二向应力状态分析.ppt
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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy
n
材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)
x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT
d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin21
xycos21
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
x
y
)2
2
xy
2
排序??
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2 面内最大切应力
y xy
x
x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa,
max
(
x
y
)2
2
xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MPa， y 40MPa,
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
二向应力状态分析PPT课件
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
bh3 12
500cm4
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
2点 (处于纯剪状态)
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
3点 (一般平面状态)
2
300 + -600 x + y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
平面应力状态的几种特殊情况
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
扭转
- x sin 2 x cos 2
1 ＝ x 2 ＝0 3 ＝- x max x
min
弯
x
2
+x
2
cos 2
- x sin 2
曲
x
2
sin 2
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定max 所在的平面；
2）若x <y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定min 所在的平面；
2
及
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA，则 ae 面的面积为 dAsin ， ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
力等。
决定材料强度和稳定性
02
应力状态对材料的强度和稳定性有重要影响，是评估材料能否
承受外力作用的关键因素。
指导结构设计
03
了解应力状态有助于合理设计结构，优化材料使用，提高结构
的稳定性和安全性。
应力状态的应用
机械和航空航天领域
在机械和航空航天领域，应力状态分析用于评估各种设备和结构 的强度、疲劳寿命和稳定性。
应力状态概述
目录
• 引言 • 二向应力状态 • 三向应力状态 • 结论
01
引言
定义与概念
定义
应力状态是指物体在单位面积上所承 受的内力分布情况，用于描述物体在 受力作用下的状态。
概念
应力状态由主应力、剪应力和应变等 参数描述，这些参数反映了物体在受 力作用下的变形和破坏趋势。
应力状态的重要性
二向应力状态的实例
平板受压
当一个平板受到垂直于其平面的均匀 压力时，其内部的应力状态即为二向 应力状态。此时，平板受到两个相互 垂直的主应力作用，第三个应力分量 等于零。
圆柱形压力容器
当一个圆柱形压力容器受到均匀压力 时，其侧壁的应力状态为二向应力状 态。此时，侧壁受到两个相互垂直的 主应力作用，第三个应力分量等于零。
平面应变状态
平面应变状态的描述
当一个物体受到的应变分量都作用在同一个平面内时，称 该物体处于平面应变状态。
平面应变状态的特性
在平面应变状态下，只有两个相互垂直的主应变分量，而 第三个应变分量等于零。这种状态通常出现在受到均匀压 力或均匀拉伸的薄壁结构中。
平面应变状态的应用
在岩土工程和材料科学中，平面应变状态是常见的。例如， 在土壤力学中，土壤的压缩和膨胀分析需要考虑平面应变 状态。
二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
工程力学第2节 二向应力状态分析
例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。
x
y
2
sin 2
x
cos2
121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d
x
2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
二向等拉应力状态
二向等拉应力状态前言在物理学中，材料的拉伸性能是一个重要的研究领域。
当材料受到拉伸力时，会发生变形和应力。
二向等拉应力状态是一种特殊的应力状态，它具有独特的性质和应用。
什么是二向等拉应力状态？二向等拉应力状态是指材料在拉伸方向上的应力值相等，而在垂直拉伸方向上的应力值也相等的状态。
简单来说，就是材料在两个方向上受到的拉伸力大小相等。
二向等拉应力状态的特点二向等拉应力状态具有以下特点：1.各向同性性质：在二向等拉应力状态下，材料的物理性质在两个拉伸方向上都是相同的。
这意味着材料的性能不会因为拉伸方向的改变而发生变化。
2.材料均匀变形：由于二向等拉应力状态下的应力分布均匀，材料会均匀地发生拉伸变形，不会在某个局部产生过大的应力而导致破裂。
3.抗拉强度提高：二向等拉应力状态下，材料的抗拉强度会提高。
由于应力的分布均匀，整个材料都能够承担拉伸力，从而提高了材料的强度和耐久性。
4.适用性广泛：二向等拉应力状态适用于各种材料，包括金属、塑料、陶瓷等。
二向等拉应力状态的应用二向等拉应力状态具有许多应用，下面我们将介绍其中的几个方面。
1. 飞机结构在飞机的设计和制造中，二向等拉应力状态被广泛应用于机身和机翼等重要部件的设计。
通过使材料处于二向等拉应力状态，可以提高飞机的结构强度和耐久性，从而增加其安全性和飞行稳定性。
2. 建筑结构在建筑领域，二向等拉应力状态被用于加固和增强混凝土结构、钢结构和玻璃幕墙等建筑材料。
通过使材料处于二向等拉应力状态，可以有效地抵抗外部的风压、地震力和温度变化等不利因素，提高建筑的稳定性和耐久性。
3. 汽车制造在汽车制造中，二向等拉应力状态被应用于汽车车身和车架等重要部件的设计和制造。
