复变函数试卷-杨晓京

1、(a)设f z =u x ,y +i v x ,y 处处解析，写出f z 的Cauchy-Riemann 条件，并用u ,v 的n 阶偏导给出f n (z )的表达式；

(b)设f z =u x ,y +i v x ,y 处处解析，证明u x ,y 满足Laplace 方程。

2、(a)写出cos 3x +2y i 的实部、虚部；(b)求 4i i 的一般值。

3、求以下复积分：

(a)

I =

d z 1+z n

z =3 (b)

J =

cos 2z -1 z =1d z 4、求以下实积分：

(a)

I =

d x 2π

0 其中−1

(b)

J =

x sin 2x d x +∞

5、(a)叙述Abel 定理以及收敛半径的定义；

(b)证明：若 a k r k +∞k =0收敛， a k r k +∞k =0发散，则原级数收敛半径为r 。

6、求将 z −1 1,R >0。

7、求将a

8、若a ,b ,c ,d ∈ℝ，且ad −bc >0，证明分式线性映射w =az +b cz +d 将上半平面正向映射成上半平面，即把实轴正向映射成实轴。

9、求将z 1=0,z 2=1,z 3=∞映射成w 1=1,w 2=i,w 3=−1的分式线性映射，要求最终表达式的形式为w =az +b

z +d 。

10、求将 z <1映射成 w <1的分式线性映射的一般表达式，并证明

d w 1− w 2= d z 1− z 2