第五章 微分、积分和微分方程的MATLAB实现
MATLAB微分方程几种求解方法及程序
第五章 控制系统仿真§5.2 微分方程求解方法以一个自由振动系统实例为例进行讨论。
如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1NF图1 弹簧-阻尼系统假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=•求系统的响应。
)用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。
wffc1.m myfun1.m一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++•••这是一个单变量二阶常微分方程。
将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。
令： x x =)1( （位移）)1()2(••==x x x （速度） 上式可表示成：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡••)1(*20)2(*101)2()2()2()1(x x x x x x x 下面就可以进行程序的编制。
%写出函数文件myfun1.mfunction xdot=myfun1(t,x)xdot=[x(2);1-10*x(2)-20*x(1)];% 主程序wffc1.mt=[0 30];x0=[0;0];[tt,xx]=ode45(@myfun1,t,x0);plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') legend('位移','速度')title('微分方程的解 x(t)')二、方法2：F kx x b x m =++•••251)()()(2++==s s s F s X s G%用传递函数编程求解ksys1.mnum=1;den=[5 1 2];%printsys(num,den)%t=0:0.1:10;sys=tf(num,den);figure(1)step(sys)figure(2)impulse(sys)figure(3)t=[0:0.1:10]';ramp=t;lsim(sys,ramp,t);figure(4)tt=size(t);noise=rand(tt,1);lsim(sys,noise,t)figure(5)yy=0.1*t.^2;lsim(num,den,yy,t)w=logspace(-1,1,100)';[m p]=bode(num,den,w);figure(6)subplot(211);semilogx(w,20*log10(m)); grid onsubplot(212);semilogx(w,p)grid on[gm,pm,wpc,wgc]=margin(sys)figure(7)margin(sys)figure(8)nyquist(sys)figure(9)nichols(sys)方法3：F kx x b x m =++•••125=++•••x x xx x x 4.02.02.0--=•••% 主程序wffc1.mt=[0 30];x0=[0;0];[tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0);figure(1)plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold onplot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-.k ')legend('位移','速度','加速度') title('微分方程的解')figure(2)plot(yy(:,1),yy(:,2))title('平面相轨迹')%写出函数文件myfun1.mfunction xdot=myfun1(t,x)xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)];。
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程在数学领域中，微积分和微分方程是基础且广泛应用的概念。
而随着科学技术的不断发展，分数阶微积分和分数阶微分方程也逐渐引起了人们的关注。
Matlab作为一个功能强大的计算工具，可以方便地进行分数阶微积分与分数阶微分方程的研究和计算。
一、分数阶微积分传统的微积分是指整数阶的微分和积分运算，而分数阶微积分则是对于非整数阶的微分和积分运算的研究。
与整数阶微分相比，分数阶微分具有非局部性和非线性等特点。
在Matlab中，有多种方法可以实现分数阶微积分的计算。
其中之一是使用分数阶积分算子进行计算，该算子可以通过Matlab的Symbolic Math Toolbox进行定义和操作。
另一种方法是使用分数阶微分和积分的数值逼近方法，例如Riemann-Liouville和Caputo等方法。
这些方法的选择取决于具体问题的要求和计算的精度。
二、分数阶微分方程分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的方程。
与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用领域和更复杂的数学性质。
解析求解分数阶微分方程往往困难，因此数值方法成为研究和求解的重要手段。
在Matlab中，可以使用多种数值方法求解分数阶微分方程。
例如，可以使用分步法（如Euler方法和Runge-Kutta方法）进行数值求解，也可以使用有限差分法和有限元法等传统的数值方法进行近似计算。
此外，还可以使用Matlab的Fractional Calculus Toolbox等工具箱进行计算和分析。
