R R R R L L T k k k k T T 1

112

1221

11,,,+++===R

A R A R A R A AR R A L 得T k T k k k k 111+−+=R

R A R R 111R R R H L k k k ++=则为正交矩阵

T k k 1

1,++H H 且D

AH H A ===++∞

→+∞→),,,(lim lim 211

11n T

k k k k k diag λλλL D

H H A 11

1)(−++≈k T k 或D

H

AH

T k T k 1

1

++≈)

,,,()~

~~()~~~(212121n n n diag λλλL L L H H H H H H A ≈即n

i i i i ,,2,1~

~L =≈H H A λT

k T T T

k 1

211++=R R R H L 即