小波变换

小波变换理论及应用
ABSTRACT ：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。

但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。

正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。

在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。

第一章 小波变换理论
这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。

1.1. 从傅里叶变换到小波变换
一、 傅里叶变换
在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform ），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。

图1.1给出了傅里叶分析的示意图。

图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)：
⎰∞
∞--=dt e t x X t j ωω)()(............................................. (1)
X(ω)的傅里叶反变换x(t)：
⎰∞
∞-=ωωπωd e X t x t j )(21)( (2)
对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。

因为它能给出信号中包含的各种频率成分。

但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。

而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。

这些特性是信号的重要部分。

因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。

傅里叶变换
二、短时傅里叶变换
为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。

图1.2给出了短时傅里叶变换的示意图。

短时傅里叶变换
图1.2短时傅里叶变换
盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。

这些信息的精度依赖于时间窗的大小。

盖博变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗的大小都相同。

然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。

三、小波变换
小波变换提出了变化的时间窗。

当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。

图1.3给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换对比的示意图。

时间域频率域
短时傅里叶变换小波变换
图1.3 小波变换示意图
1.2.连续小波变换
什么是小波？小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。

小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好的解决了时
间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域里都具有很好的局部性质。

对信号中的低频部分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频部分，采用窄的的时间窗，得到低的频率分辨率。

小波变换的这种自适应，使它在工程技术中和信号处理方面获得广泛的应用。

1.2.1 连续小波的定义
图1.4是一个Daubechies 小波（db10）与正弦波的比较。

正弦波 小波（db10）
图1.4 傅里叶变换和小波变换基本单元 正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。

由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变换的基础。

因此用小波能更好的刻画信号的局部特性。

连续小波变换(Continue W avelet Transform)的数学表达式为
⎰-=R
f dt a b t t f a b a WT )()(1),(*ψ…………………………………………………..(3) 式中，)(t ψ为小波，a 为尺度因子，b 为平移参数。

尺度因子a 越小，)(,t b a ψ的波形变窄，)(,ωψb a 的频谱向高频扩展；a 越大，)(,t b a ψ的波形变宽，)(,ωψb a 的频谱向低频端扩展，从而实现时间-频率窗的自适应调节。

1.2.2 连续小波变换的物理意义
连续小波变换的实质是滤波器。

滤波器在时间域和频率域中的表达式为：
⎰∞
∞--=τττd t h f t g )()()( (4)
)()()(ωωωH F G *= (5)
式中，h(t)是系统的脉冲响应，)(ωH 是滤波器的系统函数。

与连续小波变换公式（3）比较，小波变换的脉冲响应为
)()(2/1a t
a t h -=-ψ (6)
这种滤波器称为相关滤波器或者镜像滤波器。

1.2.3 连续小波变换的时间-频率特性
为了说明小波变换的时间-频率特性，引入时间-频率空间，该空间中横轴为时间，纵轴为频率，称为时频空间。

在频率空间中的窗函数可能为单窗函数或双窗函数。

设有窗口函数w(t)，其Fourier 变换为)(ˆ
ωw ，其在相平面时间轴上窗口的中心与宽度定义为：
⎰⎰==dt t w w dt t w t w E w 2222|)(|||||,|
)(|||||1
…..…………..(7) dt t w E t w w w 222|)(|)(||||1
⎰-=∆ (8)
图1.5
图1.5 时间轴主要能量区域
在相平面频率轴上窗口的中心与宽度为: ⎰⎰==ωωωωωd w w d w w E w 2222
ˆ|)(ˆ|||ˆ||,|)(ˆ|||ˆ||1……..(9) ωωωd w E w w w 22ˆ2ˆ|)(ˆ|)(||ˆ||1
⎰
-=∆…………..………………..(10) 图1.6给出了频率轴上窗口函数能量集中的主要区域。

图1.6 频率轴主要能量区域
因此，每个窗口函数在相平面上都对应着一个矩形区域，称为分辨率单元(Resolution Sell),如图1.7所示。

分辨率单元同时度量了窗口函数在时间和频率域的局部化能力。

小波构建块的分辨率单元：设母小波为ψ(t)，其Fourier 变换为)(ˆωψ
，由
母小波经不同的尺度参数及平移参数形成的伸缩小波即构建块在相空间的时间轴和频率轴的窗口中心与窗宽分别为：
τψψτ+⋅=E a E a ,
....................................................(11) ψψτ∆⋅=∆a a ,.. (12)
ψψτˆˆ1,E a E a ⋅=...........................................................(13) ψψτˆˆ1,∆⋅=∆a a . (14)
在相空间所形成的分辨率单元为(小波)(,t a τψ分辨率单元如图1.7所示):
]11,11[],[ˆˆˆˆψψψψψψψψττ∆+∆-⨯∆++⋅∆-+⋅a
E a a E a a E a a E a
图1.7 小波)(,t a τψ分辨率单元
1.3. 离散小波变换
实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数计算b a CWT ,值，加之实际 的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换(DWT)。

大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。

最有效的计算方法是快速小波算法（又称塔式算法）。

对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为近似部分和细节部分。

近似部分代表了信号的主要特征。

第二步对近似部分进行相似运算。

不过这时尺度因子已改变。

依次进行到所需要的尺度。

图1.8给出了信号经过第一次运算后获得的近似部分和细节部分。

1.3.1 函数空间及框架概念
一、函数空间
在分析数学的现在研究中，常常需要各种由函数组成的集类，称这些集类为
函数空间。

几种常见的函数空间如下所示：
图1.8近似部分和细节部分
1.预希尔伯特空间
一个复线性空间H，在其上
2.
1.3.2。