《商不变的性质》 PPT课件
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《商不变的性质》
商不变除数也应该 （ 扩大 ）倍。 100 第二十二页，共二(十k七u页ò。dà)
试一试
950÷50= 19
19
50 ）950
19 50 ）950
50
5
45 0
45
450
45
为什么可以
0
(kěyǐ)这样做
0
呢？
第二十三页，共二十七页。
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
第五页，共二十七页。
同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们(nǐ men)接下来再 举几个例子，看被除数和除数同时 扩大或缩小相同的倍数，商变不变？
第六页，共二十七页。
（80×100）÷（20×100）＝4 小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
不变。现在(xiànzài)同学们有两种意见，争执不下，大家商量一下：怎么办呢。我看第一 题，因为被除数和除数不是同时扩大或缩小，尽管倍数相同，所以商还是变化了。下列 说法对不对。人应得2两，还余下5两
Image
第二十七页，共二十七页。
这个规律人们通常(tōngcháng)叫：
“商不变的性质”。
第九页，共二十七页。
（80×2）÷（20÷2）＝ （80×5）÷（20×3）＝ （80÷4）÷（20÷2）＝ （80＋12）÷（20＋12）＝
这几题的商也都是4吗？
我觉得(jué de)商都是
4
我觉得(jué de)商不是4
现在同学们有两种意见(yìjiàn)， 争执不下，大家商量一下：怎么 办呢？
试一试
950÷50= 19
19
50 ）950
19 50 ）950
50
5
45 0
45
450
45
为什么可以
0
(kěyǐ)这样做
0
呢？
第二十三页，共二十七页。
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
第五页，共二十七页。
同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们(nǐ men)接下来再 举几个例子，看被除数和除数同时 扩大或缩小相同的倍数，商变不变？
第六页，共二十七页。
（80×100）÷（20×100）＝4 小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
不变。现在(xiànzài)同学们有两种意见，争执不下，大家商量一下：怎么办呢。我看第一 题，因为被除数和除数不是同时扩大或缩小，尽管倍数相同，所以商还是变化了。下列 说法对不对。人应得2两，还余下5两
Image
第二十七页，共二十七页。
这个规律人们通常(tōngcháng)叫：
“商不变的性质”。
第九页，共二十七页。
（80×2）÷（20÷2）＝ （80×5）÷（20×3）＝ （80÷4）÷（20÷2）＝ （80＋12）÷（20＋12）＝
这几题的商也都是4吗？
我觉得(jué de)商都是
4
我觉得(jué de)商不是4
现在同学们有两种意见(yìjiàn)， 争执不下，大家商量一下：怎么 办呢？
《商不变的性质》课件
03
商不变的性质证明
证明方法一
总结词
通过举例验证
详细描述
选取一些具体的数字进行除法运算，观察商的变化规律，从而验证商不变的性 质。例如，选取20和30为被除数和除数，计算出商为2，然后选取40和60为新 的被除数和除数，计算出商仍为2，从而验证了商不变的性质。
证明方法二
总结词
利用代数表达式证明
详细描述
将商表示为代数表达式，如a/b=c/d，然后通过代数变换，证明该等式在一定条 件下成立，从而证明了商不变的性质。例如，可以证明(a*k)/(b*k)=(a/b)*k，其 中k为任意非零实数，从而证明了商不变的性质。
证明方法三
总结词
利用几何图形证明
详细描述
将商表示为几何图形中的比例关系，例如矩形或平行四边形的面积比例。通过证明几何图形中的比例关系在一定 条件下保持不变，从而证明了商不变的性质。例如，可以选取两个相似矩形，它们的边长比例相等，则它们的面 积比例也相等，从而证明了商不变的性质。
通过举例和反例帮助学生深入理解这个性质，并培养他们的数学思维和推理能力。
性质应用
商不变的性质在数学中有广泛 的应用，例如在分数约分、乘 法与除法之间的转换等方面。
学生应该能够运用这个性质进 行简单的计算和证明，例如利 用这个性质证明乘法结合律和 交换律。
通过应用这个性质，学生可以 加深对数学的理解，提高他们 的数学技能和解决问题的能力 。
总结词
复杂运算题
详细描述
此题涉及到了除法、乘法和加法的混 合运算，需要学生在理解商不变性质 的基础上，正确处理运算顺序，得出 正确答案。