分数阶微分方程的求解不仅仅包括初值问题，还包括边值问题和参数估计问题。
初值问题是指在一定的初始条件下，求解微分方程的解；边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程的解；参数估计问题是指在给定部分信息的情况下，估计微分方程中的未知参数。
对于不同类型的问题，需要选择合适的数值方法和工具进行求解。
三、应用案例分数阶微积分与分数阶微分方程在许多领域都具有广泛的应用。
Matlab中常用的积分和微分算法解析
Matlab中常用的积分和微分算法解析积分和微分是数学中重要的概念和工具，广泛应用于科学、工程和计算领域。
在Matlab中，提供了丰富的积分和微分算法，可以方便地进行数值计算和符号计算。
在本文中，我们将解析Matlab中常用的积分和微分算法，并探讨其应用。
一、数值积分算法数值积分是通过将求和转化为积分的方式，对函数在一定区间内的近似计算。
在Matlab中，有许多数值积分算法可供选择，包括梯形法则、辛普森法则和高斯求积法等。
1. 梯形法则梯形法则是一种基本的数值积分算法。
它将区间分成多个小梯形，并将每个小梯形的面积近似表示为梯形的面积，然后将这些面积相加得到最终的近似积分值。
在Matlab中，可以使用trapz函数来实现梯形法则的计算。
例如，对函数f(x)在区间[a, b]上进行积分，可以使用如下代码：```matlaba = 0;b = 1;x = linspace(a, b, 100);y = f(x);integral_value = trapz(x, y);```其中，linspace函数用于生成均匀分布的点，f(x)是待积分的函数。
trapz函数可以自动计算积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种更精确的数值积分算法。
它将区间分成多个小三角形，并将每个小三角形的面积近似表示为一个带有二次多项式的面积，然后将这些面积相加得到最终的近似积分值。
在Matlab中，可以使用quad函数来实现辛普森法则的计算。
例如，对函数f(x)在区间[a, b]上进行积分，可以使用如下代码：```matlaba = 0;b = 1;integral_value = quad(@f, a, b);```其中，@f表示函数句柄，quad函数可以自动计算积分值。
3. 高斯求积法高斯求积法是一种更高精度的数值积分算法。
它利用多个节点和权重，通过插值的方式来近似积分值。
在Matlab中，可以使用gaussquad函数来实现高斯求积法的计算。
使用Matlab进行微分方程求解的方法
使用Matlab进行微分方程求解的方法引言微分方程是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、经济、工程等领域。
对于大部分微分方程的解析解往往难以求得，而数值解法则成为了一种常用的解决手段。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，也提供了丰富的工具和函数用于求解微分方程，本文将介绍一些常见的使用Matlab进行微分方程求解的方法。
一、数值求解方法1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值求解微分方程的方法，它将微分方程的微分项用差分的方式进行近似。
具体的公式为：y(n+1) = y(n) + hf(x(n), y(n))其中，y(n)表示近似解在第n个点的值，h为步长，f(x, y)为微分方程的右端项。
在Matlab中使用欧拉方法进行求解可以使用ode113函数，通过设定不同的步长，可以得到不同精度的数值解。
2. 中点法中点法是较为精确的一种数值求解微分方程的方法，它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)y(n+1) = y(n) + k2中点法通过计算两个斜率的平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法，中点法能提供更精确的数值解。
3. 4阶龙格库塔法龙格库塔法是一类高阶数值求解微分方程的方法，其中4阶龙格库塔法是最常用的一种。
它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)k3 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k2/2)k4 = hf(x(n) + h, y(n) + k3)y(n+1) = y(n) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/64阶龙格库塔法通过计算多个斜率的加权平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法和中点法，它的精度更高。
二、Matlab函数和工具除了可以使用以上的数值方法进行微分方程求解之外，Matlab还提供了一些相关的函数和工具，方便用户进行微分方程的建模和求解。
经典matlab数值积分与微分PPT培训课件
辛普森法
将积分区间划分为若干个等宽 的小区间，每个小区间上取抛 物线面积近似代替函数面积。
牛顿-莱布尼茨法
利用定积分的几何意义，通过 求和式来近似计算定积分的值 。
Matlab中的数值积分函数
quad
trapz
simpson
quadl
使用矩形法进行数值积 分。
使用梯形法进行数值积 分。
使用辛普森法进行数值 积分。
案例二
计算函数$f(x) = sin(x)$在区间 [0, π]的积分。
描述
使用Matlab的数值积分函数计 算函数$f(x) = sin(x)$在区间[0, π]的积分，并分析结果的准确性。
数值微分案例分析
案例一
计算函数$f(x) = x^3$在点x=2的导 数值。
描述
