三角函数,数列公式大全

三角函数公式：（1）.弧度制：180o

rad π=，'18015718o

o rad π=≈

弧长公式：l r α=

，扇形面积公式：211

2

2

S r lr α==

（2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==

+则：

sin ,cos ,tan ;y x y r r x

ααα=

== （3）同角基本关系式：2

2sin sin

cos 1,tan ;cos α

αααα

+==

（4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

（5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=±

()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβ

αβαβ

±±=

（6）二倍角公式：2

2tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan α

ααααα

==

- 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;

（7）降幂公式：()()22111

sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222

ααααααα==-=+ （8）合一公式：()22

sin cos sin ,a b a b αααϕ+=++其中tan b a

ϕ=。

2．三角函数图像和性质：

（二）、函数图像的四种变换：

（三）、函数性质：

1.奇偶性：

（1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。

偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶

函数。

（2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。

（3）常见的奇函数：

,,a k

y kx y y x x

==

=（a 为奇数），

(),0,k

y x k R k x

=+

∈≠sin ,y x =tan ;y x = 常见的偶函数：,a

y m y x ==（a 为偶数），cos y x =，y x =。 （4）奇偶函数四则运算与复合：

2周期性：

（1）定义：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为以T 为周期的函数。

(2) 若函数()f x 的周期为T ，则函数()f x ω的周期'T

T ω

=

。

（3）若()()f x m f x +=-，则函数()f x 的周期为2T m =； 若()()

k f x m f x +=，则函数()f x 的周期为2T m =。

3．对称性：

对于定义域内任何自变量x ，都有()()2f x f a x =-，则函数()f x 图像关于x a =对称。

三、数列基础知识：

1.等差数列：（1）定义式：()1,2n n a a d n N n *--=∈≥或()1n n a a d n N *+-=∈用于证

明。

（2）通项公式：()()11;n n m a a n d a a n m d =+-=+-（3）中项公式：若,,a b c ，则

2b a c =+

（4）前n 项和公式：()()111

;122

n n n n a a S S na n n d +=

=+-特别的当n 为奇数时，12

n n S na +=

（5）性质：对于正整数,,,m n p q ，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+。

2.等比数列：（1）定义式：

()1,2n n a q n N n a *-=∈≥或()1n n

a

q n N a *+=∈用于证明。 （2）通项公式：11;n n m n n m a a q a a q --=⋅=⋅（3）中项公式：若,,a b c ，则2

b a

c =⋅

（4）前n 项和公式：11,1

,1(1)1n n na q S q a q q =⎧⎪

=≠-⎨⎪-⎩

（5）性质：对于正整数,,,m n p q ，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅。

3．数列求通项公式的方法：

(1)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n a ，利用11,1

,2

n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩

步骤：第一步另1n =，第二步抄原式，将n 换成1n -再写一式，两式相减。第三步验证1n =时是否符合第二步结果，再结论。

（2）累加法：针对已知递推公式()1n n a a f n --=的题型求通项公式。

（3）累乘法：针对已知递推公式

()1n

n a f n a -=的题型求通项公式。 利用公式：324

1123

1

n

n n a a a a a a a a a a -=⋅

⋅⋅ （4）构造新数列：针对已知递推公式1n n a Aa B +=+的题型求通项公式。设

()1n n a k A a k ++=+

4.数列求的前n 项和公式的方法：

（1）分组求和法：针对等差与等比数列相加减的通项求和。例如：2132n

n a n =+-⋅，求

前n 项和。

（2）并项求和法：针对含有()1n

-或()

1

1n +-的通项求和。

例如：()()143n

n a n =-⋅+，求9595474S a =⨯+ （3）倒序相加法：等差数列推导前n 项和公式的方法。

例如：已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，均有()()24f x f x +-=成立，则

12340312016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。

（4）裂项相消法：针对分式数列求和。 例如：()()

32121n a n n =

-⋅+，求前n 项和n S 。先裂项再求和：31122121n a n n ⎛⎫

=- ⎪

-+⎝⎭。 （5）错位相减法：针对通项公式为一个等差乘以一个等比的数列求前n 项和公式。

例如：1

2n n a n -=⋅ 或 1

21

3

n n n a +-=

四、解三角形：已知ABC ∆三内角,,A B C 所对边分别为,,a b c

1.边角关系：（1）内角和定理：A B C π++=；

应用()()()sin sin ,cos cos ,tan tan A B C A B C A B C +=+=-+=-。 （2）a b A B >⇔>；a b A B =⇔=；,a b c a b c +>-<。

2.正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 为ABC ∆外接圆半径。 （1）变形式：

2sin ,2sin ,2sin ;sin ,sin ,sin ;222a b c

a R A

b R B

c R C A B C R R R

====== （2）::sin :sin :sin a b c A B C =。 （3）ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔> 3.余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos ;a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-