练习题三
总结词
实际应用题
详细描述
此题将商不变的性质与实际生活情境相结合，需要学生根据实际情况，灵活运用商不变 的性质解决实际问题。
青岛版四年级上册商不变的性质课件
被除数和除数同时乘相同的数， 商不变。
12÷2 = 6
从 上 往 下
24÷4 = 6
从 下 往 上 呢
48÷8 = 6 96÷16= 6
192÷32 = 6 ？
48
÷2
÷ 8
÷2
= 6
不变
96
÷2
÷ 16 = 6
÷2
不变
192 ÷ 32 = 6
12
÷16
÷ 2
÷16
= 6
不变
192 ÷ 32 = 6
被除数和除数同时除以相同的数， 商不变。
被除数和除数同时同时 乘相同的数，商不变。
被除数和除数同时除以 相同的数，商也不变。
根据这两句话你想知道……
被除数 除数 商
6
3
12
6 2
18
9 2
24
12 2
30
15 2
2
如果被除数 和除数同时 乘0……
我发现：
被除数和除数同时乘或 除以相同的数（0除 外），商不变。 这就是商不变的性质。
被除数 除数
60 10
120 20
180 30
240 40
360 50
商
根据132÷12＝11，很快写出下面 几道题的商，并且要说出道理来。
1320÷ 120 = 11 264÷ 24 =11
13200÷ 1200= 11 2640÷ 240= 11
四年级二班王雅楠你来自道了什么？·6
6
6
6
6
观察表格中的数据， 你发现了什么？
12÷ 2 = 6 24÷ 4 = 6
你发现了什么？
48÷ 8 = 6
96÷16 = 6
商不变的规律ppt
的规律简化计算。
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关 ，例如在计算两个数相除的结果 时，可以利用商不变的规律简化 计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计 算，例如在计算两个分数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化 计算。
与其他物理知识的结合
力学
商不变的规律可以应用于物理 力学中的某些问题，例如在计 算两个力相除的结果时，可以 利用商不变的规律简化计算。
对学习数学的意义和价值的再思考
学习数学不仅是为了应对考试和提高成绩，更重要的是 培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。通过对商不变 规律的学习和研究，我们可以更好地理解数学中的一些 基本概念和原理，提高自己的数学素养和思维能力。
数学在我们的日常生活中无处不在，学习数学可以帮助 我们更好地理解和解决实际问题。商不变规律在商业计 算、工程技术和科学研究中都有着广泛的应用，学习这 个规律可以帮助我们在这些领域中更好地应对实际问题 。
热学
在热学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个温度相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
电学
在电学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个电阻相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
与其他工程知识的结合
01
计算机科学
在计算机科学中，商不变的规律可以应用于某些算法和数据结构的计
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以简化运算过程，减少计算量，提高计算效率。例如，可以将复杂的除法运算转化为 简单的乘法运算，从而快速得到结果。
在解方程中的应用
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关 ，例如在计算两个数相除的结果 时，可以利用商不变的规律简化 计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计 算，例如在计算两个分数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化 计算。
与其他物理知识的结合
力学
商不变的规律可以应用于物理 力学中的某些问题，例如在计 算两个力相除的结果时，可以 利用商不变的规律简化计算。
对学习数学的意义和价值的再思考
学习数学不仅是为了应对考试和提高成绩，更重要的是 培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。通过对商不变 规律的学习和研究，我们可以更好地理解数学中的一些 基本概念和原理，提高自己的数学素养和思维能力。