通过使材料处于二向等拉应力状态，可以提高汽车的结构强度和刚性，从而增加车辆的安全性和驾驶稳定性。
4. 材料加工在材料加工领域，二向等拉应力状态被广泛应用于金属板材的拉伸加工和塑性变形过程中。
通过使材料处于二向等拉应力状态，可以减少拉伸过程中的变形和裂纹等缺陷，提高材料的加工质量和生产效率。
应力分析.ppt
m m
ax in
(
x
2
y
)2
2 xy
m in
max
tg 2 0
1 tg 21
ctg21 tg20 ctg(900 20 )
1
0
4
例题
13
铸铁扭转破坏动画
15
§9.4 二向应力状态分析--图解法
㈠应力圆,莫尔圆
⒈应力圆方程
(
x
y
,0)
半径:
2
应力圆方程
(
x
2
y
)2
2 xy
17
⒉应力圆的作法 设 x y
⑴建立στ坐标系 ⑵按一定的比例尺量取，横坐标OA=σx， AD=τxy，确定D点。 ⑶按一定的比例尺量取，纵坐标OB=σy， BD=τyx，确定D点。 ⑷连接DD与横坐标交于C点。 ⑸以C为圆心，CD为半径作圆。
xy cos 2
10
? ㈡σmax、σmin
d d
2[
x
y
2
sin 2 xy cos 2 ]
若当
0时,
d d
0
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
min
tg20
2 xy x
y
解出两各极值点α0,α0=90+α0
各面应力：均布，一对平行平面应力相同。
二向应力状态分析--解析法和图解法
多轴加载情况下处理方法
多轴加载定义
多轴加载是指物体在多个方向上同时受到外力的作用，导致物体 内部产生复杂的应力状态。
坐标变换法
通过坐标变换法可以将多轴加载情况下的应力状态转换到主应力 空间中进行分析，从而简化问题。
数值计算法
对于复杂的多轴加载情况，可以采用数值计算法求解应力张量和 主应力，以获得更精确的结果。
图形表示在工程中应用
01 02
复杂应力状态分析
在实际工程中，构件往往处于复杂的应力状态下。通过图解法，特别是 Mohr圆的应用，可以方便地确定构件的危险点和安全裕度，为工程设 计提供重要参考。
强度校核
在结构设计中，需要对关键构件进行强度校核。图解法可以直观地展示 受力构件的应力分布和大小，从而判断其是否满足强度要求。
VS
图解法适用范围
适用于简单的应力状态分析或者对精确度 要求不高的情况。例如，在初步设计阶段 或者课堂教学过程中，可以采用图解法进 行快速的应力状态分析和演示。
实例验证两种方法一致性
• 以某一具体实例为例，分别采用解析 法和图解法进行应力状态分析。通过 比较两种方法得到的结果，可以验证 两种方法的一致性和准确性。具体实 例可以根据实际情况选择，例如可以 选择一个简单的杆件结构或者一个复 杂的板壳结构进行分析。
优缺点分析
• 对数学知识要求低：相对于解析法，图解法对数 学知识的要求较低。
优缺点分析
精确度相对较低
由于绘图和测量过程中可能存在误差，因此图解法的精 确度相对较低。
适用范围有限
对于某些复杂的应力状态，图解法可能无法适用或者难 以得到准确结果。
适用范围讨论
解析法适用范围
适用于各种复杂的应力状态分析，特别 是需要高精度计算的情况。例如，在航 空航天、桥梁建筑等领域，对结构的安 全性要求极高，需要采用解析法进行精 确的分析和计算。
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CL A
A1 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
OL LC + CL
OC + CG cos 2 + 2
OC + CD cos 2 cos 2 - CD sin 2 sin 2
+ -
x
2
y+
x
2
y
cos
2
- x
sin
2
y
y
yx
n
xy x
x x xy
B1 B O 2
G1' ,G
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
(dAcosq) cosq
x
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- (dAsin q) sin q 0
y
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
- dA + (dAcos q) sin q
x
+ y
2
,0
半径：
x
- y
2
2
+
2 x
任一点坐标： ,
上述方程所表示的圆——应力圆或莫尔圆
二.应力圆的画法：
1.设 , 轴，选取应力比例尺。
2.以 x , x 为坐标，得D点， y , y 得E点。
3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心。
4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
Fx 0 Fy 0
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
目录
３、几种对应关系
y
y
x D
x
A
c o
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2q
- xy sin 2q
x'y' x - y sin 2q + xy cos 2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y' x'
x'
y''
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy
yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
D’ (y, yx) G2 "
EL CE sin2 + 2 CEsin 2 cos2 + cos2 sin 2 CD cos2 sin 2 + CD sin 2 cos2
CAsin 2 + DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
x'y'
x
+ (dAcos q) cos q
xy
- (dAsin q) sin q
yx
- (dAsin q) cos q 0
y
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2 q + y sin2 q - xy sinq cosq - yx sinq cosq x' y' x sinq cosq - y sinq cosq + xy cos2 q - yx sin2 q
点面对应
y
y
A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b
2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
yp xp
x''
x-y坐标系 x´-y´坐标系 xp-yp坐标系
a
n
Fn 0
F 0
a x
y
x y c
x
x
b
y
c
y
cos2 1+ cos 2
2
sin 2 1- cos 2
2
