第2章 参数估计与假设检验

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第二节 统计推断的概念
【例1】从均值为μ ，方差为σ 2的总体中抽得一个样本量为 n得样本X1,X2,„,Xn,其中μ ，方差为σ 2均未知 问：X1+X2, max{X1,X2,„,Xn}, X1+X2-2μ , (x1-μ )/σ 哪些 是统计量？
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第一节 抽样分布 （1）指数分布
在概率论和统计学中，指数分布 （Exponential distribution）是一种连 续概率分布。指数分布可以用来表示 独立随机事件发生的时间间隔，比如 旅客进机场的时间间隔。在寿命试验 中应用最为广泛，即研究零件发生故 障的时间间隔。 x
e , x 0 概率密度函数：f ( x, ) x0 0,
第三节 参数估计
一、点估计
【例2】 把钢材弯曲成钢夹，其间隙大小是一个质 量特性，现随机从生产线上取7只钢夹，测其间隙， 得到数据如下： 0.74；0.73；0.68；0.69；0.70；0.71；0.72
已知钢夹间隙X服从正态分布N(μ ,σ 2)，要对 μ ,σ 2做出估计。
很简单就是利用样本的均值x与方差s2估计 ˉ 总体的均值与方差。用Excel计算。
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第二节 统计推断的概念 常用统计量：设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一
个样本，常用统计量有：
1 n 样本均值：X X i n i 1 1 n 1 n n 2 2 样本方差：S (Xi X ) Xi X2 n 1 i 1 n 1 i 1 n 1
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第二章 参数估计与假设检验
程建华 E-mail: jhcheng0717@126.com 2013年8月2日
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x

x

1 e 2
t2 2
dt
1
2
2
标准正态分布函数值表
若确定了保证程度 0.95, 1 则 0.05 应查 x 1 ，
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第一节 抽样分布 3. χ2分布
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Leabharlann Baidu
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统计量既然是依赖于样本的，而样本又是随机变量，
故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，即统计量 的分布称为抽样分布。抽样分布就是通常的随机变量函数 的分布。
统计推断的好坏与所选择的统计量的分布有密切关系。
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第一节 抽样分布
2. 正态分布 X ~ N ( , 2 )
f ( x) 1
2
e

( x )2 2 2
正态分布的性质： （1）对称性； （2）“钟形”； （3）线性组合正态分布； （4）线性变换正态分布 应用：大数定律为基础 中心极限定理：如果随机样本X1，X2，…，Xn来自均值为μ ，方差为σ 2 的任一总体，随着样本容量的扩大，则样本均值X趋于均值为μ，方差为σ2/n 的一个正态分布。 特别地，如果X来自正态分布，则不论样本容量如何，样本均值服从正态分 布。
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第二节 统计推断的概念 统计推断结论是否准确与否，有几个问题：

对统计推断结论有多大的把握；
在区间估计中，可信度依赖于区间长度（精度），可 信度和精度的关系问题； 得到的结论是否有实际意义； 统计推断结论正确与否，与我们对总体的了解有关。
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第三节 参数估计 二、区间估计
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第三节 参数估计 一、点估计
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第一节 抽样分布
5. F分布
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第二节 统计推断的概念 一、什么是统计推断 统计推断包括参数估计和检验；统计估计 包括参数估计和非参数估计；统计检验包括参数 假设检验和非参数假设检验。 （1）参数统计方法是在已知总体分布的条件下， 对相应分布的参数进行估计和检验； （2）非参数统计方法，研究目标总体的分布是 否与已知理论分布相同，或者各样本所在总体的 分布位置/形状是否相同。
3. χ2分布
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第一节 抽样分布
4. t分布
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第一节 抽样分布 （1）指数分布
累积分布函数：
1 e x , x0 F ( x, ) x0 0,
均值:
E( X )
1
比方说如果你平均每个小时接到2 次电话，那么你预期等待每一次 电话的时间是半个小时。 方差:
7
D( X )
1 2
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第一节 抽样分布 （1）指数分布
关于寿命试验的某些统计分析——(指数分布的情形)(Ⅰ) 戴树森 《数学的实践与认识》1982年01期
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x
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第三节 参数估计
设有一个统计总体，总体的分布函数F（X，Q）， Q是总体的一个待估参数，现从该总体抽样，得样 本X1，X2，„，Xn ，要依据该样本对参数Q的值作 出估计，称为参数估计。
第一节 抽样分布
4. t分布
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第一节 抽样分布
5. F分布
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第二章 参数估计与假设检验
第一节 第二节 第三节 第四节
抽样分布 统计推断的概念 参数估计 假设检验
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历史回顾
1.数理统计是一门应用性很强的学科。数理统计与
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第三节 参数估计 1、总体均值的区间估计 （一）单总体均值的区间估计
设X1，X2，„，Xn 是取自正态总体N（μ ，σ 2） 的样本
（1）当σ
2
已知时，μ 的区间估计
【例3】调查某大学教师家庭每月水电、煤气和电话 费的支出情况，随机抽取100户，发现每月平均帐 单为253元。设帐单上的款项X服从N（μ ，σ 2）， σ =70元。求μ 的置信水平为95%的区间估计。
2 n
样本标准差： n s
1 n ( X i X )2 n 1 i 1
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第二节 统计推断的概念
1、描述样本集中程度的统计量 样本均值 样本中位数 样本众数 2、描述样本离散程度的统计量 样本极差 样本方差和样本标准差 样本变异系数 C v s
其中λ为分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter。）指数分布的区间为[0，∞)。如果一个随机 变量呈指数分布，记为: X～Exponential(λ)
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第一节 抽样分布
在统计学中，有几类最常用的分布：
（1）指数分布
（2）正态分布 （3）2分布 （4）t分布 （5）F分布 在进行统计推断时，经常假定样本来自正态分 布的总体。
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第一节 抽样分布
5. F分布
F（n1,n2）分布的数学期望和方差分别是：
n2 n2 1
2n2 (n1 n2 2) n1 (n2 2) 2 (n2 4)
2
(n2 2)
(n2 4)
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第二节 统计推断的概念 二、统计量及其分布
定义：设X=（X1，X2，„，Xn）是取自某总体的一个
容量为n的样本，假如样本函数Q=Q（X）=Q（X1，X2，„， Xn） 中不含任何未知的参数，则称Q为统计量。
概率论一样，其研究对象也是随机现象，但研究 方法不同。在数理统计中是通过对随机现象的观 测或实验来获取数据，通过对数据的分析与推断 去寻找隐藏在数据中的统计规律性。
2.简单地讲，数理统计就是研究处理数据的一门学
问，而概率论为数据处理提供了理论基础。
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0.975
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Px

1 2
x
e
t2 2
dt
2
Z
P x
29
1
Z
2
2
2
若确定了显著性水平 0.05, 则查 2 0.025， 得到Z 1.96
参数估计有两种基本形式：点估计和区间估计。
（1）点估计是用一个数值作为未知参数Q的估计 值；
（2）区间估计是用一个区间把Q估计在这个区间 内。
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第三节 参数估计 一、点估计