例谈等面积法在初数学解题中的应用

例谈等面积法在初中数学解题中的应用

贵州省榕江县三江中学 潘光联

等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：

一．求三角形的高

例1.如图1所示，在△ABC 中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB 边上的高CD 的长.

解：在△ABC 中，

.10010,10086222222===+=+AB AC BC

.222AB AC BC =+∴

∴△ABC 是直角三角形.

利用三角形面积计算公式得,

.2

121CD AB BC AC ⋅=⋅ 即8.410

68=⨯=⋅=AB BC AC CD 二．求图形的面积

例2. 如图2所示，⊙O 的半径为3，OA=6,AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积是多少？

分析：连接OB 、OC ，将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC 的面积是解决此问题的切入点和关键.

解:连接OB 、OC ，

由BC ∥OA 知，△OCB 与△ACB 的边CB 上的高相等.

故由等积性质可知,CB ACB S S 0∆∆=

易知，∠BOC= 60. 所以ππ2

336036020=⨯==CB S S 扇形阴影. 三.求三角形内切圆半径

例3.如图3所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C=

90，AC=4，BC=3. 求

⊙O 的半径.

解:设⊙O 的半径为r ，连接0A 、0B 、OC 、OE 、OF 、OG..

∵⊙O 是△ABC 的内切圆，

∴OG ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，且

OE=OF=OG=r.

在Rt △ABC 中，由勾股定理，得

.5432222=+=+=AC BC AB

于是由ACO BCO ABO ABC S S S S ∆∆∆∆++=，得

.2

1212121AC BC r AC r BC r AB ⋅=⋅+⋅+⋅ 即 .)(AC BC r AC BC AB ⋅=++ ∴.14

3543=++⨯=++⋅=AC BC AB AC BC r 四．求函数的解析式

例4．如图4所示，线段AB=8，直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，P 是直线m 上的一点,PB 交以AB 为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式.

分析：因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BP ，又因为把直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，所以DO ⊥AB,BP

和AC 看成三角形的底和高，于是很自然地连

接AP 、OD ，利用同一个三角形的面积相等

的性质，就可以得到x 与y 的关系.

解:连结AP ，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AC ⊥BP .

又∵直线m 与⊙o 相切于点

D,且m ∥AB ， ∴DO ⊥AB