使用Matlab的数值微分函数（如diff 或gradient）计算函数$f(x) = x^3$ 在点x=2的导数值。
书籍推荐
《Matlab从入门到精通》、 《Matlab数值分析》等，适 合有一定基础的读者深入学 习。
Matlab的未来发展展望
云端化 随着云计算技术的发展，Matlab 可能会推出云端版本，让用户无 需安装软件即可使用Matlab的功 能。
可视化增强 Matlab在数据可视化方面具有优 势，未来可能会进一步增强其可 视化功能，提供更多样化的图表 和可视化效果。
截断误差
由于差分代替导数，会产生截断误差，这种误差的大小取决于差 分的阶数和步长。
舍入误差
由于计算机的浮点运算精度限制，会导致舍入误差，这种误差的 大小取决于计算机的浮点精度。
04
经典案例分析
数值积分案例分析
案例一
计算函数$f(x) = x^2$在区间 [0, 2]的积分。
matlab求解微分方程
matlab求解微分方程Matlab作为一款多功能的计算机科学软件，具有强大的功能，能够有效地解决复杂数学问题。
其中，Matlab特别擅长求解微分方程。
微分方程是一类重要的数学方程，能够解释物体随时间变化的现象，广泛应用于科学领域，如力学、热力学等领域。
下面，将介绍如何使用Matlab来求解微分方程。
对于微分方程，Matlab提供了一系列的函数来支持求解。
常用的函数包括ODE45、ODE23、ODE113，用于解决传递微分方程，以及dsolve用于解决非传递微分方程。
首先，对于传递微分方程，我们可以使用ODE45、ODE23或ODE113函数求解。
其中，ODE45函数是Matlab中一种常用的函数，它可以求解线性和非线性微分方程，而ODE23和ODE113则只能求解线性方程。
要使用这些函数，首先需要准备解决微分方程的参数，包括：要求解的函数、初始条件和积分区间等，可以使用如下Matlab代码实现：%求解的函数f = @(t,y) y+t^2-1;%始条件t0 = 0;y0 = 1;%分区间tspan = [t0,2];%用函数求解[t,y] = ode45(f,tspan,y0);接着，我们就可以调用ODE45、ODE23或ODE113函数求解传递微分方程，代码如下：%用函数求解[t,y] = ode45(f,tspan,y0);%于求解非线性方程[t,y] = ode23(f,tspan,y0);%于求解精确的线性方程[t,y] = ode113(f,tspan,y0);另外，Matlab也提供了一个dsolve函数，用于求解非传递微分方程。
它可以解决一元微分方程、偏微分方程以及系统微分方程等问题。
要使用dsolve函数，可以这样写：%求解的函数f =D2y+4*Dy+3*y = 0’;%解方程y = dsolve(f);以上，就是Matlab中求解微分方程的基本步骤。
可以看到，Matlab提供了一系列函数来支持求解微分方程，让我们不再受到繁琐的数学推导的束缚，使用起来方便快捷。
MATLAB 数值微积分与微分方程式求解
Matlab求解常微分方程式
Ex:
dy1 dt
=
y1
+
y2e−t
dy2 dt
=
− y1 y2
+ cos(t)
1. edit fun.m
function dydt=fun(t,y)
dydt(1) = y(1)+y(2)*exp(-t);
dydt(2) = -y(1)*y(2)+cos(t);
Stiff ODE 指的是其內部某些狀態響應快速，而某些則 相對具較緩慢動態
勁度
勁度系統 (stiff system)表示其具有快速變化以及緩慢變化 的部分。 勁度系統例子： dy = −1000y + 3000 − 2000e−t
dt
假使y(0)=0，其解 y = 3 − 0.998e−1000t − 2.002e−t
用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解0010ysin??yettt21221sincosttyyyyyteeyty?????12122210100sincosttyy?yyyteeyty???????11matlabode指令matlab用于求解起始值常微分方程式問題的指令stiffode指的是其內部某些狀態響應快速而某些則相對具較緩慢動態ode23tbode23tode23sode15sstiffodeode113ode23ode45nonstiffode指令問題形式勁度勁度系統勁度系統勁度系統勁度系統stiffsystem表示其具有快速變化以及緩慢變化的部分
k4 = f (ti + h, yi + k3h)
方程式系統
許多實際的工程及科學問題需要求解的是聯立常微分方 程式系統，而不只是單一方程式。
Matlab求解微分方程及偏微分方程
第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的, 特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一.相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数, D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve（＜eqnl，,，eqn2函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解. 但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver,其一般格式为：［T,Y］=solver（odefun,tspan,yO）说明：（1 ）solver 为命令ode45、ode23、odel 13、odel5s、ode23s、ode23t、ode23tb、odel5i 之一.（2）odefun是显示微分方程），=f （t,y）在积分区间tspan =［心心］上从心到“用初始条件儿求解.（3）如果要获得微分方程问题在其他指定时间点bG©…心上的解，则令（span = 『“，•••『/■］（要单调的）.（4）因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供T多种求解器solver,对于不同的ODE问题，采用不同的solver.程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.。
