2014年南开大学数学试点班自主招生考试题解析
2019年南开大学数学试点班自主招生考试题
南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1．若单位向量a r ，b r 满足|23|a b -=r r |32|a b +=r r ．2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．5．在△ABC 中，A 为钝角，以下结论正确的是 ．①sin cos B C <；②sin sin sin A B C <+；③tan tan 2B C +<；④sin sin B C +<6．已知函数()f x 为周期为3的奇函数，且(1)0f =，则()f x 在区间[0,3)上至少有 个零点．7．过双曲线221169x y -=焦点(,0)(0)F c c >的直线()(0)y k x c k =-<交双曲线的两条准线于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰过原点O ，则k = ．8．已知,(0,1)x y ∈，且37,5x y x y ++均为整数，则这样的(,)x y 共有 对．9．在区间(0,)+∞上，若方程2ln x x x a-=有唯一解，则a 的值为 ． 10．已知,,x y z 均为正数，且12xyz =，2222x y z ++≤，则444x y z ++的最大值为 ． 二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）1．设,m n 为正整数，且m n <．证明：对于任意连续n 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn 的倍数．2．设P 为曲线222521x xy y -+=上的动点，求点P 到原点距离的最小值．3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的,x y ，均有()()f x y f xy +=．证明：()f x 在(0,)+∞上恒为常数．4．设,(0,)2x y π∈，且tan tan 3x y ⋅≥．证明：cos cos 2x y +≥．5．设n Z ∈，且2n ≥，(0,1](1,2,,)i a i n ∈=L ，证明：1111111n n nn i i i i i i i i i a a n a a a ====⋅≥⋅⋅++∑∑∑∏． 6．已知1(0,1)a ∈，212n n n a a a n+=+，证明：存在0M >，使得对任意的正整数n ，有n a M <． 7．设集合A 的元素个数为n ，证明：存在集合A 的一个子集B ，满足：B 的元素个数大于3n ，且对任意的,x y B ∈，均有x y B +∉．。
自主招生数学讲义
(2) 以集合 A ∪ B 的元素作为二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根，试在 f (x) = x2 + px + q 的最小值
中求出它的最大值和最小值.
{ } { } 【例 19】如果集合 A =
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6
第 5 页 （共 47 页）
2014 年自主招生数学讲义
【例 33】下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若 x2 = 1 ，则 x = 1”的否命题为：“若 x2 = 1 ，则 x ≠ 1 ” B．“ x = −1 ”是“ x2 − 5x − 6 = 0 ”的必要不充分条件 C．命题“ ∃x ∈ R ，使得 x2 + x +1 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R ，均有 x2 + x +1 < 0 ” D．命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
{ } 【例 03】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A = x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 ，其
中 ak ∈{0 ，1， 2}(k = 0 ，1， 2 ， 3) 且 a3 ≠ 0 ，则 A 中所有元素之和等于
.
【例 04】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} 到 B = {b1 ，b2 ，b3 ，b4} 的
B． (a ∗ (b ∗ a)) ∗ (a ∗ b) = a
C． b ∗ (b ∗ b) = b
D． (a ∗ b) ∗ (b ∗ (a ∗ b)) = b
2014年自主招生模拟数学试卷(附答案)
2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。
2019年南开大学数学试点班自主招生考试题解析
分别是：1，1.5，2，3，4，4.5，5．
【结论】若 是定义在R上的以T为周期的奇函数，则 ．
7．过双曲线 焦点 的直线 交双曲线的两条准线于 、 两点，且以 为直径的圆恰过原点 ，则 ．
【答案】
【解析】易知两准线方程为 ，则 ， ，依题意知 ，则 ，又 ，解得 ．
取 ， ， ③×；
由①知 ，④√．
6．已知函数 为周期为3的奇函数，且 ，则 在区间 上至少有个零点．
【答案】4
【解析】易知 ；
；
．
所以， 在区间 上至少有0，1， ，2四个零点．
【备注】本题源于2005年福建理科高考试题第12题：
是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间 内解的个数的最小值是A．2B．3C．4D．5
8．已知 ，且 均为整数，则这样的 共有对．
【答案】31
【解析】令 ，则 ，
由 得 ，
作出上述不等式组表示的区域（蓝色区域），
问题转化为求该区域内整点的个数．
