自动控制原理计算题示例

一.试建立如图所示电路的动态微分方程，并求传递函数。

解：1、建立电路的动态微分方程 根据KCL 有
2
00i 10i )
t (u )]t (u )t (d[u )t (u )t (u R dt C R =-+-
即 )t (u )
t (du )t (u )()t (du i 2i 21021021R dt
C R R R R dt C R R +=++
2、求传递函数
对微分方程进行拉氏变换得
)(U )(U )(U )()(U i 2i 21021021s R s Cs R R s R R s Cs R R +=++
得传递函数 2
1212
21i 0)(U )(U )(R R Cs R R R Cs R R s s s G +++== 二．结构图化简。

解：1.将-G 3G 4H 4回路的综合点前移至①处
2.将反馈通道H 1的综合点也前移至①处
3.将以上两条反馈通道利用并联公式合并
4.从内到外化简回路
5.最后得到系统的传递函数为
1
432144323213324
3211)(H G G G G H G G H G G G H G G G G G G s G -+++=
（注：由于电脑画图太慢，这里只给出了文字步骤，解题时请同学们用图示把各个化简步骤列写出来。

）
三．系统结构图如图所示：
1、写出闭环传递函数()
()()
C s s R s Φ=
表达式； 2、要使系统满足条件：707.0=ξ,2=n ω,试确定相应的参数K 和β； 3、求此时系统的动态性能指标s t ,0
0σ
；
4、t t r 2)(=时，求系统由()r t 产生的稳态误差ss e ；
解：1. 2
2222
221)
()()(n n n s s K s K s K s
K s K s K
s R s C s ωξωωββ++=++=++==Φ 2. ⎩⎨⎧=====2
224222
n n K K ξωβω ⎩
⎨⎧==707.04βK 3. 0010032.42
==--ξξπ
σe
12.22
3
3
==
=
n
s t ξω 4. )1(1)(1)(2+=+=+
=s s K s s K s
K s K s G βββ ⎩
⎨⎧==11v K K β 414.12===
βK
ss K A
e （注：考虑再三，还是决定把时域性能指标（超调量、峰值时间、调节时间）的公式告诉大家，到时会写在黑板上。

除此之外，拉氏变换表也会给大家。

如有需要，也会给入射角和出射角公式。

其他公式需要自行记忆。

）
四．系统，结构如图所示，().3642t t t r ++=试求系统稳态误差.
R(s)
()()
410
.1+=
><s s s G
()()()
4110.22++=><s s s s G ss e 求. 解: <1> ()()()
125.05
.2410+=+=s s s s s G
5.2,1==∴K ν
则
∞=+++=
∴==∞=a
p ss
a p K K K e
K K K 6
6140
,5.2,νν
<2>. ()()()()()
125.015.2411022++=++=
s s s s s s s G
4.26
6145.2,,,5.2,2=+++=
∴=∞=∞===∴a
p ss a p K K K e K K K K ννν则
五. 已知某单位反馈系统的开环传递函数为2
()(3)r
K G s s s =
+:
1、绘制该系统以根轨迹增益K r 与虚轴的交点等）；
2、确定使系统满足10<<ξ的开环增益K 的取值范围。

解：1、绘制根轨迹
(1)系统有有3个开环极点（起点）：0、-3、-3，无开环零点（有限终点）； (2)实轴上的轨迹：（-∞，-3）及（-3，0）；
(3) 3条渐近线： ⎪⎩⎪⎨⎧︒
︒±-=--=180,602
3
33a σ (4) 分离点：
03
21=++d d 得： 1-=d 432
=+⋅=d d K r (5)与虚轴交点：096)(23=+++=r K s s s s D
[][]⎩⎨⎧=+-==+-=06)(Re 0
9)(Im 2
3r K j D j D ωωωωω ⎩⎨
⎧==543
r
K ω 绘制根轨迹如下图所示。

2.开环增益K 与根轨迹增益K r 的关系：⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=139)3()(22s s K s s K s G r
r 得9r K K =
系统稳定时根轨迹增益K r 的取值范围：54<r K ，
系统稳定且为欠阻尼状态时根轨迹增益K r 的取值范围：544<<r K ， 系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围：69
4
<<K 六. 已知单位反馈系统的开环传递函数为
2
1
()
4()(1)s a G s s s +=+
a 的变化范围为[0,)+∞，试绘制系统的闭环根轨迹。

解：系统闭环特征方程为
3211
()0
44D s s s s a =+++=
即有
3
2
14
101
4
a s s s
+
=++
等效开环传递函数为
*
112
()1()2K G s s s =
+
*114K a
=
变化范围为[0,)+∞。

按照基本法则依次确定根轨迹的参数：
(1) 等效系统无开环有限零点，开环极点为。

(2) 实轴上的根轨迹区间为。

确定根轨迹与虚轴的交点。

根据闭环特征方程列写劳斯表如下
1
1
当a=1时，劳斯表s 行全为零，辅助方程为
Y 轴
解得
作系统参数根轨迹如图所示。

错误!未指定书签。

错误!未指定书签。

X 轴
Y 轴
1/2
-1/2
J
-1/2
七．某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线0()L 如图所示：
1、写出该系统的开环传递函数)(0s G ；
2、写出该系统的开环频率特性、开环幅频特性及开环相频特性，并确定奈氏曲线的起始点。

解：1、从开环波特图可知，原系统具有比例环节、一个积分环节、两个惯性环节。

故其开环传函应有以下形式 1
2
()1
1
(
1)(
1)
K G s s s s ωω=
++
由图可知：1ω=处的纵坐标为40dB, 则(1)20lg 40L K ==, 得100K =
1210ωω=和=100
故系统的开环传函为 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
1100110100
)(0s s s s G
2.写出该系统的开环频率特性、开环幅频特性及开环相频特性，并确定奈氏曲线的起始点。

起点： ∞=)0(0j G ， ︒=∠90-)0(0j G 终点： 0)(0=∞j G ， ︒=∞∠-270)(0j G
附：关于稳态误差的计算
只要掌握课本P89页的表格即可。

其中K 是系统的开环增益，而A 、B 、C 分别对应阶跃输入、斜坡输入和抛物线输入的系数，注意抛物线输入的一般形式为
22
1
)(Ct t r =。

而关于开环增益和系统型别的确定可以参照P86式（3-69）。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 以上给出的七个计算题，绝不是期末考计算题原题，也不是改改数字那么简单。

但如果这几道题目都能够完全吃透，并熟练应用，期末考计算题就不会有问题了。

最后，祝同学们考试顺利！。