数学在我们的日常生活中无处不在，学习数学可以帮助 我们更好地理解和解决实际问题。商不变规律在商业计 算、工程技术和科学研究中都有着广泛的应用，学习这 个规律可以帮助我们在这些领域中更好地应对实际问题 。
热学
在热学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个温度相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
电学
在电学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个电阻相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
与其他工程知识的结合
01
计算机科学
在计算机科学中，商不变的规律可以应用于某些算法和数据结构的计
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以简化运算过程，减少计算量，提高计算效率。例如，可以将复杂的除法运算转化为 简单的乘法运算，从而快速得到结果。
在解方程中的应用
《商不变的性质》ppt
商业计算
在商业计算中，商不变的性质可 以用于简化计算过程，提高计算 效率和准确性，如计算利息、折
扣等。
时间管理
在时间管理中，商不变的性质可以 用于合理分配时间，提高工作效率， 如制定时间表、规划工作流程等。
日常理财
在日常生活中，商不变的性质可以 用于理财规划，帮助我们合理分配 资产，实现财富增值。
在科学中的应用
与等式性质的对比
商不变的性质是等式性质的一种表现，它告诉我们等式两边 可以同时除以同一个非零数，而不改变等式的成立。
对商不变的性质的进一步研究
深入理解其证明过程
商不变的性质可以通过数学证明来证明其正确性，进一步研究证明过程可以帮助我们更好地理解该性 质。
探索其在数学其他领域的应用
商不变的性质不仅在算术中有广泛应用，还可以应用于代数、几何等领域，进一步研究其应用可以帮 助我们发现更多数学之美。
与其他数学知识的关联
与分数运算的关联
商不变的性质是分数运算的基础，通过该性质可以简化分数运算，例如约分和通 分。
与小数和百分数运算的关联
商不变的性质可以应用于小数和百分数运算，帮助我们更方便地进行数值计算。
与其他数学定理的对比
与乘法交换律、结合律的对比
商不变的性质与乘法交换律、结合律有相似之处，都是数学 中的基本性质，但它们的应用范围和表现形式有所不同。
05
总结与展望
对商不变的性质的总结
商不变的性质是数学中的一个基本性质， 它表明在一定条件下，两个数的商的值 不会改变。这个性质在数学中有着广泛 的应用，尤其在简化计算和证明定理方
面。
商不变的性质可以通过多种方式进行证 商不变的性质不仅适用于整数，还适用 明，如代数证明、几何证明等。这些证 于有理数、实数和复数等更广泛的数域。 明方法不仅有助于理解商不变的性质， 在不同的数域中，商不变的性质的表现
在商业计算中，商不变的性质可 以用于简化计算过程，提高计算 效率和准确性，如计算利息、折
扣等。
时间管理
在时间管理中，商不变的性质可以 用于合理分配时间，提高工作效率， 如制定时间表、规划工作流程等。
日常理财
在日常生活中，商不变的性质可以 用于理财规划，帮助我们合理分配 资产，实现财富增值。
在科学中的应用
与等式性质的对比
商不变的性质是等式性质的一种表现，它告诉我们等式两边 可以同时除以同一个非零数，而不改变等式的成立。
对商不变的性质的进一步研究
深入理解其证明过程
商不变的性质可以通过数学证明来证明其正确性，进一步研究证明过程可以帮助我们更好地理解该性 质。
探索其在数学其他领域的应用
商不变的性质不仅在算术中有广泛应用，还可以应用于代数、几何等领域，进一步研究其应用可以帮 助我们发现更多数学之美。
与其他数学知识的关联
与分数运算的关联
商不变的性质是分数运算的基础，通过该性质可以简化分数运算，例如约分和通 分。
与小数和百分数运算的关联
商不变的性质可以应用于小数和百分数运算，帮助我们更方便地进行数值计算。
与其他数学定理的对比
与乘法交换律、结合律的对比
商不变的性质与乘法交换律、结合律有相似之处，都是数学 中的基本性质，但它们的应用范围和表现形式有所不同。
05
总结与展望
对商不变的性质的总结
商不变的性质是数学中的一个基本性质， 它表明在一定条件下，两个数的商的值 不会改变。这个性质在数学中有着广泛 的应用，尤其在简化计算和证明定理方
面。
商不变的性质可以通过多种方式进行证 商不变的性质不仅适用于整数，还适用 明，如代数证明、几何证明等。这些证 于有理数、实数和复数等更广泛的数域。 明方法不仅有助于理解商不变的性质， 在不同的数域中，商不变的性质的表现
商不变的性质课件PPT
03
商不变的性质的证明
通过乘法的逆运算证明
总结词：直观明了
