数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用

蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下：

（1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程：

u aX dt

dX =+)1()

1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；)

1(X

是原始数据)

0(X

的累加生成（AGO ）值。

（2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为：

∑==k

n n X k X

1

)0()

1()()( （2）

不直接采用原始数据)

0(X

建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，

然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B M M

（3）

向量T

N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0(Λ=

（4）作最小二乘估计，求参数u a ,

N T

T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=α （4）

（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为

a

u e a u X t X

at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1( （5） 这就是要建立的灰色预测模型。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测

下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。

1、建立GM （1,1）模型 表中一次累加数列)()

1(k X

是根据断裂时间数列)()0(k X ，由公式（2）得到的。例如，

∑==++==3

1

)0()

1(43.925.480.238.2)()3(n n X X

。

按（3）构造矩阵⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----=19.2118.12130

.7178.3B ，T

N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=，代入（4），可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα， 按（5）可得到模型（1）的解为2.24.4)1(ˆ5.0)

1(-=+t e t X

，取t 为应力序数k 时，由

2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X

（6） 即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)

1(Λ=+k k X

。

2、检验

当4,3,2,1=k 时，由（6）式得出]3.30,52.17,76.9,05.5[)1(ˆ)

1(=+k X

，而由表中得出

]58.27,28.16,43.9,18.5[)1()1(=+k X ，计算出平均相对误差为0.04，这一精度是相当理想的。

3、预测

由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生成数列中的各个数据。特别是估计序数5以后的数据，就更有实际意义了。

轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻1公斤，试验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要了。下面，我们根据（6）式来预测载荷32 kg/mm 2的断裂时间。它对应的序数为6，也就是要求出)6()

1(X

和)6()0(X 。由（6）式得4.51)6()1(=X ，从表中查得

=)5()1(X 27.58再由)6()0(X =)6()1(X =-)5()1(X 23.82，这说明，在载荷32 kg/mm 2下，此

种材料大约经过2382小时断裂。