第十二讲 矩阵的初等行变换

1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12
0 0 1 9 4 6
r1 + r3 1 0 0 6 3 4
r1 r2
0 0
1 0
0 1
4 9
2 4
3 6
特别要注意将元素化为零 的先后顺序.
12
所以
6 3 4
A1
c
就称矩阵 A 与 B 列等价，记作 A～ B．
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
7
等价关系的性质： (i) 反身性 A~A (ii) 对称性 若 A~B 则 B~A (iii)传递性 若 A~B B~C 则A~C
8
三、利用初等变换求矩阵的逆的方法
变换 ri rj 的逆变换为 ri rj ;
变换 ri k
的逆变换为
ri
(1 k
)
或
ri
k;
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (k)rj 或 ri krj .
5
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
r1
r3
a 31 a21
a11
a
32
a22
r1
r3
10
例2.设
A
0 3
2 0
12，求 A1.
2 3 0
解:
0 2 1 1 0 0
( A, E) 3 0 2 0 1 0
2 3 0 0 0 1
rr11
+ +
rr32
1
1
1
1
1
1
3 0 2 0 1 0
2 3 0 0 0 1
r2 3r1 r3 + 2r1
1
1
1
1
1
1
0 3 1 3 2 3
3.求A-1的方法：
AME 初等行变换 EMA1.
14
0 1
2
A1
7 1
3 7 5
7 7
r1 r2 1 2 M 0 1 r2 + (5)r1 1 2 M 0 1
5 3 M1 0
0 7 M 1 5
1 7
r2
1
0
2 M0 1 M 1
7
1
r1
+
(2)r2
1
5 7
0
0 1
M2 7 1
M 7
3
7 5
7
注意：先把第一列变成单位向量，再把第二列变成 单位向量。
a22 a32
a21 + ka11
a31
a12
ka22 +
r2 ka12
+
(
k
)r1
a11 a21
a32
a31
a12 a22 A a32
6
二、矩阵的等价关系
如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B，
r
就称矩阵 A 与 B 行等价，记作 A～ B．
如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B，
0 5 2 2 2 3
将 (1,1)元
化为1
11
1 1 1 1 1 1 0 3 1 3 2 3 0 5 2 2 2 3
将(2,2元)
化为1
r2 (2) 1 1 1 1 1 1
r2 r3
00
0
61
5
02
2
46
2
42
2
63
3
这已是阶梯形矩 阵,再化为行最简
形
r3 5r2
4 9
2 4
3 6
.
若矩阵不可逆，也可以用初等变换的方法 判别出来。
13
小结:
1ri rj ci c j ;
1.初等行(列)变换
2ri
k ci
k
;
3ri + krj ci + kcj .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 2.矩阵等价具有的性质
(1)反身性; (2)对称性 ; (3)传递性.
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第一讲 矩阵的初等行变换
一、初等变换的定义 二、矩阵的等价关系 三、利用初等变换求矩阵的逆
1
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探 讨中都可起重要的作用
矩阵的初等变换把矩阵的形式改变了，但他 的一些内涵并没有改变。正因为有这样的特点我 们就把复杂的矩阵通过初等变换变成简单的形式 研究，就会很方便。
3
2.初等列变换：同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把“r”换成“c”)．
3.初等变换：矩阵的初等行变换和初等列变换， 统称为初等变换
如：
1
5 9
3 171
r1 r2
5
1 9
7 131
1 8 r3
5
1 1
7
3 1
r3 r2 5 7
1 8
3 8
问:能写等号吗？不能，只能用
4
注：初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换 类型相同．
2
一、矩阵的初等变换的定义
1.初等行变换 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行（对调 i , j两行 ,记作 ri rj ）； (2) 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; （第 i 行乘 k,记作 ri ×k） (3) 把某一行所有元素的k 倍加到另一行 对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作 ri + krj）.
设n阶方阵A可逆，可按如下方法求A 的逆矩阵：
对 n×2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1. 即
AME 初等行变换 EMA1.
方法的证明在初等矩阵那一节给出
9
例
设A
5 1
3 2
,
求 A1.
解：
AME
5 1
3 2
M1 M0
a11 a21
a12
a31
a12 a22 A a32
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
r2 k
a11 ka21 a31
a12
r2
1 k
a11
ka22
a21
a32
a31
a12 a22 A a32
a11 A a21
a31
a12 r2 + kr1 a11