Matlab中的数值积分和微分方法
Matlab中的数值积分和微分方法在数学和工程领域，数值积分和微分是解决问题的常见方法之一。
而在计算机科学中， Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了许多数值积分和微分的函数，使得这两个问题的解决变得更加简单和高效。
本文将探讨 Matlab 中常用的数值积分和微分方法，包括不定积分、定积分、数值微分和高阶数值微分。
我们将逐一讨论这些方法的原理和使用方法，并展示一些实际的应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。
一、不定积分不定积分是指求一个函数的原函数。
在 Matlab 中，我们可以使用 `int` 函数来实现不定积分的计算。
例如，如果我们想求解函数 f(x) = x^2 的不定积分，可以使用下面的代码：```syms x;F = int(x^2);```这里的 `syms x` 表示将 x 定义为一个符号变量，`int(x^2)` 表示求解函数 x^2 的不定积分。
得到的结果 F 将是一个以 x 为变量的符号表达式。
除了求解简单函数的不定积分外，Matlab 还支持求解复杂函数的不定积分，例如三角函数、指数函数等。
我们只需要将函数表达式作为 `int` 函数的参数即可。
二、定积分定积分是指求函数在一个闭区间上的积分值。
在 Matlab 中，我们可以使用`integral` 函数来计算定积分。
例如，如果我们想计算函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分值，可以使用下面的代码：```y = @(x) x^2;result = integral(y, 0, 1);```这里的 `@(x)` 表示定义一个匿名函数，`integral(y, 0, 1)` 表示求解函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。
得到的结果 result 将是一个数值。
与不定积分类似，Matlab 还支持对复杂函数求解定积分，只需要将函数表达式作为 `integral` 函数的第一个参数，并指定积分的区间。
高等应用数学问题的MATLAB求解习题参考解答-5-7章
第 5 章 积分变换与复变函数问题的计算机求解
46
第 5 章 积分变换与复变函数问题的计算机求解
5
试证明 cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ =
sin(nθ/2) cos[(n sin θ/2
+
1)θ/2]
。
【求解】 用下面的语句可以直接证明题中的等式。
>> syms k n t F=symsum(cos(k*t),k,1,n)
,
⑥
Ff (s)
=
(s
− 1)8 s7
⑦
Fg (s)
=
ln
s2 s2
+ +
a2 b2
,
⑧
Fh(s) =
s2 +
8 i=1
3s (s
+ +
8 i)
,
⑨
Fi(s)
=
1 2
s+α s−α
44
第 5 章 积分变换与复变函数问题的计算机求解
【求解】 Laplace 变换可以用下面语句直接求得。
>> syms s a b; F=1/(s^2*(s^2-a^2)*(s+b)); ilaplace(F)
exp(-a*t)+exp(1/2*a*t)*(-cos(1/2*3^(1/2)*a*t)+3^(1/2)*sin(1/2*3^(1/2)*a*t)) >> syms s; F=(s-1)^8/s^7; ilaplace(F) ans =
matlab中的微分方程的数值积分
MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。
微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。
本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。
一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。
ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。
用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。
2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。
pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。
二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。
如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。
在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。
2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。
通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。
3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。
