数学分析知识点总结

数学分析知识点总结 第一篇 分析基础 1.1收敛序列

（收敛序列的定义）

定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有

ε<-a x n

那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为

a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n

定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。

定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件

N n z y x n n n ∈∀≤≤,

如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有

a y n =lim

定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价

（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得

,

1,2,.n n x a a n =+=

（收敛序列性质）

定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5：

（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。

（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。

（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。 （4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则a

x n 11lim

=。 （5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim lim

lim n n n n y y b x x a

==。 （收敛序列与不等式）

定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有

n n x y <

定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足

0,

,n n x y n N ≤∀>

那么

lim lim n n x y ≤

1.2 收敛原理

（单调序列定义）

定义：（１）若实数序列}{n x 满足

1,,n n x x n N +≤∀∈

则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为

{}.n x ↑

（２）若实数序列{}n y 满足

1,,n n y y n N +≥∀∈

则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为

{}n y ↓

（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。

定理１：递增序列}{n x 收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}n x 。 定理1推论：递减序列{}n y 收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}n x 。 扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为

10,

,n n x x n N +≤∀>

及

10,

,n n y y n N +≥∀>

（自然对数的底e ）

自然对数的底e 通过下面这个式子求得

1lim 1n

n e n →+∞

⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

我们先来证明序列11n

n x n ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭是收敛的。

（1）序列11n

n x n ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

是单调上升的。

111112111(1)(1)(1)

2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)

!n

n x n n n n k k n n n n n n n n

⎛⎫

=+=++-+-- ⎪⎝⎭

-++----++---

1

1111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)

!1111121(1)(1)(1)

!111112(1)(1)(1)(1)!111

n n x n n n n k k n n n n n n n n n n n n n ++⎛

⎫=+=++

-+-- ⎪

++++⎝⎭

-++---+++-++---++++---++++ 对比n x 和1n x +的展开式，1n x +前面1n +项的每一项都比n x 中相应项要大，即

112

1112

1

(1)(1)(1)(1)(1)(1)!11

1!k k k n n n k n n

n

-----

>---

+++ 除此之外1n x +还比n x 在最后多一个正项。因此我们得出n x 是单调上升的，即

1,,n n x x n N +<∀∈

（2）序列11n

n x n ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

是有上界的。

21111121

111(1)(1)(1)

(1)2!!111

11222

1112

113

111122

n

n n

n

n x n n n n n n

-⎛⎫

=+=++-++---

⎪⎝⎭

<+++++⎛⎫- ⎪

⎝⎭=+<+=--

序列11n

n x n ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e 表示。通过计算机

模拟，我们可以得到e 的近似值，前几位是2.718281828459045…

在数学中，以e 为底的对数称为自然对数，e 称为自然对数的底，正实数x 的自然对数通常记为ln x ，log x 或者log e x 。