由图可知，该区域内整点共有31个（如图所示）．
9．在区间 上，若方程 有唯一解，则 的值为．
【答案】1
【解析】 ，
令 ，
则 ，由 得 ．
当 时， ；当 时， ．所以 ．
3．定义在 上的函数 满足：对任意的 ，均有 ．证明： 在 上恒为常数．
【解析】容易看到函数 有周期1，对 ，可取正整数 满足：
那么可取到 使得：
， ．
由此可知 对 均成立．
（注：以上参考宋庆老师的解法）
4．设 ，且 ．证明： ．
【解析】令 ， ，则问题转化为：
已知 ， ，证明： ．
2014届全国自主招生模考北约数学2答案
北约数学答案2 一、选择题二、解答题 7、解：由均值不等式得2222)]2()2[()()4()(c b c a b a c b a b a +++++=++++………………………(3分)ab c bc ac ab bc ac ab ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=++≥222224244)2222()2(22ab c bc ac ab 16884+++=,………………………(6分)∴)(16884)()4()(22c b a abcabc bc ac ab c b a abc c b a b a ++⋅+++≥++⋅++++ 488111()8()22222a ab b a bc c c b a c b a =+++++=+++++++ 100)25()215(85422522=⋅⋅⋅≥c b a c b a ,………………………(6分)等号成立当且仅当02>==c b a , 故k 的最大值为100 .………………………(3分)8、解：结论成立. ………………………(4分)由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n nn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质）………………………(2分)由111p pa q q ==，可得q p <≤10；………………………(2分)若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 11n n n n nq a a p p β+===，故β=+1n p ，nn p q =+1，可得nn p p <≤+10………………………(3分)若=n p ，则1=+n p ，………………………(2分)若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数(1,2,3,,)n p n q =L 互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾.………………………(3分)故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a . 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0， 所以对于大于q 的自然数n ，都有0=n a………………………(2分)9、解：设所求的两位数为x,则有自然数s 、t ，满足10210(1),10510(1)s n s t n t x x x x <<+<<+………………………(6分)两式相乘得+t22101010(1)s n s t x x +<<+………………………(2分)因为x 是两位数，224242321099,10,(1)1010103,10(1)10001,31s t n s t x x x n s t x x x x x ++++≤≤≤+≤<<=++<<+<<+=所以10所以这个两位数是31.……………………(10分)10、解：因为B m =（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．由b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a 1，a 2，a 3）的关系数的情况．……………………(4分)当b m1=0时，有．……………………(3分)==．……………………(4分)即b m1=0，且，，时，a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值为m．当时，，……………………(4分)得a1b m2+a2b m3+a3b m4m所以C（A，B m m（m=1，2，3，…，n）．……………………(3分)。
2014年南开大学试点班理科试题
π 2
cos x cos y cos x cos y . 2 cos( x y )
5.设 n 为大于 2 的正整数，且 a1 ， a2 ，…， an 的取值均为 (0,1) . 证明：
a a 1 n a a 1 .
i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i
2014年南开大学试点班理科试题南开大学数学试点班南开大学经管法试点班南开大学自主招生试题南开大学伯苓班南开大学考研辅导班南开大学沈阳班高三理科数学模拟试题文理科选择测试题高三理科综合试题
2014 年南开大学数学试点班理科自主招生考试试题（A 卷）
总分：200 分
考试时间：2014-02-16
8：30－11：30
. . 个.
一．填空题（每小题 7 分，共 70 分） （1）若单位向量 a ， b 满足 | 2a 3b | 10 ，则 | 3a 2b | （2）若非零复数 z 满足 | z | z (1 i) z 0 ，复数 z 的实部为
2
（3）不含 0 的没有重复数字且 4 与 5 不相邻的五位数共有 三棱锥 P ABC 的体积 VP ABC
（4）在三棱锥 P ABC 中，底面边长为 3 的正三角形，且 PA 3 ， PB 4 , PC 5 ，则 . .
（5）在 ABC 中，角 A 为钝角，以下结论正确的是 1 sin B sin C ； ○ 3 tan B tan C 2 ； ○ 2 sin A sin B sin C ； ○ 4 sin B sin C ○
.