选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。
三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。
matlab微分方程
matlab微分方程微分方程是研究函数与它的导数之间的关系的数学工具。
在实际问题中，微分方程可以用来描述许多自然现象和物理过程，如电路分析、化学反应、弹性力学、天体力学等。
而MATLAB是一种强大的科学计算软件，它提供了丰富的工具来解决微分方程问题。
MATLAB提供了几种不同的求解微分方程的方法。
其中最常用的是数值方法，因为大多数微分方程很难或无法通过解析方法求解。
数值方法的基本思想是将微分方程转化为一个差分方程，然后使用迭代的方式逐步逼近解。
MATLAB中求解微分方程的函数主要有两个：ode45和ode15s。
ode45是一种常用的自适应步长的龙格-库塔法（Runge-Kutta方法），适用于绝大多数常微分方程问题。
ode15s是一种适用于具有刚性（stiff）特性的微分方程问题的函数，它采用了一种隐式求解器。
下面将以一个简单的例子来演示在MATLAB中求解微分方程的步骤。
考虑以下常微分方程：dy/dt = -2y首先，我们需要定义这个方程。
在MATLAB中，可以使用匿名函数来定义方程。
``````接下来，我们需要设置初始条件。
假设初始条件为y(0)=1```y0=1;```然后，我们可以使用ode45函数来求解微分方程。
ode45需要指定方程、初始条件和求解的时间范围。
```[t, y] = ode45(f, [0, 5], y0);```这里，[0,5]表示求解的时间范围是从0到5、函数的输出是解y随时间的变化。
最后，我们可以通过绘制解的曲线来可视化结果。
```plot(t, y);xlabel('t');ylabel('y');```运行以上代码，我们可以得到微分方程的数值解，并通过绘图表示出来。
在实际问题中，微分方程往往更为复杂，需要更多的数值技巧和MATLAB函数来求解。
MATLAB还提供了其他一些有用的函数，如ode23、ode113、ode23t等，以及符号计算工具包Symbolic Math Toolbox中的dsolve函数，可以用来求解更复杂的微分方程。
Matlab原理与工程应用第二版第五章(函数)
14
非线性方程数值求解
函数fzero()求一元函数的零点，其具体使用方法如下：
x = fzero(@fun,x0,options,p1,p2,…) ， 在 x0 点 附 x = fzero(@fun,[x0,x1]) ，在 [x0,x1] 区间内寻找函
近寻找函数的零点；
数的零点；
x = fzero(@fun,x0,options) ，用 options 指定寻找零
subplot(1,3,1); plot(x,y,'ro',xi,yi_nearest,'b-'); title(‘最邻近插值'); subplot(1,3,2); plot(x,y,'ro',xi,yi_linear,'b-'); title(‘线性插值'); subplot(1,3,3); plot(x,y,'ro',xi,yi_spline,'b-'); title(‘三次样条插值');
23
8.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积 分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和 上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程， 取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分 值，n为被积函数的调用次数。
19
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确， 命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。
matlab解微积分方程
matlab解微积分方程使用Matlab解微积分方程微积分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解微积分方程是研究微积分方程的一个重要问题，而Matlab作为一种强大的数值计算软件，可以有效地解决微积分方程。
Matlab提供了多种求解微积分方程的方法，包括欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。
这些方法可以用来求解常微分方程、偏微分方程以及一些特殊类型的微积分方程。
我们来看看如何使用Matlab求解常微分方程。
常微分方程是一种只涉及一个自变量的微分方程，可以表示为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的函数。
在Matlab中，可以使用ode45函数来求解常微分方程。
下面以一个简单的一阶常微分方程为例，来演示如何使用Matlab求解。
假设我们要求解方程dy/dx = x + y，且初始条件为y(0) = 1。
首先，我们需要定义方程的函数形式，即f(x, y) = x + y。
然后，使用ode45函数来求解：```function dydx = myode(x, y)dydx = x + y;end[t, y] = ode45(@myode, [0, 1], 1);```上述代码中，myode函数定义了方程的函数形式，ode45函数用于求解微分方程，[0, 1]表示求解的时间范围，1表示初始条件。
最后，得到的结果存储在变量t和y中，t表示时间，y表示方程的解。
除了常微分方程，Matlab还可以求解偏微分方程。
偏微分方程是一种涉及多个自变量的微分方程，可以表示为∂u/∂t = f(x, y, t, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y)。
