516-理论力学CAI版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系

转动惯量恒正 单位
理论力学CAI 矢量动力学基础
Pk
yk y
kg m2
10
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 刚体转动惯量的另一种表达
z
JOz
mk xk2 yk2
mk
2 kz
k
k
刚体关于Oz轴的转动惯量等于所有质点的
质量与其到Oz轴距离的平方乘积的代数和
def
令
J Oz
m
2 z
m为刚体的质量
Oz轴为刚体的惯量主轴
O
x
z
P
y
z
P
y P
P(xk , yk , zk ) P(xk , yk , zk )
mk xk zk mk xk zk 0 mk yk zk mk yk zk 0
P(xk , yk , zk ) P(xk , yk ,zk )
mk xk zk mk xk zk 0 mk yk zk mk yk zk 0
JOxy mk xk yk mk (xC xk )( yC yk )
k
k
mk xk yk xC yC mk xC mk yk yC mk xk
k
k
J Cxy
m
JOxy JCxy mxC yC JOyz JCyz myC zC JOzx JCzx mzC xC
k
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/前言
• 矢量力学的基础
– 奠基人：伽利略，牛顿
– 牛顿定律
• 第一定律 惯性定律
– 质点不受力的作用，则永远保持静止，或作匀速直线运动
• 第二定律力与加速度关系定律
– 质点受一力作用而产生加速度，其方向与作用力相同，其大 小与力的大小成正比
• 第三定律 作用与反作用定律
z
C r
球体
JCx JCy
y
JCz
2 5
mr2
x
JCz JCx
m(R2 JCy
3r2) 4
1 m(R2 2
5 4
r2
)
r R
JCz mR2
JCx
JCy
1 mR2 2 12
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 刚体惯量积的定义
z
在刚体的给定点O 建立连体基
Oe
zk
刚体任意质点Pk的质量 mk
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
质量
• 质点的质量
– 质点惯性的度量
F ma
• 质点系的质量
m F /a
质点系 P1, P2 , ,PN
各个质点的质量
mi i 1,2, , N
n
m mi
i1
Saturday, April 25, 2020 8
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
z 刚体对Oz轴的回转半径
m
2 z
mk
2 kz
k
x
def
JOx
mk yk2 zk2
mk
2 kx
m
2 x
x
k
k
def
JOy
mk
z
2 k
xk2
mk
2 ky
m
2 y
y
k
k
Saturday, April 25, 2020
理论力学CAI 矢量动力学基础
zk kz
rk O
kz
xk
Saturday, April 25, 2020 15
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 主轴连体基
转动惯量和惯性积与连体基的基点位 置和连体基基矢量的方位有关
z zi
同一个基点O，不同连体基的刚体转动
惯量与惯性积不同，但存在关系
O ei
JOxi , JOyi , JOzi
x
z
z
x
Saturday, April 25, 2020 20
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/平行轴定理
转动惯量的平行轴定理 z
• 刚体对不同基点连体基
的转动惯量与惯量积不
同，但存在关系
O
• 讨论刚体对不同基点相
互平行两连体基的惯量
x
特性间的关系
z y
x C y
Saturday, April 25, 2020 21
理论力学 CAI
矢量动力学基础
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
矢量动力学基础
• 前言 • 惯量 • 动量定理 • 动量矩定理 • 动能定理
Saturday, April 25, 2020 2
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/前言
前言
• 动力学的任务
理论力学CAI 矢量动力学基础
刚体关于Oyz平面的惯性积 刚体关于Ozx平面的惯性积
惯性积可正可负 单位 kg m2
y
13
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 刚体的惯量主轴
JOyz 0 JOxz 0 JOxz 0 JOxy 0
称Oz轴为刚体的惯量主轴 称Ox轴为刚体的惯量主轴
JOxy 0 称Oy轴为刚体的惯量主轴
–建立质点、质点系与刚体所受的力与它们运动的关系 –建立描述此关系的数学模型：运动微分方程
• 动力学的基本问题
–正问题
• 已知力求运动 • 数学问题：对运动微分方程进行积分运算
–逆问题
• 已知运动求力 • 数学问题：对运动微分方程进行微分运算 • 静力学问题是特殊的动力学逆问题
Saturday, April 25, 2020 3
Pk
yk y
刚体对Ox轴的回转半径 刚体对Oy轴的回转半径
11
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 常见的均质几何体的转动惯量
y
Cl
x
JCy
JCz
1 12
ml2
JCx 0
x
细直杆
y
y
r C
圆形薄板
x
J Cz
1 mr2 2
JCx
JCy
1 4
mr2
R C
r
圆环
Saturday, April 25, 2020 理论力学CAI 矢量动力学基础
– 有一个作用力必存在另一个反作用力，其大小与作用力相等， 方向与作用力相反
– 作用力与反作用力加在不同的物体上
Saturday, April 25, 2020 4
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/前言
• 本章的任务
– 建立适用于解决质点系、刚体与刚体系的动 力学的基本原理
Saturday, April 25, 2020 5
O
J , J , J Oxi yi Oyi zi Ozi xi
过点O至少存在一个连体基，该基的
三根轴同时为刚体的主轴
Oe
JOx , JOy , JOz
x xi
