第一章常用数值分析方法§2线性方程组的数值解法

即不可避免地存在着舍入误差的影响，因而即使是准确的 直接解法，也只能求到近似解。
直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
线性方程组的
直接解法
2.2 Gauss消元法
Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:
x x x 6 1 2 3 例1 解线性方程组： 12 x 3 x 3 x 15 1 2 3 18 x 3 x x 15 1 2 3
再消一次元得：
x1 x2 x3 6 15x2 9x3 57 22 66 x3 5 5
(2- 3)(b)
二次消元后将方程 化为倒三角形式，然后 进行回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。
上述 Gauss 消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将方 程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后 按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此 过程称为回代过程。 我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程组 的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方程组的能 顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
完成第一次消元之后 的方程组记为：
A(2) x = b (2)
Gauss消元法的基本步骤2（4阶）
( 2 ) i 2 ( 2 ) 22
a 第二步 : 消 x , 首先找到乘数 l , i 3 , 4 2 i 2 a
以方程组中第i个方程减去第二个方程乘li2 (i = 3, 4)， 完成第二次消元。 a(1)x a(1)x a(1)x a(1)x b(1)
性方程组。
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) a x a x a x b 11 1 12 2 1 n n 2（ 1 Gauss 消元法的消元过程 1 、 n阶） (1) (1 ) (1 ) (1 ) a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 一般地，设 (2-6) n阶方程组： (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) an1 x annxn b 消元过程为： 1 a n2 x 2 n
(1) (1) (1) (1) (1) (1) a x a x a x a x a x b 11 1 12 2 1k k 1k 1 k 1 1n n 1 (2) (2) (2) (2) (2) a x a x a x a x b 22 2 2k k 2k 1 k 1 2n n 2 (k ) (k ) (k) (k ) a x a x a x b (2- 6)(c) kk k kk 1 k 1 kn n k 第k步消元后同解 (k 1) (k 1) (k 1) a x a x b 方程组中上标为 k 1,k 1 k 1 k 1n n k 1 k+1 的元素的计算 公式见下屏： (k 1) (k 1) (k 1) a x a x b nk 1 k 1 nn n n

11 1 12 2 13 3 14 4 1 (2) (2) (2) (2) a x a x a x b 22 2 23 3 24 4 2
a x a x b
(3 ) 33 3 (3 ) 34 4
(3 ) 3
(2 -4)(b
(3 ) (3 ) (3 ) a x a x b 43 3 44 4 4
( 1 ) a ( 1 ) i 1 第一步 :设 a 0 , 记 l ( i 2 , 3 , ,n ) 将方程组中第 i 个方程减 i 1 11 ( 1 ) a 11
第 1 个方程乘以 l ( i 2 , 3 , ,n ) 完成第一次消元 ,得原方程组的同 组 i 1
(1) (1) (1) (1) (2) a ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) x a x a x b a 11 1 12 2 1n n 1 i 2 a a l a l ij ij i 1 1 j i 2 (2) (2) (2) (2) 其中： i ,j 2 , 3 , ,n a 22 a22 x2 a2n xn b2 (2 ) ( 1 ) ( 1 ) (2-6)(a) b b l b i i i 1 1 (2) (2) (2) 将上方程组中第i个方程减去第2 a x a x b n2 2 nn n n
( 3 ) a 43 找乘数 l , 以第四个方程减去第三 个方程乘 l 得： 43 43 ( 3 ) a 33
(1) (1) (1) (1) (1) a 经过上述消元步骤， 11x 1 a 12x 2 a 13x 3 a 14x 4 b 1 得到同解的上三角形 (2) (2) (2) (2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b 2 (4) x = b(4) 方程组： A (2 4)(c) (3) (3) (3) a33 x3 a34 x4 b 3 然后可回代求解：由于A(4) (4) (4) a44 x4 b 为上三角形，所以可按变 4 量的逆序逐步回代求原方 (4 ) (4 ) 程组的解： x b 4 4 /a 44 4 上述 消元、回代求解过程 (k ) (k ) (k ) x ( b a /a , k 3 ,2 ,1 (2 -5)很容易推广到一般的n阶线 k k klx l) kk l k 1
个方程乘以li2 (i=3,…,n)，完成 第二步消元。
第k 步：设第 k消元法的消元过程 1步消元后得原方程组的同解方程组为： Gauss 3（n阶）