在Matlab中，可以使用pdepe函数来求解偏微分方程。
假设我们要求解一个简单的二维热传导方程，即∂u/∂t = ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2，且初始条件为u(x, y, 0) = sin(x)sin(y)，边界条件为u(0, y, t) = 0，u(π, y, t) = 0，u(x, 0, t) = 0，u(x, π, t) = 0。
【MATLAB】实验五：数值微积分与方程数值求解
实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。
232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π=⎰的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。
6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。
1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。
121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。
5. 求代数方程的数值解。
(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。
(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。
x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。
matlab符号微积分微分方程
matlab符号微积分微分⽅程符号极限、微积分和符号⽅程的求解1.语法：sym(‘表达式’)%创建符号表达式f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2+b*x+c2.使⽤syms命令创建符号变量和符号表达式语法：syms arg1 arg2 …,参数%把字符变量定义为符号变量的简洁形式syms a b c x %创建多个符号变量f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式3.4.1符号极限假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本⽤法如表3.2所⽰。
【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。
f=sym('1/x')limit(f,'x',0) %对x求趋近于0的极限ans =NaNlimit(f,'x',0,'left') %左趋近于0ans =-inflimit(f,'x',0,'right') %右趋近于0ans =inf程序分析：当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。
3.4.2符号微分函数diff是⽤来求符号表达式的微分。
语法：diff(f) %求f对⾃由变量的⼀阶微分diff(f,t) %求f对符号变量t的⼀阶微分diff(f,n) %求f对⾃由变量的n阶微分diff(f,t,n) %求f对符号变量t的n阶微分【例3.15】已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。
f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+cdiff(f) %对默认⾃由变量x求⼀阶微分ans =2*a*x+bdiff(f,'a') %对符号变量a求⼀阶微分ans =x^2diff(f,'x',2) %对符号变量x求⼆阶微分ans =2*adiff(f,3) %对默认⾃由变量x求三阶微分ans = 0微分函数diff 也可以⽤于符号矩阵，其结果是对矩阵的每⼀个元素进⾏微分运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
if isnan(fx0_l) || isnan(fx0_r) || isinf(double(fx0_l)) || ... isinf(double(fx0_r))
discon_poi='第二类间断点'; elseif ~isequal(fx0_l,fx0_r) %左右极限存在但不相等
17
5.2 积分的求解——定积分数值解
当被积函数的原函数不能用初等函数表达时，无法利用牛顿—莱布尼 兹公式计算定积分，此时引入数值方法来计算定积分的近似值。
中点矩形公式：
b a
f
( x)dx
ba n
f
( x0
2
x1 )
f
( x1
2
x2 )
f
( xn1 2
xn
)
19
5.2 积分的求解——定积分数值解
MATLAB自身提供了很多求解数值积分的专用函数，常用的有 I=trapz(x,fx)
该函数是基于梯形公式设计编写，x是由分割节点组成的行向量或列向量， y为被积函数在对应节点上的函数值组成的向量，I是返回的数值积分。
I=quad (fx,a,b,tol) 该函数是基于抛物线公式设计编写，fx是被积函数的符号表达式、内联函 数、匿名函数或M函数，a和b分别是积分下限和积分上限，tol是指定的误 差限（默认值为 ）。
(3)
f
(
x)
|
x
|
,
1,
x0 x0
(4)
f
(x)
2 1x, 2
(1 -
cos
x),
1
x cos t2dt,
x 0
x0 x0 x0