JOxy JOyz JOzx 0
O e 刚体关于点O的主轴连体基
Saturday, April 25, 2020 理论力学CAI 矢量动力学基础
z
C
z
x
x
18
矢量动力学基础/惯量/转动惯量/解
[解]
圆盘CC上质ee点Prrkkk的矢x径xkk
rk
yk yk
zk T zk T
rk Ark xk xk cos zk sin
Pk rk
C
z
z
yk yk
zk xk sin zk cos
JCxz mk xk zk
k
x
x
mk (xk2 zk2 ) sin cos mk xk zk (cos2 sin2 )
z
k
Pk
z
k
y
rk
O
rC x C
y
x
Saturday, April 25, 2020 理论力学CAI 矢量动力学基础
xk xC xk yk yC yk zk zC zk 24
矢量动力学基础/惯量/平行轴定理/例
[例]
图示一摆由长为 l 均质杆与一半 径为 r 的均质圆球刚连而成。 质量分别为 m1 与 m2
质O点Pke的:矢r径k
rk
xk
yk
zk T 常值阵
Hale Waihona Puke zzk rkO
def
JOz
mk xk2 yk2
k
刚体关于Oz轴的转动惯量
x xk
def
JOx
mk
yk2
z
2 k
def k
JOy mk zk2 xk2
k
Saturday, April 25, 2020
刚体关于Ox轴的转动惯量 刚体关于Oy轴的转动惯量
k
k
yk2 yk2
(JCz' JCx' ) sin cos JCx' z' (cos2 sin2 )
e相对于
e
cos
A 0
方向余弦阵 0 －sin
1 0
sin
0
cos
Saturday, April 25, 2020
19 理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量/解
JCxz (JCz' JCx' ) sin cos JCx' z' (cos2 sin2 )
对于均质圆盘的转子
Pk
C e 中心惯量主轴连体基
J Cz
1 mr2 2
J Cx
1 4
mr2
JCx' z' 0
C
J Cxz
(JCz'
JCx'
) sin
cos
mr2 4
sin
cos
显然 C e 非中心惯量主轴连体基
转动惯量
• 质量是质点或质点系平动惯性的度量
m1 m2
M1 M2
2
1
1 2
• 转动惯量是质点系（刚体）转动惯性的度量
Saturday, April 25, 2020 9
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 刚体转动惯量的定义
在刚体的给定点O 建立连体基
Oe
刚体任意质点Pk的质量 mk
刚体对任意轴的转动惯量等于它对
k
k
z
Pk z k
y
rk
O
rC x C
y
过质心的平行轴转动惯量加上刚体 的质量与两轴垂直距离平方的乘积
hz
x
JOx JCx mhx2
JOy JCy mhy2
Saturday, April 25, 2020 23
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/平行轴定理
JOz mk xk2 yk2
z
Pk z k
y
rk
O
rC x C
y
x
e相对于
e
方向余弦阵
k
mk (xC xk )2 ( yC yk )2
A I
k
mk (xk2 yk2 ) (xC2 yC2 ) mk 2xC mk yk 2 yC mk xk
Saturkday, April 25, 2020 理论力学CAI 矢量动力学基础
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/平行轴定理
• 定理描述
同一O刚体 两e 个连C体基e相 互平行
C为质心 rC
质点Pk的矢径 rk rC e : rk rC
rk
k A k
k
xk xC xk yk yC yk
rC k
zk zC zk
试计算该摆对过O且垂直杆的z 轴的转动惯量
Saturday, April 25, 2020 理论力学CAI 矢量动力学基础
O
z
y x
25
矢量动力学基础/惯量/平行轴定理/解
[解]
过均质杆质心 C1建连体基 过均质球质心 C2建连体基
C1 e1 平行于 C2 e2 平行于
k
k
k 22
矢量动力学基础/惯量/平行轴定理
JOz mk (xk2 yk2 ) (xC2 yC2 ) mk 2xC mk yk 2 yC mk xk
k
mk
J k
Cz
mC
0
h
2 z
k
m
C为质心
k
mk xk 0
mk yk 0
mk zk 0
k
k
k
JOz JCz mhz2
质O点Pke的:矢r径k
rk
xk
yk
zk T 常值阵
Pk
rk
O
def
JOxy JOyx mk xk yk
k
yk xk
刚体关于Oxy平面的惯性积 x
def
JOyz JOzy mk yk zk
def k
JOzx JOxz mk zk xk
k Saturday, April 25, 2020
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量
惯量
• 转动惯量 • 转动惯量的平行轴定理
Saturday, April 25, 2020 6
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
转动惯量
• 质量 • 转动惯量
Saturday, April 25, 2020 7
理论力学CAI 矢量动力学基础
JOyz 0
x
z
zk rk
O
xk
Pk
yk y
Saturday, April 25, 2020 14
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
Oz轴为刚体的旋转对称轴
JOxz 0 JOyz 0
Oz轴为刚体的惯量主轴
P
O
x
Oxy为刚体的对称面 Oz轴为垂直于该面的任意轴
JOxz 0 JOyz 0
yi y
16
矢量动力学基础/惯量/转动惯量
• 中心主轴连体基
刚体关于质心C的惯量主轴连体基 称为中心惯量主轴连体基
C e JCx , JCy , JCz
刚体的中心主转动惯量
JCxy JCyz JCzx 0
刚体对不同基点的连体基的转动惯量 与惯量积不同，但存在关系
z
z O
x
C x
y y
Saturday, April 25, 2020 17
理论力学CAI 矢量动力学基础
矢量动力学基础/惯量/转动惯量/例
[例] 均转C z质子有圆的如盘转图的轴所C转示z子一与，小圆质偏盘心角中为心C。轴
试计算惯性积JCzx
Saturday, April 25, 2020 理论力学CAI 矢量动力学基础