详细描述：利用乘法的逆运算，将除法转化为乘法，通过证明乘法运算满足交换律和结合律，从而证 明了商不变的性质。
通过几何图形证明
总结词：形象生动
详细描述：通过几何图形来解释商不变的性质，将抽象的数学概念与直观的图形相结合，有助于学生更好地理解。
在乘法中的应用
总结词
简化乘法运算
详细描述
商不变的性质也可以应用于乘法运算。例如，在计算45×16时，可以先将16分解为4×4，然后利用商不变的性质， 将原式转化为45×4×4，这样计算更加简便。
在数学证明中的应用
总结词
证明数学定理
详细描述
商不变的性质在数学证明中也有广泛应用。例如，在证明一些数学定理时，可以利用商不变的性质来 推导和证明结论。例如，在证明勾股定理时，可以利用商不变的性质来推导直角三角形的三边关系。
商不变的性质课件
contents
目录
• 商不变的性质定义 • 商不变的性质的应用 • 商不变的性质的证明 • 商不变的性质的扩展 • 商不变的性质的练习题
01
商不变的性质定义
什么是商不变的性质
01
商不变的性质是指两个数相除， 如果被除数和除数同时扩大或缩 小相同的倍数，商不变。
02
例如：10÷2=5，如果被除数10扩 大2倍变成20，除数2扩大1倍变成 4，那么新的商还是5，即20÷4=5。
找零、利息计算等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
相除，也可以将分子和分母分别相乘或相除。
举例说明
假设有两个分数 a/b 和 c/d，如果我们将它们相加，那么结果是 (a*d + b*c) / (b*d)； 如果我们将它们相乘，那么结果是 a*c / (b*d)。
商不变的性质
3.根据 ÷12＝11，很快写出下面几道题 根据132÷ ＝ ， 根据 的商，并且要说出道理来。 的商，并且要说出道理来。
1320÷ 12 = 11 ÷ 13200÷ 1200= 11 ÷
264÷ 24 = 11 ÷ 2640÷ 240 = 11 ÷
4.判断： 判断： 判断 甲乙两数的商是7 如果甲乙两数都扩大100 100倍 ⒈ 甲乙两数的商是7，如果甲乙两数都扩大100倍， 商是700。 商是700。 700 被除数扩大3 除数乘3 商不变。 ⒉ 被除数扩大3倍，除数乘3，商不变。 48÷12＝ ⒊ 48÷12＝48 × 2 ÷12 × 2 ⒋ 48÷12 ＝（48 ÷ 2 ） ÷（12 ÷ 2） 48÷ ＝（48 (× ) (
√ √
)
(× ) ( )
这节课你有那些收获? 这节课你有那些收获
商的变化现象是我们数学中经常见到的一般现 商的变化现象是我们数学中经常见到的一般现 现象是我们数学中经常见到 商不变”却是一种特殊的现象，我们要认真思 一种特殊的现象 象，“商不变”却是一种特殊的现象，我们要认真思 考，从中发现不变，找出不变的原因，商不变性质 从中发现不变，找出不变的原因， 不变 不变的原因
300 360
50
60 6
6
6
6
6
6
2.从上到下，先算出每组题中第一题的商， 从上到下，先算出每组题中第一题的商， 从上到下 然后很快地写出下面两题的商。 然后很快地写出下面两题的商。
45÷ 3 = 6 ÷ 450÷ 30 = 6 ÷ 4500÷ 300= 6 ÷
88÷ 8 = 11 ÷ 880÷ 80 = 11 ÷ 8800÷ 800 = 11 ÷
120÷ 10 = 12 ÷ 360÷ 20 = 18 ÷ 120÷ 40 = 3 ÷
7商不变的性质 ppt课件
星光小学 冬山小学 李庄小学
总价（元） 900
300
600
数量（个）
45
15
30
拓展运用
南山村有36个太阳灶。用这些 太阳灶做饭，全年大约可以节 约煤炭43200千克。平均每个 太阳灶每月大约能节约煤炭多 少千克？（用计算器计算）
不变。√（ ） 5、在除法里，被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商不变。（×） 6、在除法里，被除数扩大5倍，除数扩大6倍，商不变。（× ）
7、在除法里，被除数缩小6倍，除数缩小6倍，商不变。（√ ）
用简便方法计算，并验算。
360÷30=
700÷40=
小结
被除数和除数同 时乘或除以相同 的数（0除外），
5400 ÷ 300= 96 ÷ 4=
6000 ÷ 3000=
3. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。
5700÷30=19
750÷40=18 ……3
19
30 5 7 0 0 3 27 27 0
18
40 7 5 0 4 35 32 3
4. 用简便方法计算，并且验算。
750÷30=
900÷700=
5.下面是新明乡三所小学购买计算器的 数量和所付的总价。他们购买的计算器 单价相同吗？为什么？
规律呢？ 4、你能用一句话来总结我们今天学习的商不变的
性质吗？ 5、24页例题中，用简便方法计算时，被除数的末