x y
dA- x dAcoscosx ++2x dyA+cosx-s2iny+coysd2Asin -cxossin -2y dAsin sin 0
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
2
+ xy
2
cos 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
dA-
x
dAcos
sin
-
x
-x dAycossin
2
cos 2
+ y dAsin sin
+ x cos 2
+
y
dAsin
cos
0
§8.2.2 二向应力状态分析的图解法
应力圆（Mohr’s Circle for Stresses） 1、应力圆方程
(x - a)2 + y2 R2
圆心坐标：
5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 ,
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
应力 ,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
450
min
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
- sin 2
max
x - y sin 2
2
+ x cos 2
cos 2
450
max
-
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
-450
+ max
断开的。因此，可以认为这种脆性破
A1 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
OL LC + CL
OC + CG cos 2 + 2
OC + CD cos 2 cos 2 - CD sin 2 sin 2
+ -
x
2
y+
x
2
y
cos
2
- x
sin
2
y
y
yx
n
xy x
x x xy
B1 B O 2
G1' ,G
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
(dAcosq) cosq
x
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- (dAsin q) sin q 0
y
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
- dA + (dAcos q) sin q
x
+ y
2
,0
半径：
x
- y
2
2
+
2 x
任一点坐标： ,
上述方程所表示的圆——应力圆或莫尔圆
二.应力圆的画法：
1.设 , 轴，选取应力比例尺。
2.以 x , x 为坐标，得D点， y , y 得E点。
3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心。
4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
Fx 0 Fy 0
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
目录
３、几种对应关系
y
y
x D
x
A
c o
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2q
- xy sin 2q
x'y' x - y sin 2q + xy cos 2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y' x'
x'
y''
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy
yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
D’ (y, yx) G2 "
EL CE sin2 + 2 CEsin 2 cos2 + cos2 sin 2 CD cos2 sin 2 + CD sin 2 cos2
CAsin 2 + DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
x'y'
x
+ (dAcos q) cos q
xy
- (dAsin q) sin q
yx
- (dAsin q) cos q 0
y
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2 q + y sin2 q - xy sinq cosq - yx sinq cosq x' y' x sinq cosq - y sinq cosq + xy cos2 q - yx sin2 q
点面对应
y
y
A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b
2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
yp xp
x''
x-y坐标系 x´-y´坐标系 xp-yp坐标系
a
n
Fn 0
F 0
a x
y
x y c
x
x
b
y
c
y
cos2 1+ cos 2
2
sin 2 1- cos 2
2
x y
dA- x dAcoscosx ++2x dyA+cosx-s2iny+coysd2Asin -cxossin -2y dAsin sin 0
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
2
+ xy
2
cos 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
dA-
x
dAcos
sin
-
x
-x dAycossin
2
cos 2
+ y dAsin sin
+ x cos 2
+
y
dAsin
cos
0
§8.2.2 二向应力状态分析的图解法
应力圆（Mohr’s Circle for Stresses） 1、应力圆方程
(x - a)2 + y2 R2
圆心坐标：
5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 ,
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
应力 ,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
450
min
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
- sin 2
max
x - y sin 2
2
+ x cos 2
cos 2
450
max
-
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
-450
+ max
断开的。因此，可以认为这种脆性破