(1) (1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x2 a1 a1 k xk n xn b 1 (k ) (2) (2) (2) (2) 设 a kk 0, a22 x2 a2k xk a2n xn b2 (k ) (k ) 记 l a / a ik ik kk (i k 1, , n ) (2- 6)(b) (k ) (k ) (k ) 将上方程组中第 i个方程减去 akk xk akn xn bk 第k个方程乘以 lik (i k 1,, n ), (k ) (k ) (k ) ank xk ann xn bn 完成第 k步消元 , 得同解方程组：
x x2 a a 11 1 a 12 1 nx n b 1 设n阶线性方程组： x x2 a2nxn b a21 1 a 22 2 (2-1) annxn b 1 a n2x 2 n an1x
其矩阵形式为：
Ax=b (2-2)
(1 ) 11 1 (1 ) 12 2 (1 ) 13 3 (1 ) 14 4 (1 ) 1
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) a a l a ij ij i 1 1 源自文库 (2 ) ( 1 ) ( 1 ) b b l b i i i 1 1
i , j 2 , 3 , 4
其中：
a a x b 11 a 12 1 n 1 1 a a x b 21 a 22 2 n 2 2 A ， x ， b ： ∶ b a a x a n nn n n1 n2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 统一加上标 , 并简记为 A x b , A A , b b , 首先 :
(1) 第一步 : 找乘数 , 假定 a11 (1) a21 (1) a11
(1) a21 0,要消第二个方程中 x1,可以 (1) 为乘数 , a11 (1) a31 (1) a11
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步 四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算 法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) a x a x a x a x b 11 1 12 2 13 3 14 4 1 Gauss 消元法的基本步骤 1 （4阶） (1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) a 21x 1 a 22x 2 a 23x 3 a 24x 4 b 2 为能更清楚地得到算法，下面以 4 阶线性方程组为例 (2 -4) (1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) a 总结求解步骤，并且很容易地可推广至一般的 n阶线性方 31x 1 a 32x 2 a 33x 3 a 34x 4 b 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 程组。 a x a x a x a x b 42 2 43 3 44 4 4 41 1
而以
乘第一个方程加到第二 个方程中 ,并以
,
(1) a41 (1) a11
分别
乘第一个方程加到第三 , 第四个方程上消 x1, 这些乘数实际上可记 l21
(1) a21 (1) a11
, l31
(1) a31 (1) a11
, l41
(1) a41 (1) a11
或记为 li1
§2 线性方程组的数值解法
2.1 概述 2.2 Gauus 消元法 2.3 主元素法 2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 Jacobi迭代法 2.5 Gauss-Seidel迭代法
2.1 概 述
在科学研究和工程技术中所提出的计算问题中，线性方程 组的求解问题是基本的，常见的，很多问题如插值函数，最小 二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等，都包含了解 线性方程组问题，因此，线性方程组的解法在工程计算中占有 较重要的地位。
1) ai(1 (1) a11
（ i 2,3,4 ）
Gauss消元法的基本步骤1（4阶）
可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程 上可以完成第一次消元，得同解方程组：
a x a x a x a x b 变化以后的方 (2) (2) (2) (2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b 程组系数及右 2 (2 4)(a) 边的常数项可 (2) (2) (2) (2) a32 x2 a33 x3 a34 x4 b 3 总结出如下的 (2) (2) (2) (2) 计算公式： a x a x a x b 42 2 43 3 44 4 4
(2 -3)
解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以-12乘
第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个方程加到第三个方 程上可得同解方程组：
x 1 x 2 x 3 6 15 x 9 x 57 2 3 21 x 17 x 2 3 93
(2 -3)(a)
例1（续）
上标为3的系数 和右端项可由 下面公式计算：
( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) a a l a ij ij i2 2j (3 ) ( 2 ) ( 2 ) b b l b i i2 2 i
i , j 3 , 4
第三步：消元：消x3（4阶方程组需进行3次消元） Gauss 消元法的基本步骤 3（4阶） (3) (3) 将上述 A X = b 中最后一个方程中的x3消为零：
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。
求解Ax = b，曾经学过克莱姆(Cramer)法则， 矩阵变换法等，但已远远满足不了实际运算的需要， 主要体现两个方面：一是运算的快速和准确，其次 是方程组的个数增大时的计算问题。如何建立能在 计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其 重要的意义，我们都知道，Cramer法则在理论上是 绝对正确的，但当 n较大时， 在实际计算中却不能 用。