小波变换

小波变换理论及应用

ABSTRACT ：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。

第一章 小波变换理论

这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。

1.1. 从傅里叶变换到小波变换

一、 傅里叶变换

在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform ），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。图1.1给出了傅里叶分析的示意图。

图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)：

⎰∞

∞--=dt e t x X t j ωω)()(............................................. (1)

X(ω)的傅里叶反变换x(t)：

⎰∞

∞-=ωωπωd e X t x t j )(21)( (2)

对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。 傅里叶变换

二、短时傅里叶变换

为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。图1.2给出了短时傅里叶变换的示意图。

短时傅里叶变换

图1.2短时傅里叶变换

盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。盖博变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗的大小都相同。然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。

三、小波变换

小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。图1.3给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换对比的示意图。

时间域频率域

短时傅里叶变换小波变换

图1.3 小波变换示意图

1.2.连续小波变换

什么是小波？小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好的解决了时

间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域里都具有很好的局部性质。对信号中的低频部分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频部分，采用窄的的时间窗，得到低的频率分辨率。小波变换的这种自适应，使它在工程技术中和信号处理方面获得广泛的应用。

1.2.1 连续小波的定义

图1.4是一个Daubechies 小波（db10）与正弦波的比较。

正弦波 小波（db10）

图1.4 傅里叶变换和小波变换基本单元 正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变换的基础。因此用小波能更好的刻画信号的局部特性。

连续小波变换(Continue W avelet Transform)的数学表达式为

⎰-=R

f dt a b t t f a b a WT )()(1),(*ψ…………………………………………………..(3) 式中，)(t ψ为小波，a 为尺度因子，b 为平移参数。尺度因子a 越小，)(,t b a ψ的波形变窄，)(,ωψb a 的频谱向高频扩展；a 越大，)(,t b a ψ的波形变宽，)(,ωψb a 的频谱向低频端扩展，从而实现时间-频率窗的自适应调节。

1.2.2 连续小波变换的物理意义

连续小波变换的实质是滤波器。滤波器在时间域和频率域中的表达式为：

⎰∞

∞--=τττd t h f t g )()()( (4)

)()()(ωωωH F G *= (5)

式中，h(t)是系统的脉冲响应，)(ωH 是滤波器的系统函数。

与连续小波变换公式（3）比较，小波变换的脉冲响应为

)()(2/1a t

a t h -=-ψ (6)

这种滤波器称为相关滤波器或者镜像滤波器。

1.2.3 连续小波变换的时间-频率特性

为了说明小波变换的时间-频率特性，引入时间-频率空间，该空间中横轴为时间，纵轴为频率，称为时频空间。在频率空间中的窗函数可能为单窗函数或双窗函数。

设有窗口函数w(t)，其Fourier 变换为)(ˆ

ωw ，其在相平面时间轴上窗口的中心与宽度定义为：

⎰⎰==dt t w w dt t w t w E w 2222|)(|||||,|

)(|||||1

…..…………..(7) dt t w E t w w w 222|)(|)(||||1

⎰-=∆ (8)

图1.5

图1.5 时间轴主要能量区域

在相平面频率轴上窗口的中心与宽度为: ⎰⎰==ωωωωωd w w d w w E w 2222

ˆ|)(ˆ|||ˆ||,|)(ˆ|||ˆ||1……..(9) ωωωd w E w w w 22ˆ2ˆ|)(ˆ|)(||ˆ||1

⎰

-=∆…………..………………..(10) 图1.6给出了频率轴上窗口函数能量集中的主要区域。

图1.6 频率轴主要能量区域

因此，每个窗口函数在相平面上都对应着一个矩形区域，称为分辨率单元(Resolution Sell),如图1.7所示。分辨率单元同时度量了窗口函数在时间和频率域的局部化能力。

小波构建块的分辨率单元：设母小波为ψ(t)，其Fourier 变换为)(ˆωψ

，由