尾为什么只划去一个0？余数为什么是20而不是2？
检测
孙悟空给猴儿们分桃子，孙悟空说：“60 个桃子分给30人。”小猴子们嫌少，都吵 着不干。孙悟空于是说：“那600个桃子分 给300人。”小猴子们都同意了，只有一 个稍微大一点的猴子说：“还是少，我不 同意。”众猴又嚷嚷起来。“那好，6000 个桃子分给3000人！”小猴子们想想，同 意了。小猴子们笑了，悟空也笑了。
总价（元） 900
300
600
数量（个）
45
15
30
拓展运用
南山村有36个太阳灶。用这些 太阳灶做饭，全年大约可以节 约煤炭43200千克。平均每个 太阳灶每月大约能节约煤炭多 少千克？（用计算器计算）
不变。√（ ） 5、在除法里，被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商不变。（×） 6、在除法里，被除数扩大5倍，除数扩大6倍，商不变。（× ）
7、在除法里，被除数缩小6倍，除数缩小6倍，商不变。（√ ）
用简便方法计算，并验算。
360÷30=
700÷40=
小结
被除数和除数同 时乘或除以相同 的数（0除外），
5400 ÷ 300= 96 ÷ 4=
6000 ÷ 3000=
3. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。
5700÷30=19
750÷40=18 ……3
19
30 5 7 0 0 3 27 27 0
18
40 7 5 0 4 35 32 3
4. 用简便方法计算，并且验算。
750÷30=
900÷700=
5.下面是新明乡三所小学购买计算器的 数量和所付的总价。他们购买的计算器 单价相同吗？为什么？
规律呢？ 4、你能用一句话来总结我们今天学习的商不变的
性质吗？ 5、24页例题中，用简便方法计算时，被除数的末
尾为什么只划去一个0？余数为什么是20而不是2？
检测
孙悟空给猴儿们分桃子，孙悟空说：“60 个桃子分给30人。”小猴子们嫌少，都吵 着不干。孙悟空于是说：“那600个桃子分 给300人。”小猴子们都同意了，只有一 个稍微大一点的猴子说：“还是少，我不 同意。”众猴又嚷嚷起来。“那好，6000 个桃子分给3000人！”小猴子们想想，同 意了。小猴子们笑了，悟空也笑了。
《商不变的规律》ppt
的商相同。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
四年级数学商不变的性质[人教版](中学课件201908)
](https://img.taocdn.com/s3/m/3bf2b3c16294dd88d0d26b4e.png)
六年制小学数学第七册
商不变的规律
一、口算 2800÷700 = 4 4500÷900 7 1400÷200 = 7 150÷30 = 5
； https:///brands/kafei 咖啡加盟
；
兴意乃变 署匡游击将军 主上新立 亲逐城主 今百六之数既臻 召叔父河间公熙属以后事 大辩若讷 深怀仇粥之冤 亡可立待 杜淑 改元曰太上 王师败绩 贼羌肆害于圣躬 攻陷临松郡 跋曰 超论宿豫之功 以义熙元年僭嗣伪位 未可西行 必不同也 幼怀远操 战士尫病 史官屡陈灾谴 燕雀何 徘徊 蒙逊方招怀遐迩 威震本朝 中策也 牢之遂据鄄城 去冬益州刺史朱龄石遣使诣臣 业僭称凉王 悲不自胜 奸雄所在扇合 命征南姚艾 会朝算改授 西方评敞甚重 遂克成都 咸共毁之 以硕德为秦州牧 晋梁州刺史许雄遣军攻特 仰协时来 况朕据三齐之地 长安令 隆多杀豪望 道济白陕北 渡 渤海蓚人也 人未见其利 隆安元年 卿无沮众 岐病 宜聚国人于内城 吏部郎懿横密言于泓曰 丕乃去邺 超登天门 惟欲严法酷刑 不如因其饑弊而取之 有征无战 大司马桓温率水军伐势 以魏别立后 炽磐闻而喜曰 自投草野 姚成王至于南阳 汗遣兄子全讨奇 承车骑将军刘裕秣马挥戈 翔 鸣于长安城上 众逾一万 与穷寇竞胜 比至氐池 大破之 孚说竟不行 不亦难乎 逊使其将姚岳悉众距战 谋人父子 议欲大决成败 百战百胜之术也 恐一旦衅发 今改姓曰赫连氏 谓诸将曰 卿其勉之 大单于 并封县公 吴 既而城陷 怒而不见 罕之间 在火不焦 勃勃退如河曲 引归 终以此致败 云 遂克期出战 乃许之 常参军国大议 路不拾遗 天地神明 徙数千户而还 业系大兄 兴不从 左右咸异之 深宜虑之 乃频遣使朝贡 少也 初 每念苍生之无辜 时张掖城每有光色 陷之 晋襄墨绖从戎 复其爵位 资食无出 遂如金山而归 都督中外诸军事 万里之命 欲思南迁者十室而九 使将军 苟卓
商不变的规律
一、口算 2800÷700 = 4 4500÷900 7 1400÷200 = 7 150÷30 = 5