（10）已知 x ， y ， z 均为正数，且 xyz
1 2 2 2 4 4 4 ， x y z 2 ，则 x y z 的最大值 2
拉格朗日乘数法的初等应用
拉格朗日乘数法的初等应用甘大旺【摘要】概述拉格朗日的数学成就,诠释拉格朗日乘数法的两元简单形态和多元一般形态,从高考题、自主招生题、竞赛题中挑选例题详述拉格朗日乘数法在初等数学中的运用,其中指明把函数极值点确定为最值点的判定技巧,并补充一组思考题让读者进一步品味拉格朗日乘数法的实用价值.【期刊名称】《宁波教育学院学报》【年(卷),期】2017(019)001【总页数】4页(P134-137)【关键词】拉格朗日;偏导数;极值点;拉格朗日乘数法【作者】甘大旺【作者单位】浙江省宁波市北仑明港中学,浙江宁波315806【正文语种】中文【中图分类】O172.1拉格朗日（grange,1736-1813）是出生于意大利的法国数学家、力学家、天文学家，被誉为“分析学大师”、“全才数学家”，以他的名字为标记的研究成果就有拉格朗日中值定理、拉格朗日插值公式、拉格朗日恒等式、拉格朗日乘数法、拉格朗日分析力学、流体运动的拉格朗日方法、天体运动方程的拉格朗日平动解，等等，本文诠释并例谈拉格朗日乘数法这个高等方法的初等应用。
为了求二元函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值点（x，y），拉格朗日探索到如下一个基本结论。
定理1：如果两个二元函数f（x，y）和φ（x，y）在某个平面区域D内都存在两个偏导数fx'（x，y）、fy'（x，y）和φx'（x，y）、φy'（x，y），取函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），则二元函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）= 0下的所有极值点（x，y）满足：在定理1中，所取函数L（x，y）被称为二维拉格朗日函数，其中的实数λ被称为拉格朗日乘数。
这里，目标函数只是二元函数、约束条件只有一个，所以运用定理1求二元函数的条件极值的方法属于拉格朗日乘数法的简单形态。
例1：（2015年山东省竞赛题）已知x、y∈（0，+∞），且x3+y3+3xy=1，则x2y的最大值是____。
历年自主招生试题分类汇编—集合与逻辑
1 ) 递增 ,由归纳假设 xn 2n
得 g(xn )
1 g ( 2n ) ,要证明 xn 1
1 2n 1 只需证明
exn 1
1
1
e 2n
1
,即
g(xn )
e , 2n 1
1 故只需证明 g ( 2n )
1
e2 n 1 ,考虑函数 h (x)
x
x
xg ( x) xe2 ,因为当 x 0 时 e2
x 1,
2
所以 h(x)
x
ex (1 x )e 2 2
xx
e2 [e 2
(1 x)] 2
0 ,故 h( x) 在 (0,
)
上递增
,又
1 2n
0,
1 所以 h( n )
2
1 0 ,即 g ( n )
2
1
e2n 1 ,由归纳法知 , xn
1 n 对任意正整数 n 成立 . 2
注 :此题的函数模型与 2012 年清华大学保送生考试试题的函数模型相似 .
f ( x) 在 0 x 上单调增．∴ f ( x) f (0) 0 ．即有 x sin x ． 2
同理可证 g (x) tan x x 0 ．
1
g(0) 0 ，当 0 x 时， g ( x)
2 1 0 ．于是 g ( x) 在 0 x 上单调增。
2
cos x
2
∴在 0 x 上有 g (x) g (0) 0 。即 tan x x 。 2
x2 (14) （ 2012 年华约） 记函数 f n( x) 1 x
2!
xn , n 1,2 证明：当 n 是偶数时，
n!
方程 fn ( x) 0 没有实根；当 n 是奇数时，方程 f n( x) 0 有唯一的。
南开大学自主招生面试题
南开大学自主招生面试题
来源：网络综合
南开大学2014年自主招生面试时5个人随机分一组，有5名教授面试。
以下是2014年自主招生面试，仅供参考。
【普通自主招生面试题】
1、网络对人际关系的影响是拉近还是疏远?
2、为什么山西以前雾霾严重如今好多了，河北的雾霾始终严重?
3、如何看待公务员考试?
4、西游记里取经包括白龙马的五人组里，如果把他们看做一个团体，你愿意做谁?