>> syms x t >> discontipoint(0,sin(1/x),[],sin(1/x)) ans = 第二类间断点 >> discontipoint(0,x-1,1,x+1) ans = 第一类（跳跃）间断点 >> discontipoint(0,abs(x),1, abs(x)) ans = 第一类（可去）间断点 >> discontipoint(0,2/x^2*(1-cos(x)),1, int(cos(t^2),0,x)/x) ans = 非间断点
16
5.2 积分的求解——定积分符号解
例6 求下列定积分
解：
>> syms x y >> I1=int(1/(1+x^2),0,1) I1 = pi/4 >> I2=int(x+1,0,1)+int(2*x^2,1,2) I2 = 37/6
erf (x) 2 x et2dt
0
>> I3=int(x+y^2,y,-1,1) I3 = 2*x + 2/3 >> I4=int(exp(-x^2),0,1) I4 = (pi^(1/2)*erf(1))/2
b a
f
( x)dx
ba n
f
( x0
2
x1 )
f
( x1
2
x2 )
f
( xn1 2
xn
)
>> n=1000;a=0;b=1; >> xi=a+(b-a)/(2*n):(b-a)/n:b-(b-a)/(2*n); >> fxi=(b-a)/n*exp(-xi.^2); >> I=sum(fxi) I= 0.7468
discon_poi='第一类（跳跃）间断点';
else discon_poi='第一类（可去）间断点';
end
end
7
5.1 极限和导数的求解——间断点
例2 判定间断点的类型 (1) f (x) sin 1 , x 0
x
x 1,
(2) f (x) 1,
x
1,
x0 x0 x0
例3 求函数一阶（偏）导 数
syms x t >> D1=diff(cot(x)) D1 = - cot(x)^2 – 1 >> D21=diff(5*t*x^3-2^(t*x),x) D21 = 15*t*x^2 - 2^(t*x)*t*log(2) >> D22=diff(5*t*x^3-2^(t*x),t) D22 = 5*x^3 - 2^(t*x)*x*log(2) >> D3=diff(x*exp(x^2),2) D3 = 6*x*exp(x^2) + 4*x^3*exp(x^2) >> D41=diff(diff(t*cos(x),t),x) D41 = -sin(x) >> D42=diff(diff(t*cos(x),t),t) D42 = 0
8
5.1 极限和导数的求解——导数
在MATLAB中，提供了函数diff来求解函数的导数，其调用格式为 D = diff(fx,x) D = diff(fx,x,n)
这里，D是所求的导数，fx是函数的符号表达式，x是符号变量（fx只含一 个符号变量时可省略），n是求导的阶数（默认值为1）。
9
5.1 极限和导数的求解——导数
4
5.1 极限和导数的求解——间断点
第一类间断点：
(i)
可去间断点：lim xx0_
f (x) lim xx0
f (x)
f (x0)
；
(ii)
跳跃间断点：xlimx0_ f (x)
和
lim
xx0
f (x)都存在，但
lim
xx0_
f (x) lim xx0
f (x)
；
第二类间断点： 不是第一类间断点的任何间断点。
其中，L是返回的极限值，expr为极限的符号表达式，x为符号自变量（ expr只含一个符号变量时可省略），x0为极限点（默认值为0），可以是确 定的数、符号表达式或无穷大，'left'和'right'分别为左、右单侧极限选 项。
3
5.1 极限和导数的求解——极限
例 1 求下列函数极限
>> syms x y; %声明符号变量x y >> L1=limit((1+x)^(1/x)) L1 = exp(1) >> L2=limit((1+x)^(1/x),y) L2 = (y + 1)^(1/y) >> L3=limit((x-1)/(y*(x+5)),x,inf) L3 = 1/y >> L4=limit((x-1)/(y*(x+5)),y,inf) L4 = 0 >> L5=limit(abs(x)/sin(x),x,0,'right') L5 = 1 >> L6=limit(limit(x*y/(sqrt(x*y+1)-1),x,0),y,0) L6 = 2
10
5.1 极限和导数的求解——导数
例4 作曲线 f (x) 2x3+3x2 4x 1 的图形和其在 x 1 处的切线。 解：
>> syms x >> Y=2*x^3+3*x^2-4*x+1; >> D=diff(2*x^3+3*x^2-4*x+1); >> x=-1; >> y0=eval(Y); >> d0=eval(D); %eval表示将x值代入函数表达式 >> x=-2:0.1:2; >> y=2*x.^3+3*x.^2-4*x+1; >> l=d0*(x+1)+y0; >> plot(x,y,'k-',x,l,'k-.') >> legend('y=f(x)',strcat('y=',num2str(d0),'(x+1)','+',num2str(y0)))
6
5.1 极限和导数的求解——间断点
fx0_l=limit(fl,'x',x0,'left'); % 求函数在点x0处的左极限 fx0_r=limit(fr,'x',x0,'right'); % 求函数在点x0处的左极限 % 函数在点x0处有定义，且函数值等于左右极限
if ~isempty(fx0) && isequal(fx0,fx0_l) && isequal(fx0_l,fx0_r) discon_poi='非间断点';
梯形公式：
b a
f
( x)dx
ba n
f
(x0 ) 2
f
(x1)
f ( xn1)
f
( xn 2
)
抛物线公式：
b f (x)dx b a
a
6n
f ( x0 ) f ( x2n ) 4 f ( x1) f ( x3)
2 f (x2 ) f (x4 )
f ( x2n1)
f (x2n2 )
其中，x0
a
， xi
a
(b a) i n