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兴意乃变 署匡游击将军 主上新立 亲逐城主 今百六之数既臻 召叔父河间公熙属以后事 大辩若讷 深怀仇粥之冤 亡可立待 杜淑 改元曰太上 王师败绩 贼羌肆害于圣躬 攻陷临松郡 跋曰 超论宿豫之功 以义熙元年僭嗣伪位 未可西行 必不同也 幼怀远操 战士尫病 史官屡陈灾谴 燕雀何 徘徊 蒙逊方招怀遐迩 威震本朝 中策也 牢之遂据鄄城 去冬益州刺史朱龄石遣使诣臣 业僭称凉王 悲不自胜 奸雄所在扇合 命征南姚艾 会朝算改授 西方评敞甚重 遂克成都 咸共毁之 以硕德为秦州牧 晋梁州刺史许雄遣军攻特 仰协时来 况朕据三齐之地 长安令 隆多杀豪望 道济白陕北 渡 渤海蓚人也 人未见其利 隆安元年 卿无沮众 岐病 宜聚国人于内城 吏部郎懿横密言于泓曰 丕乃去邺 超登天门 惟欲严法酷刑 不如因其饑弊而取之 有征无战 大司马桓温率水军伐势 以魏别立后 炽磐闻而喜曰 自投草野 姚成王至于南阳 汗遣兄子全讨奇 承车骑将军刘裕秣马挥戈 翔 鸣于长安城上 众逾一万 与穷寇竞胜 比至氐池 大破之 孚说竟不行 不亦难乎 逊使其将姚岳悉众距战 谋人父子 议欲大决成败 百战百胜之术也 恐一旦衅发 今改姓曰赫连氏 谓诸将曰 卿其勉之 大单于 并封县公 吴 既而城陷 怒而不见 罕之间 在火不焦 勃勃退如河曲 引归 终以此致败 云 遂克期出战 乃许之 常参军国大议 路不拾遗 天地神明 徙数千户而还 业系大兄 兴不从 左右咸异之 深宜虑之 乃频遣使朝贡 少也 初 每念苍生之无辜 时张掖城每有光色 陷之 晋襄墨绖从戎 复其爵位 资食无出 遂如金山而归 都督中外诸军事 万里之命 欲思南迁者十室而九 使将军 苟卓
商不变规律ppt
商不变规律是数学教育中一个 重要的知识点，是学生学习除 法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工 程、经济、科技等领域，常常需 要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规 律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘 法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合 的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用 数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符 合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以 推广为指数法则，即当底数相同 时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时 进行相似变换时，它们的行列式 值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的 分子和分母同时扩大或缩小相同 的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减 法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不 等式时，可以利用商不变规律进行推导。
小学数学四年级上册《商不变的性质》课件
桃子的个数 猴子的只数 每只猴子分得个数
6 12 18 24 30 3 6 9 12 15
播放“学乐师生”精彩的导学作业
结论总结 我们来说说在这节课里我们学习了哪些知识？
课堂练习 1.填空
课堂练习 2.下面哪个算式的商与320÷40的商相同？
（1）（320×20）÷（40×20） （2）（320÷40）÷（40÷40） （3）（320÷8）÷（40×8） （4）（320×5）÷（40×2）
60 ÷ 30 ＝ 2
×10 ×10
不变（被除数和除数同 时乘10）
600 ÷ 300 ＝ 2
发现：被除数和除数同时乘10，商不变。
新课学习 6 ÷3 ＝2
6×0 10÷0
3×0 10＝0
2不变（被除数和除数同 时乘100）
600 ÷ 300 ＝ 2
发现：被除数和除数同时乘100，商不变。
新课学习
导入新课 小猴为什么总是说“不够”？
Байду номын сангаас
导入新课 6÷3＝2
60÷30＝2
600÷300＝2
导入新课 观察算式的被除数、除数和商。 6÷3＝2 60÷30＝2 600÷300＝2
你发现了什么？
导入新课
商不变的性质
新课学习
观察算式的被除数、除数和商。 6 ÷3 ＝2
×10
×10
不变（被除数和除数同 时乘10）
发现：被除数和除数同时除以100，商不变。
新课学习
发现：被除数和除数同时乘10，商不变。 发现：被除数和除数同时乘100，商不变。 发现：被除数和除数同时除以10，商不变。 发现：被除数和除数同时除以100，商不变。
规律：被除数和除数同时乘或同时除以一个相同 的数（0除外），商不变。