【英才选拔直通车面试题】
据了解，整个面试过程持续近半个小时，考题并不是特别难。
1、面试前要求，每个人提前做一份“创新精神”为主题的PPT，喜欢数学的小何在PPT中主要介绍自己对数学方面问题的看法，围绕这份PPT，7名考官中有文有理，有老师专门负责问他数学相关的专业问题
2、文科的老师得知小何最喜欢李清照的词，现场让其背诵了李清照的《声声慢》。
【体质测试】
1、男生为肺活量、握力、立定跳远;
2、女生为肺活量、坐位体前屈、立定跳远。
2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析
2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。
则x=-2/5.3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。
解析：用排除法。
不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。
所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。
4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。
在直角△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.5.在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是：①sinB<cosC；②sinA<XXX<2；④sinB+sinC<1.解析：A为钝角，则∠B+∠C<π/2.所以：①sinB<sin(π/2-∠C)=cosC；②sinA<sin(∠B+∠C)=XXX<sinB+sinC；③tanB+tanC=(sinB/cosB)+(sinC/cosC)<2；④sinB+sinC<1.故①②④正确。
2014年自主招生北约模拟试题及解析
(2)设 M 为线段 AB 的中点，P 为奇质数，且点 M 到 x 轴的 距离和点 M 到准线 l 的距离均为非零整数， 求证点 M 到坐 标原点 O 的距离不可能是整数.
E O B F
M x
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
【题 13】函数 y f ( x) ， x N ， y N ，满足：
第 4 页 （共 11 页）
2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)参考答案
【题 01】复数 Z1、Z2 满足|Z1|=2、|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60° ，则 A.
Z1 Z 2 ( Z1 Z 2
).
133 7
B. 5
C.
1 5
D. 133
x2 y 2 【题 06】 如图所示， 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的左焦点 F 引圆 x2 y 2 a 2 的切线， 切点为 T． 延 a b 长 FT 交双曲线的右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 | MO | | MT | 与 b a 的
则
1 sin 2 ) 0 ， 2
m
的取值范围是(
). C．[-1，1] D．[-1，6]
A．[-6，1] B． [4， 8] 【解析】选 A.由题意知 λ+2=2m①
2 cos2 m 2 sin ② 2 由①得 2 ， m m 2 2 2 由①②得 4m 9m 2 sin cos 4 sin 2 sin 3 ， 1 故-6≤4m2-9m≤-2，即 ≤m≤2. 4 2 从而 2 [ 6,1] . m m
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解
2014天津文第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2． 故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>．所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-，所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==，焦距2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥≥=，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解．因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P B D A D P P C C B D AP CD P +=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]213(25)13(DP -+=-+=+λλ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB的F中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=≥， 所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2014年全国高考天津省数学(理)试卷及答案【精校版】
（6）如图， D ABC 是圆的内接三角形， DBAC 的平分线交圆于点 D ， 交 BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F . 在上述条
件下，给出下列四个结论：① BD 平分 DCBF ；② FB 2 = FD ?FA ；
y 1,
（A）2
（B）3 （C）4
（D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的
S 的值为（
）
（A ） 15
（ B ）105
（C） 245
（D ）945
（4）函数 f ( x) = log 1 (x2 - )4 的单调递增区间是（
）
2
（A ） (0,+ ￥)
（ B） (- ￥,0)
（C） (2,+ ￥)
B
A EC
③ AE ?CE BE ?DE ；④ AF ?BD AB ?BF .
则所有正确结论的序号是（
）
（A ）①②
（B ）③④
（ C ）①②③
（ D）①②④
D F
（7）设 a,b ? R ，则 |“ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）
（A ）充要不必要条件 （ C ）充要条件
（ B ）必要不充分条件 （ D ）既不充要也不必要条件
（8）已知菱形 ABCD 的边长为 2， ? BAD 120 ，点 E , F 分别在边 BC, DC 上，
BE = l BC ， DF = mDC . 若 AE ?AF
1， CE ?CF
-
2 ，则 l
+ m=
（
）
3
1
（A ）
2
2
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一一、选择题1、（北约2014年）设扇形的圆心角为3π，面积为6π，将它围成一个圆锥，求圆锥的表面积______（A ）132π （B ）7π （C ）152π （D ）8π答案：B6/660360ππ=，扇形弧长为60262360ππ=，故圆锥底面半径为1，圆锥的表面积等于67πππ+=2、（北约2013和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B.C. D. 答案：C解析：由,可知,同理由可知; 所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.3、（华约2012年）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中对对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 答案：C4、（华约2010年）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 答案：D5、（华约2010年）设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32答案：A二、填空题6、（卓越2014年）不等式32210x x -+<的解集为_____________。
13561x =22x =1x 3(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=答案：1515112⎛⎫⎛++-, ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭解析：22x x =，把原式视作x 的三次多项式分解因式即可。
7、（卓越2013年）如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）。
答案：βα-三、综合题8、（北约2014年）证明：tan 3是无理数。
2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解
等边三角形,则 a 的值为
.
