命题与证明讲义

主题：预初：命题与证明
一、知识点：
命题:
1.一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．
2.注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命
题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。

3.须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。

注意：句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．
命题的结构:
1.命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
2.命题的条件和结论不明显时，一般先添上省略掉的词语，再进行分析，这样易于分辨。

在改写过
程中，不能简单地把条件部分和结论部分分别在“如果”，“那么”后面，要适当的增减词语，保证句子通顺而不改变愿意，同时也可以结合图形进行分析。

3.有些命题的条件和结论不一定只有一个，此时要注意分清它们的条件和结论。

真命题和假命题：
1.正确的命题称为真命题，不真确的命题称为假命题。

2.要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推
断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。

公理，定理：
1.经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

这样公认为正确的命题叫做公理。

例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

2.公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。

3.定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。

二、例题讲解：（解题技巧）
类型一：
例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；
（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则．
思路点拨:通过本题熟悉命题的定义
解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．
总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。

举一反三：
【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?
(1)若a＜b，则；(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?(4)两点之间线段最短；
(5)解方程；(6)1＋2≠3．
【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．
类型二：
例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；
(5)三角形的内角和等于180°；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．
思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．
解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．
（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；
(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。

”
总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。

例1．证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直．
证法(一)：∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°．(垂直的定义)
∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c．(垂直定义)
证法(二)：∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2．(两直线平行，同位角相等)
∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°，(垂直定义)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c．(垂直定义)
例2. 证明：邻补角的平分线互相垂直。

已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°
OE平分∠AOB，OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF
分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF=90°，即∠1+∠2=90°即可
证明：∵OE平分∠AOB
∴∠1=∠AOB，同理∠2=∠BOC
∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=90°，∴OE⊥OF(垂直定义)
三、课堂练习
【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．
(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；
(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；
【答案】(l)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等(假)；不相等的角不是对顶角(真)．
(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；
两直线不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，两直线不平行(真)．
(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；若a≠0，则ab≠0(假)；若ab≠0，则a≠0(真)．
(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；
两条直线平行，则一定不相交(真)；两条直线不相交，则一定平行(假)．
【变式2】判断正误：
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

（）
(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

（）
(3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。

（）
(4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。

（）
(5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。

（）
(6)如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角。

（）
(7)对顶角的角平分线在同一条直线上。

（）
(8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

例2. 如图所示，已知：∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥CE
例1.求证：两个对顶角的平分线在同一直线上
四、总结：
通过以上的题组训练说明初中和小学的不同，第一需要举一反三，第二需要吃透定义，第三需要认真仔细审题，找准方法而不是单纯的模仿。

五、回家作业
选择题：
1．下列语句中，不是命题的是（）
两点之间线段最短. (B) 直线AB//CD.
钝角和锐角之差等于直角. (D) 三点确定一个圆.
2．下列命题中，
⑴两个角对应相等的两个三角形相似.
⑵两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
⑶如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
⑷两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 被作为公理的有( )
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
3．下列命题中，有（）假命题
⑴经过两点有且只有一条直线. ⑵三角形任一外角等于两个内角的和.
⑶面积相等的两个三角形全等. ⑷有两条边分别相等的两个等腰三角形全等.
⑸等角的补角相等. ⑹三边对应平行的两个三角形全等.
(A) 5个 (B) 4个 (C) 3个 (D) 2个
4．下列命题中，有（）真命题
⑴互为补角的两个角的平分线互相垂直.
⑵三角形的三个内角与三个外角的和为540度.
⑶有一边相等其余两边对应平行的两个三角形全等.
⑷有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等.
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
5．根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；
两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；
在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
2012夏八年级数学辅导
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D A'B'C'D'
已知：如图∆ABC 和∆A /B /C /
中，
AB =A /B /，BC =B /C /，AD 、A /D /分别是BC 、B /C /边上的中线且AD=A /D /.
求证: ∆ABC ≌∆A /B /C /。