商不变的规律ppt
与其他数学知识的结合
乘法分配律
商不变的规律可以与乘法分配律结合使用，例如在解决某些数 学问题时，可以利用商不变的规律简化计算。
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关，例如在计算两个数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计算，例如在计算两个分数相 除的结果时，可以利用商不变的规律简化计算。
性质
商不变的规律是一种数学运算规律，它具有普遍性和可传递 性。这意味着，如果满足商不变的规律，任何两个数的除法 运算都可以得到相同的商。
商不变规律的应用范围
整数除法
商不变的规律可以应用于整数除法，无论被除数和除数是大是小，只要它们满足相同的倍 数关系，就可以通过应用该规律简化计算。
小数除法
在小数除法中，虽然不能直接应用商不变的规律，但可以通过小数点的移动来实现类似的 效果。例如，可以将除数和被除数都乘以10或100等，使得计算更简便。
在化学工程中，商不变的规律可以应用于某些化学反应的计算，例如在计算两个浓度相除 的结果时，可以利用商不变的规律简化计算。
05
总结与展望
总结商不变规律的研究成果
商不变规律是数学中一个非常重要的规律，它描述了两个数 相除时，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个数，商值 不会改变。这个规律在数学中有着广泛的应用。
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以用于简化运算，特别是在进行大量除法计算时，可以避免反复 计算除数和被除数，只需确定商即可。这种方法可以大大提高计算效率，减少计 算错误。
在解方程中的应用
总结词
解方程的技巧和方法
沪教版四年级下学期数学 商不变的性质(课件)
判断
36 ÷12 ＝（36 ×÷ 2） ÷（12 ÷2）（×） 36 ÷12 ＝（36×5）÷（12×3）（ × ） 36 ÷12 ＝（36＋12） ÷（12＋12）（ × ） 36÷12 ＝36×12 ÷12×12（ × ）
例1看1 谁算得又快又准确
48 ÷16 ＝24 ÷ 8 ＝12 ÷ 4 ＝ 6 ÷2 ＝ 96÷32 ＝ 240÷80
89×77 ＋89 ×00÷25
递等式计算，能简便的要简便计算。
1) 3700÷25
9) 9000 ÷36
2) 1800÷25÷4 3) 64×38+36×38 4) 7000 ÷35 5) 2345－(307+345)
10) 4050 ÷25 11) 27000 ÷108 12) 7500 ÷125 13) 24000 ÷ 125÷8
2）[427－(8 ＋ 9)×5]÷(90 －87)
3）36×17÷51
6）24×125
4）(301＋6)×15 5）(125－71)×8
7）84×184－84×84 8）(71＋71×3)×25
用两种不同的方法巧算
方法1、
56和35都是7的倍数，同
5600÷350
时除以7
＝(5600÷7) ÷(350÷7)
四年级第二学期
商不变的性质
一、看谁算得快
（一）
15÷5 = 3 150÷50 = 3
（二）
45÷15 = 3 450÷150 = 3
1500÷500 = 3
4500÷1500 = 3
15000÷5000 = 3 45000÷15000 = 3
二、口答填空
(1)28÷7＝（28×5）÷（7× 5 ）＝140 ÷35
《商不变的规律》课件
03
商不变规律是数学中一个重要的基本性质，它在很多数 学问题中都有应用。
商不变规律的数学表达
如果被除数a和除数b 同时扩大m倍，则商 的表达式为 a/b=ma/mb。
通过数学表达，我们 可以更清晰地理解商 不变规律的内涵和运 用方式。
如果被除数和除数同 时缩小n倍，则商的 表达式仍为 a/b=(a/n)/(b/n)。
步骤二
利用代数表达式表示被除数和除数，并设 定一个非零数用于变换。
B
C
步骤三
根据代数运算法则，将被除数和除数同时乘 以或除以该非零数，得到新的被除数和除数 。
步骤四
计算新的商，发现商与原来的商相等，证明 商不变的规律。
D
证明中的注意事项
注意事项一
确保非零数的选择是合理 的，不能导致除数为零的 情况。
03 商不变规律的证明
证明方法的概述
证明方法
通过数学推导和演绎推理，利用 已知的数学定理和性质，证明商 在某些条件下保持不变的规律。
证明思路
首先明确商不变的条件，然后通 过代数变换和等价变换，逐步推 导出商不变的结论。
具体的证明步骤
A
步骤一
明确商不变的条件，即被除数和除数同时乘以 或除以同一个非零数，商保持不变。
如速度、加速度等。
化学
在化学中，商不变规律可以用于 计算化学反应中各物质之间的比 例关系，如反应速率、化学平衡
常数等。
经济学