【答案】3
【解析】由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为 y=a,
由于△AOB 是等边三角形,
所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心,
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以 4(λ+μ)-2λμ=3.
由
·
= - 2,得(2-2λ)·(2-2μ)·
1
=
-
2,所以
λμ=λ+μ
-
2
,
2
因此有 4(λ+μ)-2(λ+μ)+ = 3,解得 λ+μ= 5,故选 C.
6
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从
又因为一条渐近线与 l 平行,因此 = 2,可解得 a2=5,b2=20,
2
2
故双曲线方程为
=1,故选 A.
5 20
6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆
的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD·FA;
2
2
5.已知双曲线 2
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦
点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ).
2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题
2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题一、填空题1. 已知5101024ab==，则11a b-的值为__________. 【答案】110-【解析】由5101024ab==得510l o g 1024l o g 1024a b ==，， 所以1024102411log 5log 10a b ==，， 所以10110241024102421111log 5log 10log log 2210a b --=-===-.2. 已知点A （1,0），点B 为圆222014x y +=上的任意一点，设AB 的中垂线l 与OB 的交点为C ，则点C 的轨迹方程为__________.【答案】221442120142013x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=3. 已知可行域03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，若直线43y kx =+将可行域所表示的图形的面积平分，则k 的值为__________. 【答案】734. 用24个点将一个圆24等分，任意选择其中的三点，则可以组成_______个不同的直角三角形. 【答案】264【解析】1222264⨯=（个）. 5. 已知函数ππsin sin 2cos 66y x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是1，则a 的值为__________.【答案】17+ 【解析】πππsin sin 2cos 2sin cos 2cos 666y x x x a x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223sin 2cos (3)2sin()7sin()x x a x a x a ϕϕ=++=+++=++，根据题意得71a -+=，解得17a =+.6. 002220142014201420142014C 2C 2C 2________.⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= 【答案】2014312+【解析】由20140011223320132013201420142014201420142014(1+)=C C C C C +C x x x x x x x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅， 令2x =，得2014011223320132013201420142014201420142014(1+2)=C 2C 2C 2C 2C 2+C 2⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅， 令2x =-，得2014011223320132013201420142014201420142014(12)=C 2C 2C 2C 2C 2+C 2-⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅， 以上两式相加得20140222014201420142014201431C 2C2C22+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=.7. 已知圆上A 、B 、C 、D 四点依次排列，AB=BC =3，CD =4，DA =8，则该圆的半径为________. 【答案】320510【解析】连接AC ，设180ADC ABC αα∠=∠=-，则，利用余弦定理得222222c o s (180)2c o sA C AB BC A B B CD C D A D C D A αα=+-⋅⋅-=+-⋅⋅ ，由此解得cos sin AC αα和，，再利用正弦定理解得圆的半径为32052sin 10AC α=.8. 若2313x x a a +--≤-对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______________. 【答案】41a a ≥≤-或 二、解答题9. 已知四棱锥P ABCD -，,AB AD ⊥,CD AD ⊥,PA ABCD ⊥平面2P A A D C D A B ===，点M 为PC 的中点.（1）求证：BM PAD ∥平面；（2）在平面PAD 上找一点N ，使得MN ⊥平面PBD ； （3）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦.解：（1）取PD 的中点E ，连接ME AE ，.因为点M 为PC 的中点，点E 为PD 的中点，所以1//2ME CD . 因为,AB AD ⊥,CD AD ⊥2CD AB =，所以1//2AB CD ，所以//AB ME ， 所以四边形ABME 是平行四边形，所以//BM AE ，所以BM PAD ∥平面. （2）取AE 的中点N ，连接MN BE ，，MN BE 与交于点F . 设22PA AD CD AB ====.因为,PA ABCD ⊥平面所以PA AB ⊥.