2014年南开大学数学试点班自主招生考试题解析

2014年南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）
总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30
一．填空题（每小题7分，共70分）
1．若单位向量a ，b 满足|23|10a b -=，则|32|a b += ．
【答案】 4 【解析】由|23|10a b -=平方得：11312104
a b a b -⋅=⇒⋅=， 则2|32|131213316a b a b +=+⋅=+=，所以|32|4a b +=．
2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．
【答案】25
- 【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，由2||(1)0z z i z +⋅+-=得：22()(2)0x y y x y i +-++=．
则22
00020x x y y y x y =⎧+-=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，或251
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．又0z ≠，所以z 的实部为25-． 3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．
【答案】13440
【解析】用排除法．
不含0的无重复数字的五位数共5915120A =个，
其中，4和5相邻的无重复数字（不含0）的五位数共3427421680C A A =个，
所以，无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有15120168013440-=个．
4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．
【解析】易知PBC ∆是直角三角形，取斜边PC 的中点为O ，
因为AP AB AC ==，所以点A 在平面PBC 上的射影为直 角PBC ∆的外心O ，连接AO ，即有AO ⊥平面PBC ． P A
B C O 3 3 3
3 4 5。