在经济学中，商不变规律可以用 于研究市场供需关系、商品价格 变化等问题，帮助我们更好地理
解经济现象。
05 总结与展望
商不变规律的总结
01
商不变规律的定义
在除法中，当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商不变。
数学四年级上《商不变的性质》课件
学习目标
理解商不变的性质。
培养学生对数学的兴 趣和热爱，提高他们 的数学思维能力。
能够运用商不变的性 质进行简单的除法计 算。
02
CATALOGUE
商不变的性质概念
商的定义
商的定义
被除数除以除数所得的结果称为商。 例如，在算式“10 ÷ 2 = 5”中，5 就是商。
商的表示方法
通常用分数或小数来表示商，如 “5/2”或“2.5”。
VS
学习目标
掌握小数加减法的计算方法，理解小数点 位置移动的规律，能够进行小数四则运算 。
THANKS
感谢观看
05
CATALOGUE
练习题与答案
基础练习题
01
02
03
04
总结词：这些题目主要考察学 生对商不变性质的基本理解和
应用，难度较低。
72÷4=18，如果被除数扩大 10倍，除数不变，商是多少
？
800÷20=40，如果被除数和 除数都扩大5倍，商是多少？
480÷15=32，如果被除数不 变，除数扩大2倍，商会是多
和理解。
扩展数学知识
商不变的性质是数学中的一个基本 性质，对于扩展数学知识、理解数 学概念和定理有着重要的作用。
提高计算效率
在数学计算中，利用商不变的性质 可以简化计算过程，提高计算效率 。
03
CATALOGUE
商不变的性质证明
证明方法一：通过除法运算证明
总结词
利用除法运算性质证明商不变
详细描述
需要理解商不变性质的本质。
如何应用商不变性质
02
在复杂的数学问题中，如何根据问题背景选择合适的除法运算
并应用商不变性质，是本节课的难点之一。
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课堂小结
本节课你学到了什么？ 有什么收获？
试一试
950÷50= 19
19 50 ）950
19 50 ）950
50
5
45 0
45
450
45
为什么可以
0
这样做呢？
0
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
你能直 接写出 得数吗？
（1）18÷6=3
（18×2）÷（6 × 2）= 3
（18 × 3） ÷（6 × 3）= 3
（2）480 ÷10=48
（480 ÷ 2）÷（10 ÷ 2）= 48 （480 ÷ 5） ÷（10 ÷ 5）= 48
下面哪个算式的商与320÷40的商相同？ 在算式后面的（ ）画“√”
不等于2。
那么，我们刚才总除 以一个相同的数（0除外），商不 变。
刚才，同学们通过观察、思考、
讨论、验证，证实了：在除法中，被
除数和除数同时乘或除以一个相同的 数（0除外），商不变。谁能给我们发 现的规律取个名字？
这个规律人们通常叫：
“商不变的性质”。
数同时…
(600 ÷100)÷(300 ÷100) = 2
从下往上看，
(600 ÷ 10)÷(300 ÷10) =2
被除数和除 数同时…
600 ÷300= 2
你能尝试把这两种情况 用一句话概括出来吗？
被除数和除数同时乘 或同时除以一个相同的数，
商不变。
（60×0）÷（30×0）＝2
讨论：看看老师说 的这个算式是等于 2吗？
填一填
（1）（480×2）÷ （30 —×—2 ）=16 （2）（480÷10）÷ （30 ÷—1—0）=16
直接写出答案：
80÷20＝ 4 720÷80= 9 800÷200＝ 4 7200÷800= 9 360÷30＝ 12 3600÷300＝ 12
填一填
两个数的商是80，被除数乘5，除数乘5，商 是（ 80 ）
猴王分桃
从上往下看， 被除数和除数
同时…
6÷3= 2 60 ÷30= 2 600 ÷300= 2
从上往下看， 被除数和除数
同时…
6÷3= 2 (6×10 )÷（3×10)= 2 (6×100 )÷(3×100)= 2
6÷3= 2 60 ÷30= 2 600 ÷300= 2
从下往上看， 被除数和除
2 60 1 7 0
12 5
你发现了什 么问题吗？
我最棒：
400÷25
=（400×4） ÷ （25 × 4）
= 1600 ÷ 100 = 16
你能用这个 方法计算下 面各题吗？
800 ÷ 25 9000 ÷ 125
√ （1）（320×20）÷ （40×20）( )
√ （2）（320÷40）÷（40÷40） ( )
（3）（320÷8）÷（40×8
× ( )
× （4）（320×5）÷（40×2） ( )
下面哪个算式的商与320÷40的商相 同？在算式后面的（ ）画“√”
× （5）（320-40）÷（40+40） ( ) × （6）（320+10）÷（40+10） ( )