又因为,AB AD ⊥所以,AB PAD ⊥平面 所以,AB AE ⊥所以平行四边形ABME 是矩形. 在等腰直角三角形PAD 中，点E 为PD 的中点， 所以1=22AE PD AE PD ⊥=，且，又1ME =， 所以2ME EAEN AB==，又90MEN EAB ∠=∠= ，所以MEN EAB ∆∆ ， 所以EMN AEB ∠=∠，又因为90EMN ENM ∠+∠= ，所以90AEB ENM ∠+∠=，所以90EFN ∠=，即MN EB ⊥.因为,AB PD AE PD ⊥⊥，所以PD ABE ⊥平面，所以PD MN ⊥， 所以MN PBD ⊥平面.（3）直线PC 与平面PBD 所成角即PM 与平面PBD 所成角，连接PF ，由MF PBD F ⊥平面于点,知MPF PM PBD ∠即为与平面所成角，易求得6=33PM MF =，，所以2sin 3MF MPF PM ∠==.10. 已知数列{}11211,1,12n n n na a a a n n +⎛⎫==++ ⎪+⎝⎭， 求证：（1）()22n a n ≥≥；（2）()2e 1n a n ≤≥. 证明：（1）由112111,12n n n a a a n n +⎛⎫==++ ⎪+⎝⎭，得212111=2112a a ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭. 易证0n a >，所以121102n n n na a a n n +-=+>+，即数列{}n a 单调递增， 所以()222n a a n ≥=≥.（2）利用不等式1e (0)x x x +<>进行证明: ①当212e n n a =≤，时，显然成立；②当3n ≥时，11(1)2111111111e(1)2(1)2nn n n n n n n a a n n a n n +-⨯---=++≤++<-⨯-⨯， 111(2)(1)122122111111e(2)(1)2(2)(1)2n n n n n n n n a a n n a n n -+-⨯------=++≤++<-⨯--⨯-， ……31132322322111111e232232a a a +⨯=++≤++<⨯⨯， 11212211111111e122122a a a +⨯=++=++<⨯⨯， 将以上各式相乘得311111111112223(2)(1)(1)222e n nn n n n n a -++++⋅⋅⋅++++⨯⨯-⨯--⨯<3131111111111111111111111223(2)(1)(1)222212232112222=e en n n n n n n n n n n n --++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅++⨯⨯-⨯--⨯---=331111111111111112222222224=ee ee n nn -⎛⎫++÷--+++⋅⋅⋅++++ ⎪⎝⎭<=<.综上得原不等式成立.。
南开大学701数学分析2014年考研专业课真题试卷
。
六、(20分·)求 证 : (1) 苎凵丝在 (0,+∞)不 一致收敛;
客
￡号竺在3;cD,连
;乒
七、(20分 )已 知r←)在 【O,+∞ )二 阶可导。
(1)设 Ⅱm r←)〓 1, ⒒m/″←)=0,求 证: Ⅱm/′Cjr)〓 0。
⒓)试 构造一个函数/【jr),使 得 lim/←)〓 1,但 Ⅱm/′←)不 存在。
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南开大学 zO14年硕士研究生入学考试试题
学 院:012数 学科学学院、011陈 省身数学研究所、010组合中心 考试科 目:701数 学分析 专 业:数 学学科下除数理经济外的各专业、统计学学科下各专业
豳 R谑膨 馅 箨 鸵 咖
止,筝创 龆 叻 脚
一、 (1① 分 )求极 限:Ⅱ里(蛎 -1)sh″ h刀 。
二、(10分 )求证: /(苈 ,`)〓
十三’
是二二维王 上自勺j连续函数。
{e^〃 ∶
∶[∶
Fl面
=、 (20分 )设 0(3(臼 c)0。 求点(0,0,c)到 曲面子=丢 +若:的 最/l、 距离。
四、(zO分
)设
曰,D,c)0,∑
是单位球面
`+/+'〓
1,取 外侧。求曲面积分:
吒
五、(20分 )计 算: 晷 黠
2014年南开大学数学专业(701数学分析+801高等代数)考研真题解析 资料经验
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2014年南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）
总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30
一．填空题（每小题7分，共70分）
1．若单位向量a ，b 满足|23|10a b -=，则|32|a b += ．
【答案】 4 【解析】由|23|10a b -=平方得：11312104
a b a b -⋅=⇒⋅=， 则2|32|131213316a b a b +=+⋅=+=，所以|32|4a b +=．
2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．
【答案】25
- 【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，由2||(1)0z z i z +⋅+-=得：22()(2)0x y y x y i +-++=．
则22
00020x x y y y x y =⎧+-=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，或251
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．又0z ≠，所以z 的实部为25-． 3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．
【答案】13440
【解析】用排除法．
不含0的无重复数字的五位数共5915120A =个，
其中，4和5相邻的无重复数字（不含0）的五位数共3427421680C A A =个，
所以，无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有15120168013440-=个．
4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．
【解析】易知PBC ∆是直角三角形，取斜边PC 的中点为O ，
因为AP AB AC ==，所以点A 在平面PBC 上的射影为直 角PBC ∆的外心O ，连接AO ，即有AO ⊥平面PBC ． P A
B C O 3 3 3
3 4 5。