不等式的基本性质

不等式的基本性质

编稿：周尚达审稿：张扬责编：辛文升

目标认知

学习目标：

理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在显示时节和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景.能用不等式的基本性质比较代数式的大小。

重点：

不等式的性质及运用，用不等式的基本性质比较代数式的大小。

难点：

不等式性质的应用。

学习策略：

①不等式的基本性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的

性质，注重性质的推导过程，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。

②要比较两个式子的大小，通常只需将他们作差即可。如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。

③要证的不等式或者需要比较大小的式子含“幂”或“指数”，常采用作商比较法。

知识要点梳理

知识点一：不等式的概念

用不等号（）表示不等关系的式子叫不等式.

知识点二：不等式的性质

1、不等式的基本性质：

①对称性：

②传递性：

③可加性：（）

④可乘性：如果，则

2、不等式的运算性质：

①可加法则：

②可乘法则：

③可乘方性：

④可开方性：

知识点三：比较大小的方法

1、作差法：

任意两个式子、，可以作差后比较差与0的大小关系，从而得到与的大小关系，这种比较大小的方法称为作差比较法。

作差比较法的理论依据：

①；②；③。

2、作商法：

任意两个式子，如果、，可以作商后比较商与1的关系，从而得到与的大小关系。

作商差比较法的理论依据：

若、，则有①；②；③.

注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。

3、中间量法：

若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.

4、利用函数的单调性比较大小

若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.

规律方法指导

1、作差比较法的主要步骤：

①作差；

②变形（分解因式，配方等）；

③判断差的符号；如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。

④下结论。

注意：这里“判断差的符号”是目的，“变形”是关键过程。

2、作商比较法的主要步骤：

①判断要比较两式的符号都为正；

②作商；

③变形；

④判断商与1的大小关系；如果商与1的大小关系不确定，就需要对其商进行讨论。

⑤下结论。

注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。

经典例题透析

类型一：不等式基本的性质的应用

1．对于实数a,b,c判断以下命题的真假。

（1）若a>b, 则ac

（2）若ac2>bc2，则a>b；

（3）若aab>b2；

（4）若a|b|；

（5）若a>b, >, 则a>0, b<0。

解析：

（1）∵c的符号不定，∴无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。

（2）∵ac2>bc2,∴c≠0,从而c2>0，故原命题为真命题。

（3）∵，∴a2>ab ①

又，∴ab>b2②

综合①②得a2>ab>b2，故原命题为真命题．

（4）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．

（5）∵，∴

∴，从而ab<0

又因a>b，∴a>0, b<0，故原命题为真命题．

举一反三：

【变式1】（2011全国，3）

（1）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是

（A）（B）（C）（D）

【答案】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项. 选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。

【变式2】若a

A.均不成立

B.

C.

D.

【答案】特殊值法：取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.

【变式3】设，判定下列各题中命题甲是与命题乙的什么条件。

①命题甲：，命题乙：；

②命题甲：，命题乙：

【答案】

①当x>0且y>0时，由实数的性质可知x+y>0,xy>0

；

当xy>0时，x、y 同号，又x+y>0，可知x>0且y>0.

即

∴命题甲是命题乙的充分必要条件.

②，

即

反之不能得到，

可举反例如下:x=5,y=1.这时x+y=6>4,xy=5>4,但x>2,y=1<2,即x、y同时小于2不成立.

∴命题甲是命题乙的充分不必要条件.

类型二：作差法比较大小

2．已知a、b为正整数，试比较的大小.

解析：

方法一：

，

∴（当且仅当时等号成立）

∴

方法二：

，

∴，即

，

∴（当且仅当时等号成立）

总结升华：

1、两个代数式比较大小，通常采用作差法，其一般步骤是：

第一步：作差；

第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；

第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零.但有时要根据题目的要求讨论.

其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法。

2、如果两个数（或式子）都大于零，比较两个有根号的数或式子的平方的大小也是常用方法（升幂比较法）.

举一反三：

【变式1】（2011上海，15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）

A B C D

【答案】D